STX Matematik B 31. maj 2012 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

1

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med Windows-computere)

Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i WordMat

Opgave 7 a)

Da udviklingen er af typen

𝑆 ( 𝑡) = 𝑏⋅ 𝑎^{𝑡}

er der tale om en eksponentiel udvikling, jf. formel 60. Vi indtaster data i Excel og beregner år efter 2005 ved at trække 2005 fra årstallene.

Derefter trækker vi tabellen over i Word, hvor vi bruger WordMat til at lave regressionen med. (Markér

tabel -> Statistik/sands. -> Regression -> Eksponentiel)

År efter 2005 0 1 2 3 4 5

Solcellekapacitet 2056 2899 4170 6120 9914 17320

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9903791

𝑦 = 1902,326 · 1,523175^{𝑥}

En forskrift for S er dermed følgende, som vi definerer i WordMat.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑆 ( 𝑡) = 1902,326 · 1,523175^{𝑡}

b)

År 2015 er 10 år efter 2005, så modellens bud på Tysklands solcellekapacitet i 2015 bliver 𝑆(10), som beregnes med WordMat (Beregn).

𝑆 ( 10) = 127874,2

Ifølge modellen vil Tysklands solcellekapacitet i 2015 altså være ca. 127.874 MW.

Side 2

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

2 c)

Værdien 𝑎 ≈ 1902 fortæller at Tysklands solcellekapacitet i år 2005 er ca. 1902 MW. Det er en afvigelse fra tabeldataet på ca. 8 %. Værdien 𝑏 ≈ 1,52 fortæller at den årlige vækst i solcellekapacitet i perioden er ca.

52 %.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Husk at slette definitioner efter hver delopgave (CAS - Definitioner - Slet definitioner)

Side 3

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

3

Opgave 8 a)

Vi bestemmer først |BC| ved at kigge på trekant BCD, da denne er retvinklet.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 90° , DB = 5+2 = 7 , DC = 6

C D = 90°
C = 49,39871°
B = 40,60129°

CB = 9,219544
DB = 7
DC = 6

Dermed er |BC| = 9,22 afrundet til to decimaler.

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐶 bestemmes ved formlen (formelsamling side 22)

𝐴 = ℎ𝑔 = 6 ⋅ 5=15

1 1

2 2

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐶 er altså 15.

b)

Fra beregningen i opgave a) har vi 𝐵 = 40,6° afrundet til en decimal.

Kald medianens punkt på 𝐵𝐶 for 𝑀. Da medianen deler linjestykket BC i to lige store dele, kender vi |BM|

| 𝐵𝑀 | = | 𝐶𝐵 | = ⋅ 9,219544= 4,609772

1 1

2 2

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 40,60129° , MB = 4,609772 , AB = 5

D DB B

DC CB

Side 4

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

4

M A = 63,43495°
M = 75,96376°
B = 40,60129°

MB = 4,609772
AB = 5
AM = 3,354102

Medianen 𝑚_{𝑎} er altså 𝑚_{𝑎} = 3,35 når der afrundes til to decimaler.

A AB B

AM MB

Side 5

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

5

Opgave 9 a)

Funktionen 𝑉 defineres med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑉 ( 𝑟) = 0,0060 ⋅ 𝑟^{2,6657}

og ligningen 𝑉 ( 𝑟) = 40 løses for 𝑟.

𝑉 ( 𝑟) = 40

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 27,19479

Et græskar der vejer 40 kg har altså ifølge modellen en radius på cirka 27,2 centimeter.

b)

Den procentvise vægtforøgelse for et græskar når radius forøges med 10 % bestemmes ved ligningen, som beregnes med WordMat.

𝑉 ( 1,1 ⋅ 𝑥)

𝑉 ( 𝑥)

− 1 = 0,2892599

Når radius for et græskar forøges med 10 % forøges altså vægten med ca. 29 %.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

6

Opgave 10 a)

Funktionen f defineres med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{4} − 2𝑥^{2} + 4

Ligningen løses

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1

Løsningsmængden til ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0 er altså

𝐿 = { −1,0,1}

b)

f har mulige ekstremaer for 𝑥=-1, x=0 og x=1. f’ evalueres med WordMat i punkter på alle sider omkring

disse punkter for at bestemme om det er ekstremaer.

𝑓^{′} ( −2) = −24

𝑓^{′} ( −0,5) = 1,5

𝑓^{′} ( 0,5) = −1,5

𝑓^{′} ( 2) = 24

Det giver anledning til følgende monotonilinie.

𝑥 −1 0 1
𝑓′(𝑥) − 0 + 0 − 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↘ ↗ ↘ ↗

Vi har dermed at

f er voksende i intervallerne [ −1,0] 𝑜𝑔 [1,∞]

f er aftagende i intervallerne [ −∞,−1] 𝑜𝑔 [0,1]

f har lokalt minimum for x=-1 og x=1

Side 7

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

7

f har lokalt maksimum for x = 0

𝑓(𝑥) c)

Funktionen 𝑔 defineres.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑔 ( 𝑥) = 𝑥^{2} + 2

Graferne for f og g tegnes med WordMat (Vis Graf - Graph) 𝑓 ( 𝑥) 𝑔(𝑥)

Side 8

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

8

Det ses af grafen at der på intervallet [ −1;1] gælder at 𝑓 ( 𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Formlen for arealet af

punktmængden 𝑀 bliver da jf. formel 97. Integralet beregnes med WordMat - Beregn

𝐴 = ∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 = ≈ 2,4

1

−1

12

5

Arealet af punktmængden 𝑀 er altså^{12}_{5}.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

9

Opgave 11 a)

Lad 𝜋_{𝑂} betegne sandsynlighedsvektoren for fordelingen af stemmer ved meningsmålingen og lad 𝜋_{𝐹}

betegne sandsynlighedsvektoren for fordelingen af stemmer ved valget i 2011.

Nulhypotesen kan da formuleres som: 𝐻_{0}: 𝜋_{𝑂} = 𝜋_{𝐹}

De forventede værdier under 𝐻 , kan beregnes ved at multiplicere stemmefordelingen ved valget, 𝜋 med
                          0                                                      𝐹

1096, som er antallet af personer, der er blevet spurgt.

Udregningen laves i Excel og tabellen føres derefter over i Word.

Parti A B C F I K O V Ø

Andel af afgivne stemmer 24,80% 9,50% 4,90% 9,20% 5% 0,80% 12,30% 26,80% 6,70%

Forventede værdier under 𝐻_{0} 272 104 54 101 55 9 135 294 73 1096

b)

Da vi ønsker at undersøge om en observeret fordeling svarer til givet fordeling er der tale om et Goodness-

of-fit test. Dette udføres i WordMat (Statistik/sands. -> Test) hvor den observerede og forventede fordeling

indtastes.

Goodness of fit Nul-hypotese:

Fra Til Obs. Fordeling fordeling niveau: 5%

Forventet Signifikans

A 265 271,808

B 115 104,12 P-værdi: 51%

C 44 53,704 Konklusion: Nul-hypotese bekræftet

F 85 100,832

I 55 54,8

K 7 8,768

O 136 134,808 Goodness of fit bygger på χ²-fordeling

V 313 293,728 8

Frihedsgrader:

Ø 76 73,432 7,269 χ²-værdi:

Xmaks:

16

Dette test giver en p-værdi på ca. 51% og 𝐻_{0} kan ikke forkastes med en statistisk signifikant på 5 % niveau.

Der er altså ikke påvist nogen ændring af befolkningens politiske overbevisning.

Side 10

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

10

Opgave 12 a)

Omkredsen af det tilbageværende metalstykke kan bestemmes som summen af siderne og de to halvcirkler. (En cirkels omkreds findes på side 22 i formelsamlingen)

𝑂_{𝑚𝑒𝑡𝑎𝑙} = 𝐿_{𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟} + 𝐿_{ℎ𝑎𝑙𝑣𝑐𝑖𝑟𝑘𝑙𝑒𝑟} = 2ℎ + 2 ⋅ ( ⋅ 2𝜋 ⋅ 𝑟)

1

2

Da vi ved at omkredsen er lig 6 kan længden ℎ kan udtrykkes ved 𝑟 ved hjælp af ligningen

2ℎ + 2 ⋅ ( ⋅ 2𝜋 ⋅ 𝑟) = 6

1

2

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ = 3 − 𝜋· 𝑟

Arealet af metalstykket er arealet af det oprindelige metalstykke fraregnet arealet af de stykker, der er skæret fra, dvs.

𝐴_{𝑚𝑒𝑡𝑎𝑙} = ℎ ⋅ 2𝑟− 2 ⋅ ( ⋅ 𝑟^{2} ⋅ 𝜋)

1

2

I udtrykket substitueres ℎ med ℎ udtrykt ved 𝑟, og det reduceres med WordMat - Beregn

𝐴_{𝑚𝑒𝑡𝑎𝑙} = ( 3 − 𝜋 · 𝑟) ⋅ 2𝑟 − 2 ⋅( ⋅ 𝑟^{2} ⋅ 𝜋)=6 ·𝑟− 3 · 𝜋· 𝑟^{2}

1

2

Arealet af metalstykket som funktion af 𝑟 er altså

𝐴 ( 𝑟) = 6𝑟 − 3𝜋𝑟^{2}

b)

For at bestemme 𝑟 så arealet bliver størst muligt bestemmes først monotoniforholdene for 𝐴. Funktionen 𝐴

                    ′
defineres, og ligningen 𝐴 ( 𝑟 ) = 0 løses for 𝑟 med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝐴 ( 𝑟) = 6𝑟 − 3𝜋𝑟^{2}

𝐴^{′} ( 𝑟) =0

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 =

1 𝜋

                               1
A har altså et muligt ekstrema for 𝑟 = . Vi undersøger fortegnet for A’ på begge sider af dette punkt.
                               𝜋

𝐴^{′} ( 0) = 6

𝐴^{′} ( 1) = 6 − 6 · 𝜋 ≈ −12,84956

Side 11

Skriftlig matematik STX B - 31. maj 2012 2stx121-MAT/B-

11

                                             1
Det ses således at 𝐴 er en voksende funktion indtil 𝑟 = og en aftagende funktion derefter. Den værdi af 𝑟
                                             𝜋

                                   1
for hvilken arealet bliver størst er altså 𝑟 = .
                                   𝜋

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: