STX Matematik B 7. december 2016 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

1

STX Matematik B

7. december 2016

stx163-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler Løsning med WordMat ..................................................................................... 6

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

Modellen er en lineær model:

𝑦 = 1631𝑥 + 191942

Tallet 1631 betegner funktionens hældningskoefficient, dvs. ifølge modellen vokser indbyggertallet i en bestemt by i Danmark med 1631 om året i perioden

Tallet 191942 betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. ifølge modellen var indbyggertallet i år 2006 bestemt

til 191942 i en bestemt by i Danmark.

Opgave 2

𝑥^{2} − 4𝑥− 5= 0

Vi bestemmer diskriminanten:

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐
= ( −4)^{2} − 4 · 1 · ( −5)
= 16 + 20
= 36

Rødderne for ligningen er givet ved:

𝑥 =

−𝑏± √ 𝑑

2𝑎

Dvs.:

𝑥_{1} =

− ( −4) − √ 36
2 · 1
=

4 − 6

2

=

−2

2

= −1

Og:

𝑥_{2} =

− ( −4) + √ 36
2 · 1
=

4 + 6

2

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

3

=

10

2

= 5

Andengradsligningen har løsningerne x = -1 og x = 5.

Opgave 3

𝑓 ( 𝑥) = 2^{𝑥} − 3𝑥

Vi bestemmer funktionsværdien f(3):

𝑓 ( 3) = 2^{3} − 3 · 3
= 8 − 9
= −1

Funktionsværdien f(3) er bestemt til -1.

Opgave 4

𝑃 ( 𝑥) = 𝑎· 𝑥^{2} + 𝑏 · 𝑥 + 8

Det er oplyst, at diskriminanten er negativ, dvs. der findes ingen rødder til grafen for P. Ydermere har vi, at

c = 8, dvs. at grafen for P i x = 0 skal skære y-aksen i 8. Vi tegner en mulig graf for P.

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

4

Opgave 5

Det er oplyst, at diagonalerne står vinkelret på hinanden, dvs. vi har at figuren er en rombe, det medfører desuden, at siderne er lige lange:

Vi beregner vinduets areal ved:

𝐴 = · 𝑑_{1} · 𝑑_{2}

1

2

= · 60 · 80

1

2

= · 480

1

2

= 240

Arealet af vinduet er bestemt til 240 cm^{2}.

Omkredsen af vinduet bestemmes som 4 gange hypotenusen for en af de 4 retvinklede trekanter som udgør vinduet:

𝑐^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

⇕

𝑐 = 𝑎 + 𝑏^{2}

√^{2}

Dvs.:

𝑐 = 30^{2} + 40^{2}

√
= √ 900 + 1600
= √2500
= 50

Omkredsen af vinduet er da:

𝑂 = 50 · 4
= 200

Omkredsen af vinduet er bestemt til 200 cm.

Vi har, at hhv. højden = a = 30 samt grundlinjen = b = 40 svarer til halvdelen af parallelogrammets

sider.

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

5

Opgave 6

𝑓 ( 𝑥) = 4𝑥^{3} − 6𝑥

𝑃 ( 1,3)

Vi bestemmer en stamfunktion F(x) til f(x) ved at integrere f(x):

𝐹 ( 𝑥) = ∫4𝑥^{3} − 6𝑥𝑑𝑥

= · 4 · 𝑥^{4} − 3𝑥^{2} + 𝑘(𝐼)

1

4

= 𝑥^{4} − 3𝑥^{2} + 𝑘

Vi bestemmer stamfunktionen til f, hvis graf netop går igennem punktet P, ved at indsætte punktet P i udtrykket herover og isolere k:

3 = 1^{4} − 3 · 1^{2} + 𝑘

⇕

3 = 1 − 3 + 𝑘

⇕

3 = −2 + 𝑘

⇕

𝑘 = 5

Vi opskriver stamfunktionen, hvis graf netop går igennem punktet P:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑥^{4} − 3𝑥^{2} + 5

Stamfunktionen til F, hvis graf netop går igennem punktet P, er bestemt til ovenstående udtryk.

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹 ( 𝑥)

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+2

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

6

Delprøven med hjælpemidler

Løsning med WordMat

Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Modellen kan beskrives med en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Vægt 0,005 0,024 0,098 0,280 11,8 33,5 85,7

(målt i kg)

Iltforbrug 28,1 75,2 181 350 3653 7026 13400

(målt i Ml pr. time)

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,

𝑦 = 784,75112 · 𝑥^{0,62989313}

Konstanten a er bestemt til 0,630 (afrundet til 3 decimaler), og konstanten b er bestemt til 784,75 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer tallet a og væksten for vægten af pattedyret som r_{x}:

𝑎 ≔ 0,62989313

𝑟_{𝑥} ≔ 0,40

Vi bestemmer den procentvise forøgelse af iltforbruget, når vægten øges med 40 %, ved at løse for r_{y} i

nedenstående udtryk:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 𝑟_{𝑥} + 1)^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

7

𝑟_{𝑦} = 0,23607563

Ifølge modellen forøges iltforbruget med 23,61 % (afrundet til 2 decimaler), når vægten for pattedyret øges med 20 %.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

Vi bestemmer længden af siden a med WordMats trekantsløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 57°, C = 20°, b = 18

B A = 57°
B = 103°
C = 20°

a = 15,493159
b = 18
c = 6,3183002

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
𝐵 = 180° − 𝐴 − 𝐶
= 180° − 57° − 20°
= 103°

Længden af siden a findes vha. en sinusrelation:

𝑎 = 𝑏 ·

sin ( 𝐴) sin ( 𝐵)

= 18 ·

sin ( 57°) sin ( 103°)

= 15,493159

Længden af siden a er bestemt til 15,49 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi tegner en skitse af trekant ABC med højden h_{c} indtegnet i Paint, resultatet kopieres ind i besvarelsen. Vi
har, at højden for h_{c} ligger uden for trekant ABC. Fodpunktet for højden h_{c} kaldes for HC:

A b C c a

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

8

Vi bestemmer længden af højden h_{c} med WordMats trekantsløser. Vi bestemmer højden h_{c} som
modstående katete til vinkel A i den retvinklede trekant som A og C udgør med højden h_{c}:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: HC = 90° , A = 57° , b = 18

C HC = 90°
C = 33°
A = 57°

b = 18
AHC = 9,8035026
hc = 15,09607

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
𝐶 = 180° − 𝐻𝐶 − 𝐴
= 180° − 90° − 57°
= 33°

Længden af højden hc findes vha. sinus:

ℎ𝑐 = 𝑏· sin ( 𝐴)
=18 · sin ( 57)

HC AHC A hc b

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

9

=15,09607
Længden af højden h_{c} er bestemt til 15,1 (afrundet til 1 decimal).

Opgave 9 a)

Vi definerer forskriften for C samt definitionsmængden for m:

𝐶 ( 𝑚) ≔ 10^{0,78478·(log(}

𝑚

173,961

))

2

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 50 < 𝑚 < 250

Vi bestemmer Sinclair-koefficienten for en vægtløfter, der vejer 62 kg, ved at bestemme C(62):

𝐶 ( 62) ≈ 1,4373112

Sinclair-koefficienten for en vægtløfter, der vejer 62 kg, er bestemt til 1,44 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer vægten af en vægtløfter med en Sinclair-koefficient på 1,2, ved at løse for m i C(m) = 1,2:

𝐶 ( 𝑚) = 1,2

⇕ Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑚 = 83,716376

Vægten for en vægtløfter med en Sinclair-koefficient på 1,2 er bestemt til 83,72 kg (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 10 a)

At der er en lineær sammenhæng mellem den gennemsnitlige vægt af danske kvinder og tiden, betyder, at ændringen i den gennemsnitlige vægt er lige stor hvert år. Vi ved, at der over en 5-årig periode sker en stigning på 1,4 kg. Vi kan derfor bestemme den årlige stigning ved at dele denne stigning med 5:

1,4

5

= 0,28

Den årlige stigning i den gennemsnitlige vægt af danske kvinder er bestemt til 0,28 kg.

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

10 b)

Vi bestemmer, hvor lang tid der, ifølge modellen, vil gå, før den gennemsnitlige vægt af danske kvinder er vokset med 4 kg ved at dele 4 kg med den årlige stigning på 0,28 kg:

4

0,28

=14,28571428571429

Ifølge modellen vokser den gennemsnitlige vægt af danske kvinder med 4 kg på 14,3 år (afrundet).

Opgave 11 a)

Vi foretager en X^{2} -test med WordMats skabelon for netop dette, testen foretages på et 5 %

signifikansniveau. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Resultat af test:

χ²-test | Observa.

Forventede

Køn/Marmelade Type 1 Type 2 I alt Køn/Marmelade Type 1 Type 2 I alt

Mand 125 35 160 Mand 133,3333 26,66667 160

Kvinde 100 10 110 Kvinde 91,66667 18,33333 110

I alt 225 45 270 225 45 270

P-værdi: 0,56% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: | 5%
Frihedsgrader: | 1
Q-værdi: | 7,5

0,5208333 2,7 0,8 3,7878788

Kritisk Q-værdi: | 3,1

Da p-værdien = 0,56 % er mindre end signifikansniveauet på 5 %, må vi forkaste nulhypotesen. Ifølge

testen, er der altså sammenhæng på et 5 % signifikansniveau mellem køn og hvilken af de to marmeladetyper, der foretrækkes.

b)

                               2
Vi angiver den samlede teststørrelse 𝑥

-teststørrelse aflæst som Q-værdi fra resultatet af testen i opg a).

Teststørrelsen er bestemt til 7,67 (afrundet til 2 decimaler).

De enkelte testsstørrelser beregnes med følgende formel:

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

11

𝑥^{2} =

( 𝑂_{𝑖} − 𝐹_{𝑖})^{2}
𝐹_{𝑖}

I Excel, med data fra testen i opg a), beregner vi de individuelle teststørrelser. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Fi (forventet) Oi (observeret) x^2 (testsstørrelse)

Mand: type 1 | 133,3333 | 125 | 0,7
Mand: type 2 | 26,66667 | 35 | 2,8
Kvinde: type 1 | 91,66667 | 100 | 0,4
Kvinde: type 2 | 18,33333 | 10 | 3,6

Vi kan konkludere, at Kvinde: type 2 med en individuel teststørrelse på 3,79 (afrundet til 2 decimaler) bidrager mest til den samlede teststørrelse. Med andre ord, så afviger de observerede værdier for Kvinde: type 2 mest fra de forventede værdier.

Opgave 12 a)

Vi definerer forskriften for f:

𝑓 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{3} + 3𝑥^{2} + 10𝑥

Vi definerer førstekoordinaten for punktet P:

𝑥_{0} ≔ 2

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P:

𝑦_{𝑡} = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 10 · 𝑥+ 4

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3,081666 ∨ 𝑥 = −1,081666

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider nulpunkterne for den afledede funktion:

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

12

𝑓^{′} ( −2) = −14

𝑓 ( 1) = 12

𝑓^{′} ( 4) = −14

f er aftagende i intervallet ]-∞; -1,081] og [3,081; ∞[

f er voksende i intervallet [-1,081; 3,081] c)

Vi bestemmer det bestemte integral opgivet i opgaveformuleringen:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 93,75

5

0

Det bestemte integral er bestemt til 93,75.

Vi tegner grafen i intervallet [0; 5], og markerer området mellem grafen for f og x-aksen i intervallet [0; 5].

Området markeres i Paint, resultatet kopieres derefter ind i besvarelsen:

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

13

Opgave 13 a)

Vi bestemmer tallet a vha. formlen for fordoblingskonstanten:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

⇕

4 =

log ( 2) log ( 𝑎)

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 1,1892071

Tallet b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. tallet b er lig 1024.

Vi opstiller (og definerer til senere brug) en model for N(t):

𝑁 ( 𝑡) ≔ 1024 · 1,1892071^{𝑡}

Vi bestemmer N(4):

𝑁 ( 4) ≈ 2047,9999

Til tiden 4 år er antallet af dyr i populationen ifølge modellen bestemt til 2048 (afrundet op til helt dyr).

Vi bestemmer væksthastigheden til t = 4 ved at bestemme N’(4):

𝑁^{′} ( 4) ≈ 354,89131

Væksthastigheden til tidspunktet t = 4 er bestemt til 355 dyr pr. år (afrundet op til helt dyr).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: