STX Matematik B 18. maj 2011 | Med hjælpemidler

Side 1

1stx111-MAT/B-

1

Vejledende besvarelse

STX Matematik B – 18. maj 2011

Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende.

Det ”pæne” gangetegn ⋅ fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med WordMat, men ser ikke så pænt ud.

Opgave 7 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 11 , AC = 22 , AB = 13

133° A = 21,55428°
B = 132,7126°
C = 25,73309°

BC = 11
AC = 22
AB = 13

Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} () =cos^{−1} () =21,55428°

𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 𝐵𝐶^{2} 13^{2} + 22^{2} − 11^{2}
2 · 𝐴𝐶· 𝐴𝐵 2 · 22 · 13

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =132,7126°

𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐶^{2} 13^{2} + 11^{2} − 22^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵 2 · 11 · 13
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 21,55428° − 132,7126°=25,73309°

21,6° 22 25,7°

13 11

Side 2

1stx111-MAT/B-

2

Dermed har vi beregnet vinkel A til 21,5° afrundet til en decimal.

b)

Da vi kender en vinkel og to sider der støder til vinklen, kan vi bestemme trekantens areal med følgende formel (formel 29)

    1
𝑇=   𝑏𝑐 ⋅ sin𝐴
    2

= ⋅ 22 ⋅ 13 ⋅ sin21,55428 =143 · sin ( 21,55428) ≈52,5357

1

2

Dermed er trekantens areal beregnet til 52,5° afrundet til en decimal.

c)

Da vinkel A er den samme i trekant ABC og ABD, kan vi bestemme længden af BD.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 21,55428° , D = 120° , AB = 13

A = 21,55428°
B = 38,44572°
D = 120°

BD = 5,514818
AD = 9,3335
AB = 13

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐴 − 𝐷 =180° − 21,55428°− 120°=38,44572°

Længden af siderne BD og AD findes vha. sinusrelationerne

𝐵𝐷=𝐴𝐵· =13 · =5,514818

sin ( 𝐴) sin ( 21,55428°) sin ( 𝐷) sin ( 120°)

𝐴𝐷=𝐴𝐵· =13 · =9,3335

sin ( 𝐵) sin ( 38,44572°) sin ( 𝐷) sin ( 120°)

Dermed har vi beregnet længden af BD til 5,5 afrundet til en decimal.

21,6° 9,33 120°

38,4°

13 5,51

Side 3

1stx111-MAT/B-

3

Opgave 8 a)

For at bestemme de årlige udgifter til ressourcesvage grupper i 1997 indsættes x = = 10 i

ligningen:

𝑦=273 ⋅ 10 + 8245=10975

I 1997 var de årlige udgifter ifølge modellen 10.975 mio. kr.

b)

Tallet a = 273 er den lineære models stigningstal. Dvs. at de årlige udgifter ifølge modellen hvert år vækster

med 273 mio. kr.

Tallet b = 8245 er den lineære models startværdi. Dvs. at udgifterne i 1987 er 8245 mio. kr.

Side 4

1stx111-MAT/B-

4

Opgave 9 a)

Da der er tale om en eksponentiel model, opstiller vi ligningen:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏𝑎^{𝑥}

Hvor f(x) angiver det årlige antal tvangsopløste selskaber, og x er antal år efter 2006.

For at estimere a og b, foretages der en eksponentiel regression på tabellens data:

Årstal | 2006 | 2007 | 2008 | 2009
År efter 2006 | 0 | 1 | 2 | 3
Årlige antal af | 2180 | 2955 | 3698 | 5530

tvangsopløste selskaber

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9875447

𝑦=2154,737 · 1,35214^{𝑥}

Vi kan derfor opstille følgende model, der beskriver det årlige antal af tvangsopløste selskaber som funktion af antal år efter 2006.

𝑓 ( 𝑥) =2154,7 ⋅ 1,352^{𝑥}

b)

For at bestemme modellens bud på antal tvangsopløste selskaber i 2012 indsættes x = 2012 – 2006 = 6 i

modellen. Tallet bestemmes med WordMat - Beregn.

𝑓 ( 6) =2154,7 ⋅ 1,352^{6} =13159,73

Modellen forudsiger altså 13159 tvangsopløste selskaber i 2012. Der rundes ned, da selskaber kun kan optræde i hel form.

c)

I en eksponentielt voksende funktion kan fordoblingskonstanten bestemmes ved følgende formel (formel

59)

𝑇_{2} = = =ln ( 2) · 3,315815≈2,298348

ln2 ln2 ln𝑎 ln1,352

For hvert 2,3 år - afrundet til en decimal - anslår modellen at antal tvangsopløste selskaber er fordoblet.

Side 5

1stx111-MAT/B-

5

Opgave 10 a)

For at bestemme kvartilsættet skal vi bestemme medianen, nedre og øvre kvartil.

Vi bemærker

Da der er et lige antal (30) observationer bestemmes medianen som gennemsnittet af de to midterste observationer (observation 15 og 16).

𝑚= =29,5

29 + 30

2

Da medianen deler observationssættet i to dele med hver femten observationer, kan 1. kvartil bestemmes som den midterste observation af de første 15 – altså observation. nr. 8. 1. kvartil aflæses til 27.

Tilsvarende aflæses 3. kvartil som observation 23. til 32.

Kvartilsættet er dermed (27;29,5;32).

b)

Vi indtegner boxplot i koordinatsystemet vedlagt

Ud fra boxplottene ses det, at der er flere rosiner i pakkerne fra firma A end firma B. Medianen for antallet af rosiner i pakkerne fra firma A er større end øvre kvartil for antallet af rosiner i pakkerne fra firma B, hvilket betyder, at der i mindst halvdelen af pakkerne fra firma A er flere rosiner end i 75 % af pakkerne fra firma B.

Vi ser envidere at boksen for A er lidt længere end firma B, hvilket betyder, at der er større variation i antallet af rosiner i pakkerne fra firma A.

Afstanden mellem maksimum og minimum for firma A er meget større end for firma B.

Side 6

1stx111-MAT/B-

6

Opgave 11 a)

Vi udregner integralet ved hjælp af WordMat:

∫ (4 𝑥 + + 3^{𝑥})𝑑𝑥=(7,267949 + ln (3) · (√(2) · 5,333333 + ln (2) · 1 − 0,2496619))/ln (3)
√

2

0,5

1 𝑥

≈14,60153

Integralet er altså bestemt til 14,60 afrundet til to decimaler.

Side 7

1stx111-MAT/B-

7

Opgave 12 a)

Vi definerer først funktionen i WordMat:

𝑓 ( 𝑥) ≔18 ⋅ ln ( 𝑥) − 𝑥^{2}

Grafen tegnes med funktionen ”GnuPlot” i WordMat:

Side 8

1stx111-MAT/B-

8

Sådan tegnes grafen i WordMat: Justér vinduet ved at indsætte passende værdier i de gule felter.

Klik på opdater, for at se om de angivne værdier giver et billede af grafen, der illustrerer grafens kurve.

Prøv lidt forskelligt.

Hvis vi fx havde valgt x-max lig 3, ville vi få følgende graf, hvilket er uheldigt, da man får et indtryk af at grafen har en vandret asymptote.

Side 9

1stx111-MAT/B-

9 b) f’(x) bestemmes med WordMat:

𝑓^{′} ( 𝑥) = − 2 · 𝑥

18 𝑥

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet 𝑃

(

1,𝑓

(

1

)

) er givet ved (formel 70)

𝑦=𝑓^{′} ( 1)( 𝑥 − 1) + 𝑓(1)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑦=16 · 𝑥− 17

c)

For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−3 ∨ 𝑥=3

Da x > 0, bortkaster vi den negative løsning,.

Vi udregner nu fortegnet af f’ på begge sider af nulpunktet 𝑥=3 ved hjælp af WordMat.

𝑓^{′} ( 2) =5

𝑓^{′} ( 4) =− ≈−3,5

7

2

Da fʹ er positiv til venstre og negativ til højre for nulpunkt, er der tale om et maksimum.

Vi kan dermed konkludere: f er voksende i intervallet ]0,3]

f er aftagende i intervallet [3,∞[

f antager globalt maksimum for 𝑥=3

Side 10

1stx111-MAT/B-

10