STX Matematik B 5. december 2014 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx143-MAT/B-

STX Mat B - Opgaver uden hjælpemidler - 5. december

2014

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Opgave 1

Da trekant AB𝐶 og trekant 𝐷EF er ensvinklede gælder der, at forholdet mellem enslig-gende sider er konstant (jf. formel 19). Forholdet mellem den lille og den store trekant beregnes:

𝑘 = = = 2

|𝐷E| 10

|AB| 5

Længden af A𝐶 kan nu bestemmes ved følgende relation (jf. formel 20):

|𝐷F | = 𝑘 · |A𝐶|

⇕

|A𝐶| =

𝐷F 𝑘

Værdierne indsættes

|A𝐶| = = 3

6

2

Opgave 2

Ved at indsætte punktet (0, 4) i forskriften for 𝑓 fås:

4 = 𝑏 · 𝑎^{0} = 𝑏 · 1 = 𝑏

Husk at 𝑎^{0} = 1, uanset hvilken værdi 𝑎 har (jf. formel 15)

Ved at indsætte 𝑏 = 4 og punktet (3, 32) i forskriften for 𝑓 fås:
32 = 4 · 𝑎^{3}

⇕

𝑎^{3} = = 8

32

4

⇕

𝑎 = 8 = 2

√_{3}

En forskrift for 𝑓 er dermed:

𝑓(𝑥) = 4 · 2^{𝑥}

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx143-MAT/B-

Opgave 3

Udtrykket reduceres. (jf. formel 7)

(𝑎 + 𝑏)^{2} + 2(𝑏^{2} − 𝑎𝑏) = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏 + 2𝑏^{2} − 2𝑎𝑏
2𝑎𝑏 og −2𝑎𝑏 går ud med hinanden
= 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑏^{2}

= 𝑎^{2} + 3𝑏^{2}

Opgave 4

Da vægten øges med samme værdi for hver kasse, der bliver fragtet, er der tale om en lineær model, som kan beskrives ved forskriften:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Hvis vi betegner x for antallet af kasser på traileren og f(x) trailerens samlede vægt,

angiver 𝑏 startvægten, altså den tomme trailers vægt, og dermed er 𝑏 = 600. 𝑎 angiver

hvor meget vægten bliver øget pr. kasse, der sættes på traileren, og dermed har vi, at

𝑎 = 45. Modellen er dermed:
𝑓(𝑥) = 45𝑥 + 600

Opgave 5

For en parabel ved vi, at toppunktet er bestemt ved følgende formel, (jf. formel 34) T (,)

−𝑏 −(𝑏^{2} − 4𝑎𝑐)

2𝑎 4𝑎

Ud fra forskriften aflæser vi følgende 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, 𝑐 = 0. Vi bestemmer nu x-koordinaten

til toppunktet:

T_{𝑥} = = = 3

−𝑏 −(−6)
2𝑎 2 · 1

og derefter y-koordinaten:

T_{𝑦} = = = = −9

−(𝑏^{2} − 4𝑎𝑐) −((−6)^{2} − 4 · 1 · 0 −36
4𝑎 4 · 1 4

Toppunktet for parablen findes dermed i punktet:

T = (3, −9)

Tip 1: Husk altid, når du skal insætte værdier i formlerne, at sætte en parantes om-kring eventuelle negative koefficienter. Så er det lettere at holde styr på fortegnene.

Tip 2: Hvis du til eksamen ikke kan huske formlen for parablens toppunkt, kan du

                                        ′
altid differentiere funktionen, løse ligningen 𝑓 (𝑥) = 0 og dermed finde x-koordinaten

til toppunktet. y-koordinatet findes så vi at indsætte den fundne x-værdi i 𝑓’s for-skrift. For den dygtige elev, vil dette også være en god kontrol for om man har regnet rigtigt.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx143-MAT/B-

For at tegne grafen bestemmer vi parablens rødder ved at løse ligningen 𝑓(𝑥) = 0. Da

der er tale om en andengradsligning, bestemmer vi først diskriminanten:

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 = (−6)^{2} − 4 · 1 · 0 = 36

Da 𝑑 > 0 har ligningen to løsninger, som er givet ved (jf. formel 39)

𝑥 =

−𝑏 ± 𝑑

√

2𝑎

Vi beregner den første løsning

𝑥_{1} = = = 6

−(−6) + 36 12

√

2 · 1 2

Vi beregner den anden løsning

𝑥_{2} = = = 0

−(−6) − 36 0

√

2 · 1 2
Løsningerne til ligningen er dermed givet ved 𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = 0.
Vi har dermed at parablen skærer x-aksen for 𝑥 = 0 og 𝑥 = 6. Vi bruger nu dette til at

tegne parablen ind i et koordinatsystem:

Opgave 6

For at løse denne opgave skal vi først bestemme hvilke grafer der hører til 𝑓 og 𝑓^{′}. Derefter

kan vi bestemme hvilken der hører til 𝑔 ved hjælp af udelukkelsesmetoden.

Det ses at grafen A har to vendetangenter, mens B og C kun har en vendetangent. Hvor A har vendetangenter, har både B og C nulpunkter, men hvor B og C har vendetangent har A ikke et nulpunkt. Således må grafen for A høre til funktionen 𝑓 og grafen for B eller

C høre til 𝑓^{′}.

I intervallet mellem de to vendetangenter er 𝑓 voksende, og derfor skal 𝑓^{′} være posi-

tiv i intervallet. Kun grafen for C er positiv i dette interval, og dermed må grafen for C

høre til 𝑓^{′}.

Ved hjælp af udelukkelsesmetoden må grafen for B dermed høre til 𝑔.

3