STX Matematik B august 2011 | Med hjælpemidler

Side 1

stx112-MAT/B-

1

Vejledende besvarelse

Matematik B STX d. 11. august 2011

Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende.

Det ”pæne” gangetegn ⋅ fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med WordMat, men ser ikke så pænt ud.

Opgave 7 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 30° , B = 130° , AB = 10

130° A = 30°
B = 130°
C = 20°

BC = 14,61902
AC = 22,39764
AB = 10

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵=180° −30° − 130°=20°

Længden af siderne BC og AC findes vha. sinusrelationerne

𝐵𝐶 =𝐴𝐵· =10 · =14,61902

sin ( 𝐴) sin ( 30°) sin ( 𝐶) sin ( 20°)

𝐴𝐶 =𝐴𝐵· =10 · =22,39764

sin ( 𝐵) sin ( 130°) sin ( 𝐶) sin ( 20°)

30° 22,4 20°

10 14,6

Side 2

stx112-MAT/B-

2

Dermed er længden af AC bestemt til 22,4 afrundet til en decimal.

b)

                                                1      1
Da 𝐷 er midtpunktet på siden 𝐴𝐶 kendes længden | 𝐴𝐷 | = | 𝐴𝐶 | = ⋅ 22,39764=11,19882
                                                2      2

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 30° , AD = 11,19882 , AB = 10

A = 30°
B = 86,91751°
D = 63,08249°

BD = 5,607523
AD = 11,19882
AB = 10

Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐷= √ 𝐴𝐷^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐷·𝐴𝐵· cos ( 𝐴) = √ 11,19882^{2} + 10^{2} − 2 · 11,19882 · 10 · cos ( 30°)
=5,607523

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =86,91751°

𝐵𝐷^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐷^{2} 5,607523^{2} + 10^{2} − 11,19882^{2}
2 · 𝐵𝐷· 𝐴𝐵 2 · 5,607523 · 10
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷=180° − 𝐴 − 𝐵 =180° − 30° − 86,91751°=63,08249°

Dermed er længden af BD beregnet til 5,6 afrundet til en decimal.

30° 11,2 63,1°

86,9°

10 5,61

Side 3

stx112-MAT/B-

3

Opgave 8 a)

Da observationerne allerede er ordnet i stigende numerisk orden bestemmes kvartilsættet let. Da der er et ulige antal observationer, 25, er den midterste observation medianen, dvs. observation nr. 13, da dette har

12 observationer på hver side. Medianen er altså 32.

Den nedre kvartil bestemmes som medianen af observationerne til venstre for medianen af hele datasættet, dvs. de 12 første observationer. Da 12 er lige fås medianen som gennemsnittet af de to

                        28+29
midterste observationer, dvs. =28,5.
                          2

Tilsvarende fås den øvre kvartil som medianen af observationerne til højre for medianen af hele

datasættet, dvs.^{35+38}_{2} =36,5.

Kvartilsættet for styrken af elevernes håndtryk er altså (28,5;32;36,5).

Side 4

stx112-MAT/B-

4

Opgave 9 a)

Det bemærkes først, at der er tale om en lineær model (formel 35). Vi udfører derfor en lineær regression med WordMat.

x 688 795 878 999 y 50 100 150 200

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9953485

𝑦=0,4898368𝑥 − 286,463

Ud fra regressionen kan vi aflæse a = 0,490 og b = -286,463, begge afrundet til 3 decimaler.

TI-nSpire løsning: Hvis man bruger TI-nSpire laves regressionen på følgende måde

Bemærk at TI-nSpire benytter amerikansk notation, og derfor ”bytter rundt” på a og b.

b)

Ved at bruge ovenstående model, hvor x = 950 insættes fås:

𝑦=0,4898368 ⋅ 950 −286,463=178,882

Ifølge modellen er den gennemsnitlige vægt af moderkagen pr. gris i kuldet 179 g afrundet til hele gram, når den gennemsnitlige fødselsvægt pr. gris i kuldet er 950 g.

Side 5

stx112-MAT/B-

5

Opgave 10 a) f defineres:

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =3600 ⋅ 0,8544^{𝑥}

𝑓 ( 0) =3600

Der var altså, ifølge modellen, 3600 tigre i Indien i år 2002.

Da der er tale om en eksponentielt aftagende funktion, er halveringskonstanten er givet ved (formel 65)

𝑇 = =4,4050

1

2 ln

1

2 ln0,8544

Bestanden af tigre i Indien halveres altså for hvert 4,4 år afrundet til en decimal.

b)

Vækstraten r, i en eksponentiel funktion er givet ved (formel 60):

1 + 𝑟=𝑎

⇕

𝑟=𝑎− 1

hvor a er fremskrivningsfaktoren.

I ovenstående model er 𝑎=0,8544 og derfor får vi:

𝑟=0,8544− 1=−0,1456=−14,56 %

Vækstraten er negativ så bestanden af tigre i Indien er altså faldende. Bestanden svinder ind med en rate på 14,56 % om året.

c)

𝑓^{′} ( 5) bestemmes med WordMat:

𝑓^{′} ( 5) ≈−257,9238

Den afledte funktion i et punkt angiver væksthastigheden i netop dette punkt. Fem år efter år 2002, dvs. 1.

januar 2007, aftog bestanden med en hastighed på ca. 258 tigre pr. år.

OBS. Bemærk her at f’(5) ikke angiver at bestanden falder med 258 tigre i hele år 2007. f’(5) angiver væksthastigheden til en bestemt dato (og tidspunkt).

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

stx112-MAT/B-

6

Opgave 11 a)

Ligningen løses ved hjælp af WordMat. Først defineres f.

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{4} − 8𝑥^{2} + 1

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−2,805884 ∨ 𝑥=−0,356394 ∨ 𝑥=0,356394 ∨ 𝑥=2,805884

Ligningen har altså 4 løsninger, som angivet ovenfor.

b)

En ligning for tangenten i punktet 𝑃(3,𝑓

(

3

)

)er givet ved ligningen (formel 70)

𝑦=𝑓^{′} ( 3)( 𝑥 − 3) + 𝑓(3)

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=60 · 𝑥− 170

Her bruges kommandoen ”Reducer”, som findes under som findes under omskriv.

Ti-nSpire tip: Denne type opgave kan let beregnes ved kommandoen tangentline: c)

For at bestemme monotoniforholdene for f bestemmer vi først evt. nulpunkter for f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−2 ∨ 𝑥=0 ∨ 𝑥=2

Side 7

stx112-MAT/B-

7

Vi udregner nu fortegnet af f’ på begge sider af disse nulpunkter ved hjælp af WordMat.

𝑓^{′} ( −3) =−60

𝑓^{′} ( −1) =12

𝑓^{′} ( 1) =−12

𝑓^{′} ( 3) =60

Vi har dermed at:

f er aftagende i intervallerne ] − ∞; −2] og [ 0;2]

f er voksende i intervallerne [−2;0] og [2,∞[

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

stx112-MAT/B-

8

Opgave 12 a)

Ud fra figuren ses det at graferne for funktionerne skærer hinanden for 𝑥=2.

Da 𝑓(2)=2^{3} =8=𝑔(2) kan vi bekræfte dette.

Arealet A af punktmængden 𝑀 er da givet ved (formel 97), som beregnes med WordMat

𝐴=∫ ( 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)) 𝑑𝑥=∫ ( 8 − 𝑥^{3}) 𝑑𝑥 =12

2

0

2

0

Side 9

stx112-MAT/B-

9

Opgave 13 a)

Klodsens overfladeareal beregnes som summen af klodsens siders areal. Arealet af disse sider beregnes hver især som højde gange bredde. Klodsens overfladeareal er dermed:

𝑂=𝑥 + 𝑥^{2} + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦+ 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦=2𝑥^{2} + 4𝑥𝑦

2 b)

For at bestemme den værdi af 𝑥 for hvilken 𝑉

( 𝑥

) er størst mulig, skal vi bestemme ekstrema for V.

𝑉 ( 𝑥) ≔ ( 16 − 𝑥^{2}) 𝑥

1

2

Vi ser først om V’(x) har nulpunkter i intervallet.

𝑉^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=− ∨ 𝑥=

4 4

√ 3 √ 3

Da 𝑥>0 bortkastes den negative løsning.

Vi undersøger nu om den positive løsning er et maksimum ved at bestemme værdien for V’(x) på begge sider af punktet. Dette gøres i punkterne:

    3                        6
𝑥=    = √ 3≈1,732051 og 𝑥=     =2 · √ 3≈3,464102
    √                       √

3 3

Som begge ligger i intervallet 0<𝑥<4.

Funktionsværdierne beregnes med WordMat:

𝑉^{′} ( √ 3) =

7

2

𝑉^{′} ( 2 · √ 3) =−10

                                           4                  4
Ud fra dette kan vi se at funktionen V vokser før 𝑥= og aftager efter 𝑥= .
                                           √ 3                √ 3

             4
Dermed er 𝑥=   et maksimum for V i intervallet ]0;4[ og er altså den værdi, for hvilken klodsens areal er
             √ 3

størst mulig.