STX Matematik B december 2011 | Med hjælpemidler

Side 1

stx113-MAT/B-

1

Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende.

Når vi bruger funktionen ”Beregn” erstatter vi dog ≈ med =, da det i de tilfælde hvor resultatet

beregnes eksakt er forkert at bruge ≈ notationen.

Opgave 7 a)

For at bestemme forskriften for den lineære funktion 𝑓 ( 𝑥) =𝑎𝑥+ 𝑏 foretages der en lineær regression på

de to punkter: x 3 8 y 12 27

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=3𝑥+ 3

Forskriften for den lineære funktion 𝑓 er altså

𝑓 ( 𝑥) =3𝑥+ 3

b)

Tallet 𝑓 ( 10) bestemmes ved at indsætte 𝑥=10 i ovenstående forskrift

𝑓 ( 10) =3 ⋅ 10 + 3=33

Ligningen 𝑓 ( 𝑥) =0 løses

3𝑥+ 3=18

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=5

Der gælder altså at 𝑓 ( 10) =33 og at ligningen 𝑓 ( 𝑥) =18 har løsningen 𝑥=5.

Side 2

stx113-MAT/B-

2

Opgave 8 a)

Kvartilsættet for længdefordelingen i juni måned bestemmes ved at aflæse værdierne på førsteaksen for de tre lodrette streger i boksen for juni.

Nedre kvartil: 171

Median: 199

Øvre kvartil: 211

Da venstre gren af boksplottet for september ligger til højre for boksplottet for juni, gælder der altså at den mindste fisk i september er længere end fald 75 % af fiskene i juni. Det ses også at medianen af længderne i september er større end den længste fisk i juni.

De to boksplot viser tydeligt at længderne varierer mindre i september, samt at længderne i september generelt er betydeligt længere end i juni.

Side 3

stx113-MAT/B-

3

Opgave 9 a)

Da der er tale om en potensmodel (formel 66) foretages der en potentiel regression på data: t (min) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 d (cm) 0,6 0,9 1,2 1,4 1,6 1,7 1,9 2,1 2,2

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9977946

𝑦=0,2337695 · 𝑥^{0,5920916}

Vi kan dermed aflæse at 𝑎=0,592 og 𝑏=0,234 begge afrundet til tre decimaler.

Før der kan laves en potentiel regression ved hjælp af WordMat, skal data indtastes i en tabel. Husk at dobbeltchekke, at du har indtastet rigtigt. Husk at markere hele tabellen inden du laver regressionen med WordMat (da den regner fejl, hvis du kun markerer felter med tal i).

b)

Da skålen er 3 cm høj, vil vandet begynde at løbe ud over kanten når en vanddybde på 3 cm nås.

Tidspunktet bestemmes ved at løse ligningen 𝑑 ( 𝑡) =3.

Vi definerer funktionen:

𝑑 ( 𝑡) ≔0,2337695 · 𝑡^{0,5920916}

𝑑 ( 𝑡) =3

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=74,45522

Vandet vil således løbe ud over kanten efter 74,45 minutter afrundet til to decimaler, altså efter knap en time og et kvarter.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

stx113-MAT/B-

4

Opgave 10 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 37° , AC = 14 , AB = 7

116° A = 37°
B = 116,3917°
C = 26,60825°

BC = 9,405713
AC = 14
AB = 7

Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐶 = √ 𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐶· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴) = √ 14^{2} + 7^{2} − 2 · 14 · 7 · cos ( 37°) =9,405713

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =116,3917°

𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2} 9,405713^{2} + 7^{2} − 14^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵 2 · 9,405713 · 7
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 37° − 116,3917°=26,60825°

Dermed har vi at | 𝐵𝐶 | =9,4 afrundet til en decimal.

b)

Fra ovenstående har vi, at vinkel C = 26,6° afrundet til en decimal.

Da AD er vinkelhalveringslinje for vinkel A, ved vi at vinkel A i trekant ACD er

𝐴= =18,5

37

2

Da vinkelsummen i en trekant er 180 ° kan vi nu bestemme vinkel D, da vi kender de to øvrige vinkler i trekanten ACD:

𝐴 + 𝐶+ 𝐷 =180

⇕

18,5 + 26,60825+ 𝐷=180

⇕ Ligningen løses for D vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐷=134,8918

37° 14 26,6°

7 9,41

Side 5

stx113-MAT/B-

5

Dermed er vinkel D = 134,9° afrundet til en decimal.

c)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 18,5° , D = 134,8918° , AC = 14

A = 18,5°
D = 134,8918°
C = 26,6082°

DC = 6,270481
AC = 14
AD = 8,851012

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐷 =180° − 18,5° − 134,8918°=26,6082°

Længden af siderne DC og AD findes vha. sinusrelationerne

𝐷𝐶=𝐴𝐶· =14 · =6,270481

sin ( 𝐴) sin ( 18,5°) sin ( 𝐷) sin ( 134,8918°)

𝐴𝐷=𝐴𝐶· =14 · =8,851012

sin ( 𝐶) sin ( 26,6082°) sin ( 𝐷) sin ( 134,8918°)

Vi har dermed at | 𝐴𝐷 | =8,9 afrundet til en decimal.

18,5° 14 26,6°

135°

8,85 6,27

Side 6

stx113-MAT/B-

6

Opgave 11 a)

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet 𝑃

(

1,𝑓

(

1

)

) er givet ved (formel 70):

𝑦=𝑓^{′} ( 1)( 𝑥 − 1) + 𝑓 ( 1)

Vi definerer nu f i WordMat

𝑓 ( 𝑥) ≔5 ⋅ 2^{𝑥} − 𝑥

En ligning kan nu findes

𝑦=𝑓^{′} ( 1)( 𝑥 − 1) + 𝑓 ( 1)
=5,931472 · ( 𝑥− 1) + 9
=5,931472𝑥 − 5,931472 + 9
=5,931472 · 𝑥 + 3,068528

En ligning for tangenten til grafen for f i P er dermed

𝑦=5,931472 · 𝑥+ 3,068528

Dette er et eksempel på en opgave, der løses lettere med TI-nspire ved kommandoen tangetLine(f(x),x,1).

b)

For at bestemme monotoniforholdene for f bestemmer vi først evt. nulpunkter for f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−1,793162

Vi udregner nu fortegnet af f’ på begge sider af dette nulpunkt

𝑓^{′} ( −2) ≈−0,133566

𝑓^{′} ( 0) ≈2,465736

Da fʹ er negativ til venstre og positiv til højre for −1,793162, er der tale om et minimum.

Monotoniforholdene for f er dermed:

f er aftagende i intervallet ] − ∞,−1,793162]

f er voksende i intervallet [−1,793162,∞[.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

stx113-MAT/B-

7

Opgave 12 a) f defineres i WordMat

𝑓 ( 𝑥) ≔−2𝑥^{2} + 20𝑥 − 32

Arealet af punktmængden 𝑀 er (jf. formel 96) givet ved

𝑀=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =72

8

2

Arealet af punktmængden M er beregnet til 72.

b)

For at bestemme integrationsgrænserne bestemmes først skæringerne mellem graferne for 𝑓 og 𝑔.

𝑔 ( 𝑥) ≔2𝑥+ 4

Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=3 ∨ 𝑥=6

Arealet af punktmængden N er (jf. formel 97) givet ved:

∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 =9

6

3

Arealet af punktmængden 𝑁 er 9.

Husk at sætte parenteser omkring (f(x)-g(x)) 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

stx113-MAT/B-

8

Opgave 13 a)

Overfladearealet fås ved at summere overfladen af burets fire sider.

𝑂=ℎ⋅ 𝑥+ ℎ⋅ 𝑥 + ℎ⋅ 6𝑥+ 𝑥⋅ 6𝑥=6· 𝑥^{2} + 8 · ℎ ·𝑥

Her bruges WordMat funktionen ”Omskriv”.

Rumfanget fås ved at multiplicere længde, højde og bredde.

𝑉=𝑥⋅ ℎ ⋅ 6𝑥 =6 · ℎ· 𝑥^{2}

b)

O defineres:

𝑂 ( 𝑥) ≔6 · 𝑥^{2} + 8 · ℎ · 𝑥

𝑉 udtrykkes ved 𝑥 ved at løse ligningssystemet:

𝑂 ( 𝑥) =80
𝑉 ( 𝑥) =6 · ℎ ·𝑥^{2}

Følgende variable elimineres fra ligningssystemet: h vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Eliminer variabel' funktion,

8 · 𝑥· 𝑉 ( 𝑥) + 36 · 𝑥^{4} − 480 · 𝑥^{2} =0

⇕

8 · 𝑥· 𝑉 ( 𝑥) =−36 · 𝑥^{4} + 480 · 𝑥^{2}

⇕ ( 𝑥>0,𝑑𝑒𝑟𝑓𝑜𝑟 𝑚å 𝑣𝑖 𝑑𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑑 det)

𝑉 ( 𝑥) =

( −36𝑥^{4} + 480𝑥^{2})

8𝑥

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑉 ( 𝑥) =−4,5 · 𝑥^{3} + 60 · 𝑥

WordMat tip: Eliminer variabel funktionen findes under «løs ligninger» menuen.

TI-nSpire tip:

Ligningssystemet kan løses lettere på TI-nSpire med kommandoen, hvor o er defineret.

solve(system(o=80,v=x*h*6*x),v,h)

Vi definerer V

𝑉 ( 𝑥):=−4,5 · 𝑥^{3} + 60 · 𝑥

For at bestemme hvornår rumfanget V er størst muligt findes nulpunkter for V’

Side 9

stx113-MAT/B-

9

𝑉^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−2,108185 ∨ 𝑥=2,108185

Da 0<𝑥 <3 forkastes løsningen 𝑥=−2,108185.

Vi undersøger nu om nulpunktet er et maksimum ved at beregne fortegnet for V’ på hver sider af nulpunktet.

𝑉^{′} ( 2) ≈6

𝑉^{′} ( 2,2) ≈−5,34

Da V’ er positiv til venstre for og negativ til højre for nulpunktet er der tale om et maksimum.

For en kasse med et overfladeareal på 80 m^{2} er rumfanget V af kassen dermed størst muligt ved at kassens
dybde er x = 2,11 m.