STX Matematik B 7. December 2012 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

1

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med Windows-computere)

Tip: Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i

WordMat

Opgave 7 a)

Først beregnes de kumulerede frekvenser i MS Excel:

Sumkurven tegnes nu med WordMat (Faneblad ”Graftegning” - Statistik - Sumkurve):

Wordmat udregner også kvartilsæt.

0,0%

25,0%

50,0%

75,0%

100,0%

60 70 80

Side 2

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

2

Sumkurve 1 Sumkurve 2 Sumkurve 3

Kvartilsæt kurve 1 Kurve 2 Kurve 3 interval interval interval endepunkt Kum. Frek endepunkt Kum. Frek endepunkt Kum. Frek vis? x

20 0,0% 0% 0% Nedre 34,086 0 0

30 13,6% Median 43,36 0 0

40 41,5% Øvre 53,094 0 0

50 66,8% Fraktiler

60 93,3%

70 100,0%

Kvartilsættet er således bestemt til: ( 34,43,53)

Resultaterne er afrundet til et helt tal.

Side 3

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

3

Opgave 8 a)

Den angivne model for udviklingen 𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 ⋅ 𝑎^{𝑥} er en eksponentiel sammenhæng.
Forskriften for udviklingen kan bestemmes i WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel)

som en regression over tabellens data:

År efter 2006 0 1 2 3 4

Gæld (i mia. kr.) 50,1 54,8 60,2 65,8 72,1

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9999451

𝑦 = 50,08955 · 1,095378^{𝑥} = 1,095378^{x} · 50,08955

På baggrund regressionens resultat kan tallene a og b aflæses af ovenstående funktionsudtryk:

𝑎 = 1,095

𝑏 = 50,090

Resultaterne er afrundet til tre decimaler.

b)

Fordoblingskonstanten 𝑇 kan bestemmes med formlen (jf. formel 59) (beregnet med WordMat (CAS -
                    2

Beregn)):

                ln
𝑇             =     =        = ln ( 2 ) · 11,01875≈7,637618
                ln    ln

2

( 2) ln ( 2)

( 𝑎) ( 1,095)

Fordoblingstiden er således bestemt til: 𝑇_{2} = 7,6 å𝑟

Resultatet er afrundet til én decimal.

c)

Forskriften for udviklingen i gælden er (jf. 8a): 𝑓 ( 𝑥) =50,090⋅ 1,095^{𝑥}

hvor 𝑥 er antal år efter 2006 og 𝑓(𝑥) er gælden til tiden 𝑥 i mia. kr.

Årstallet, hvor gælden er 120 mia. kr., kan bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 120 mht. 𝑥

(WordMat: CAS - Løs Ligning(er))

120 = 50,090 ⋅ 1,095^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 9,626759

Konklusionen er, at danskernes gæld til det offentlige ifølge modellen er vokset til 120 mia. kr. ca. 9,6 år efter 2006, hvilket er godt halvejs gennem år 2015.

Side 4

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

4

Opgave 9 a)

Længden af |𝐴𝐵| bestemmes med WordMat's trekantsløser (Diverse - Trekant), som anvendes med input:

C = 25°, |BC| = 10 , |AC| = 12

A = 55,20321°
B = 99,79679°
C = 25°

BC = 10
AC = 12
AB = 5,146468

Længden på siden 𝐴𝐵 er således bestemt til: | 𝐴𝐵 | = 5,1

Resultatet er afrundet til én decimal.

Arealet af trekant ABC med de givne mål kan bestemmes som (jf. formel 29):

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ | 𝐴𝐶 | ⋅ | 𝐵𝐶 | ⋅ sin (𝐶)

1

2

De kendte værdier indsættes og beregnes (med WordMat):

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ 12 ⋅ 10 ⋅ sin ( 25) = 60 · sin ( 25) ≈ 25,3571

1

2

Arealet er således bestemt til (afrundet til én decimal): 𝑇 = 25,4
                                                𝐴𝐵𝐶

b)

Givet 𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = 15, ∠𝐶 = 25° og | 𝐴𝐶 | = 12 kan |𝐵𝐶| bestemmes ud fra følgende ligning (jf. formel 29):

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ | 𝐴𝐶 | ⋅ | 𝐵𝐶 | ⋅ sin (𝐶)

1

2

De kendte værdier indsættes og |𝐵𝐶| ligningen løses for BC med WordMat (CAS - Løs Ligning(er)):

15 = ⋅ 12 ⋅ 𝐵𝐶 ⋅ sin ( 25)

1

2

⇕ Ligningen løses for BC vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐵𝐶 = 5,915504

A AC C

B

AB BC

Side 5

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

5

Med WordMat bestemmes længden af |𝐵𝐶| således til: | 𝐵𝐶 | = 5,9

Resultatet er afrundet til én decimal.

TIP. Hvis man benævner linjestykket med |BC| og løser med WordMat, kommer der to løsninger, da WordMat opfatter det som numerisk værdi af BC. Derfor skriver vi bare ”BC”.

Vinkel B kan nu bestemmes med WordMat's trekantsløser med input: C = 25° , BC = 5,915504 , AC = 12

A = 20,63527°
B = 134,3647°
C = 25°

BC = 5,915504
AC = 12
AB = 7,093854

Vinkel 𝐵 bestemmes med WordMat til: ∠𝐵 = 134,4°

resultatet er afrundet til én decimal.

A AC C

B

AB BC

Side 6

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

6

Opgave 10 a)

Modellen for en potensfunktion er (jf. formel 66): 𝑓 ( 𝑥) = 𝑏∙ 𝑥^{𝑎}
Forskriften for udviklingen kan bestemmes vha. en potensregression i WordMat (Statistik/sands. -

Regression - Potens) x 1 2 y 5 15

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 5 · 𝑥^{1,584963}

Ligningen for sammenhængen mellem 𝑥 og 𝑦 (forskriften for potensfunktionen) er således bestemt til:

𝑦 = 𝑓 ( 𝑥) = 5 · 𝑥^{1,584963}

Værdien for 𝑦 ved 𝑥 = 8 bestemmes ved at indsætte 𝑥 = 8 i forskriften (beregnes med WordMat):

𝑓 ( 8) = 5 · 8^{1,584963} = 135,0001

Når 𝑥 = 8 er det bestemt, at: 𝑦 = 135,0 (resultatet er afrundet til én decimal)

Side 7

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

7

Opgave 11 a)

Overfladearealet for en person, med vægten 𝑚 = 67 𝑘𝑔 og højden ℎ = 150 𝑐𝑚, bestemmes ved at

indsætte de kendte værdier i den angivne model:

𝑂 = 𝑚^{0,425} ∙ ℎ^{0,725} ∙ 0,007184

kendte værdier indsættes og arealet beregnes med WordMat (CAS - beregn):

𝑂 = 67^{0,425} ∙ 150^{0,725} ∙ 0,007184= 1,622237

Overfladearealet for den aktuelle person er således: 𝑂 = 1,62 𝑚^{2}

Resultatet er afrundet til to decimaler.

b)

Højden på en person, der vejer 92 𝑘𝑔 og har et overfladeareal på 2,16 𝑚^{2} bestemmes ved at indsætte

kendte værdier i den angivne model og løse ligningen for ℎ:

𝑂 = 𝑚^{0,425} ∙ ℎ^{0,725} ∙ 0,007184

kendte værdier indsættes og højden bestemmes med WordMat (CAS - Løs Ligning(er)):

2,16= 92^{0,425} ∙ ℎ^{0,725} ∙ 0,007184

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ = 184,8697

Den pågældende person er således 185 𝑐𝑚 høj, når der afrundes til et helt tal.

Side 8

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

8

Opgave 12 a)

Volumen 𝑉 af træklodsen uden cylinderen kan bestemmes som:

𝑉 = 𝑉_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} − 𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟}

Da klodsen er kvadratisk gælder der, at volumen kan bestemmes som:

𝑉_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 𝑙⋅ 𝑏⋅ ℎ

Volumen (=rumfang) af cylinderen med diameter 6 (dvs. radius 3) er givet ved (side 22 i formelsamlingen)

𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} = 𝜋 ⋅ ℎ⋅ 3^{2} = 𝜋⋅ ℎ ⋅ 9

Dette indsættes og udtrykket reduceres:

𝑉 = 𝑙∙ 𝑏∙ ℎ− 𝜋 ∙ ℎ∙ 9 = ℎ ( 𝑙⋅ 𝑏− 9𝜋)

Side 9

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

9

Opgave 13 a)

Med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GnuPlot) tegnes grafen for funktionen: 𝑓 ( 𝑥) = ( 1 − 𝑥^{2}) ∙ 𝑒^{𝑥}

For at bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet bestemmes først den afledede funktion

𝑓^{′} ( 𝑥) med WordMat (CAS - Inifinites. - Differentier):

𝑓 ( 𝑥) = ( 1 − 𝑥^{2}) ∙ 𝑒^{𝑥}

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 𝑓 ( 𝑥)) = ( −𝑥^{2} − 2 · 𝑥+ 1) · 𝑒^{𝑥}

𝑑 𝑑𝑥 𝑓(1) og 𝑓ʼ(1) bestemmes nu:

𝑓 ( 1) = ( 1 − 1^{2}) ∙ 𝑒^{1} = 0

𝑓^{′} ( 1) = ( −1^{2} − 2 · 1 + 1) · 𝑒^{1} = −2 · 𝑒

Ligningen for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(1,𝑓(1)) bestemmes som (jf. formel 70):

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0}) = −2 · 𝑒 ∙ ( 𝑥− 1) + 0 = −2 · 𝑒 · ( 𝑥− 1)

Side 10

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

10

Ligningen for tangenten til 𝑓 i punktet 𝑃 er således: 𝑦 = −2 · 𝑒 · ( 𝑥− 1)

b)

For at kunne bestemme monotoniforhold for 𝑓 løses først ligningen: 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

hvorved eventuelle ekstrema for 𝑓 kan bestemmes (WordMat: CAS - Løs Ligning(er)):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

( −𝑥^{2} − 2 · 𝑥+ 1) · 𝑒^{𝑥} = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0,4142136 ∨ 𝑥 = −2,414214

For at afgøre forløbet for grafen for 𝑓 foretages fortegnsundersøgelse for 𝑓′ før, mellem og efter de mulige ekstrema, - beregningerne er foretaget med WordMat (CAS - Beregn).

𝑓^{′} ( −3) = ( − ( −3)^{2} − 2 · ( −3) + 1) · 𝑒^{−3} ≈ −0,09957414

𝑓^{′} ( 0) = ( −0^{2} − 2 · 0 + 1) · 𝑒^{0} = 1

𝑓^{′} ( 1) = ( −1^{2} − 2 · 1 + 1) · 𝑒^{1} ≈ −5,436564

På baggrund af dette tegnes monotonilinje (WordMat: Diverse - Figurer)

𝑓 er aftagende i intervallerne] −∞;−2,414] og [ 0,414;∞ [ idet 𝑓^{′} (𝑥) < 0
𝑓 er voksende i intervallet [ −2,414;0,414] idet 𝑓^{′} (𝑥) > 0
f har lokalt minimum for 𝑥 = −2,414
f har lokalt maksimum for 𝑥 = 0,414

c)

Med WordMat (CAS - Beregn) bestemmes integralet ∫_{−1}^{1} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

∫ ( ( 1 − 𝑥^{2}) ∙ 𝑒^{𝑥}) 𝑑𝑥 ≈ 1,471518

1

−1

x

f’(x) 0 + 0

f(x)

-2,414

0,414

– –

Side 11

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

11

Geometrisk set svarer tallet ∫_{−1}^{1} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 til arealet af den punktmængde, der
afgrænses af grafen for 𝑓, førsteaksen samt lodrette linjer gennem 𝑥 = −1 og 𝑥 = 1.

På grafen i spørgsmål 13a svarer integralet til arealet af den punktmængde, der er beliggende over 𝑥-aksen afgrænset af grafen for 𝑓 samt 𝑥-aksen.

Side 12

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

12

Opgave 14 a)

Summeres tabellens rækker og kolonner, fremkommer følgende tabel:

Boligkvarter A Boligkvarter B Sum

Generet af støj 62 71 133

Ikke generet af støj 140 99 239

Sum 202 170 372

Af denne tabel fremgår at:

• 202 personer i boligkvarter A har deltaget i undersøgelsen.

• 170 personer i boligkvarter B har deltaget i undersøgelsen.

• I alt har 372 personer deltaget i undersøgelsen.

• 62 personer i boligkvarter A er generet af støj, - 140 personer er ikke.

• 71 personer i boligkvarter B er generet af støj, - 99 personer er ikke.

• Tilsammen i de to boligkvarterer er 133 personer generet af støj.

• Tilsammen i de to boligkvarterer er 239 personer ikke generet af støj.

Det kunne se ud som om, at der er flere personer i boligkvarter B end i A, der er generet af det udendørs

støjniveau, hvilket kan undersøges med en 𝜒^{2} -test for uafhængighed mellem svar og boligkvarter.

Dertil opstilles følgende nulhypotese:

𝐻_{0}: Lige mange personer er generet af støj uanset valg af boligkvarter.

Med WordMat (Statistik/sands. - 𝜒^{2} test) testes nulhypotesen med et signifikansniveau på 5 %.

χ²-test

Observationer I alt Forventede I alt

62 71 133 72,22043 60,77957 133

140 99 239 129,7796 109,2204 239

I alt 202 170 372 202 170 372

P-værdi: 2,65% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Frihedsgrader: 1

Q-værdi: 4,92626

1,4463662 1,7186234 0,8048816 0,9563888

Kritisk Q-værdi: 3,841459

Side 13

Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

13

Da den fundne P-værdi er mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen 𝐻 .
                                                                    0

Konklusionen er derfor, at der er fundet en sammenhæng mellem valg af boligkvarter og svar vedrørende gene af det udendørs støjniveau, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.