STX Matematik B 30. maj 2007 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

1

STX Matematik B

30. maj 2007

Delprøven med hjælpemidler

STX071-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 2.g

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Funktionen er givet ved:

𝑓 ( 𝑥) =87880 · 𝑥+ 69550

𝑓(𝑥) er det samlede antal biler sendt til ophugning i x år efter år 1987.

x er antal år efter år 1987.

Funktionen beskriver antallet af biler sendt til ophugning efter år 1987. For hvert år efter år 1987, er der blevet sendt 87880 biler til ophugning. I året 1987 blev der sendt til 69550 biler til ophugning.

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

2

Opgave 7 a)

En model af trekant 𝐴𝐵𝐶 og længden af siden 𝑎 bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 72°, b = 4,1, c = 3,8

B A = 72°
B = 56,99199°
C = 51,00801°

a = 4,649842
b = 4,1
c = 3,8

Længden af siden a findes vha. en cosinusrelation

𝑎= √ 𝑏^{2} + 𝑐^{2} − 2 · 𝑏 · 𝑐· cos ( 𝐴)
= √ 4,1^{2} + 3,8^{2} − 2 · 4,1 · 3,8 · cos ( 72°)
=4,649842

Siden 𝑎 aflæses til 4,6 (afrundet til 1 decimal).

b)

Længden af højden på siden 𝑏, kan bestemmes, som den modstående katete, i forhold vinkel 𝐴, i en retvinklet trekant, hvor siden 𝑐 betegner hypotenusen:

ℎ_{𝑏} =sin𝐴 · 𝑐
=sin ( 72) · 3,8

≈3,614015

Længden af højden på siden 𝑏 er fundet til 3,6 (afrundet til 1 decimal).

sin ( 𝛼) =

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛

A b C c a

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

3

Opgave 8 a)

En forskrift for 𝑊, bestemmes ved at løse følgende ligningssystem:

5,5=𝑏· 7,1^{𝑎}

58,4=𝑏· 14,3^{𝑎}

⇕ Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎=3,374303 ∧ 𝑏=0,007378352

En forskrift for 𝑊 er fundet til 𝑊 ( 𝐿) ≔0,007378352· 𝐿^{3,374303}.

b)

Aborrens længde bestemmes ved at løse:

100=𝑊(𝐿)

⇕ Ligningen løses for L vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐿=16,77109

Ifølge modellen vil aborrens længde, når den vejer 100g, være 16,8 cm (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

4

Opgave 9 a)

Udviklingen kan beskrives ved en eksponentiel funktion. En forskrift for 𝑓(𝑥) bestemmes derfor ved eksponentiel regression.

Tabellen opstilles, og der foretages eksponentiel regression:

Årstal efter år 0 1 2 3 4

2002

DHN (mia. kr.) 6,697 7,160 8,137 8,408 10,538

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9335589

𝑦=6,531826 · 1,112637^{𝑥}

En forskrift for 𝑓 ( 𝑥) er fundet til 𝑓 ( 𝑥) ≔𝑦=6,531826 · 1,112637^{𝑥}.

b)

DHN for 2007 bestemmes ved:

𝑓 ( 2007 − 2002) ≈11,13787

Ifølge modellen vil DHN i år 2007 have størrelsen 11,1 mia. kr. (afrundet til 1 decimal).

Fordoblingskonstanten bestemmes ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,112637)

≈6,494224

Ifølge modellen vil DHN fordobles i løbet af en periode på 6,5 år (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

5

Opgave 10 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} − 12𝑥^{2} + 45𝑥 − 50

Grænsen for punktmængden 𝑀 i første kvadrant bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2 ∨ 𝑥=5

Arealet af punktmængden 𝑀 bestemmes ved at løse det bestemte integral for 𝑓(𝑥) i intervallet [ 2;5]:

𝐴_{𝑀} =∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈6,75

5

2

Arealet af punktmængden 𝑀 er fundet til 6,75.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

6

Opgave 11 a)

Funktionerne defineres og intervallet defineres:

𝑂 ( 𝑥) ≔0,04𝑥^{3} − 0,5𝑥^{2} + 2,35𝑥 + 7,5

𝑝 ( 𝑥) ≔8 − 0,4𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 1≤𝑥≤15

En forskrift for 𝐹(𝑥) bestemmes ved:

𝐹 ( 𝑥) =𝑝 ( 𝑥) · 𝑥− 𝑂 ( 𝑥) ≈5,65 · 𝑥 − 0,04 · 𝑥^{3} + 0,1 · 𝑥^{2} − 7,5

Funktionen 𝐹 ( 𝑥) defineres:

𝐹 ( 𝑥) ≔5,65 · 𝑥− 0,04 · 𝑥^{3} + 0,1 · 𝑥^{2} − 7,5

Størrelsen af den produktion pr. uge, der giver størst fortjeneste bestemmes ved optimering. Først bestemmes evt. ekstrema:

𝐹^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=7,74548

For at være sikker på, at der rent faktisk er tale om en maksimum tjekkes differentialkvotienten på begge sider af ekstremum:

𝐹^{′} (7)≈1,17

𝐹^{′} (8)≈−0,43

Det kan konkluderes, at 𝑥=7,74548 rent faktisk er et maksimum. Størrelsen af den produktion pr. uge,

der giver den største fortjeneste, er 7745 (afrundet til helt antal varer).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

7

Opgave 12 a)

Funktionen defineres:

𝑇 ( 𝑡) ≔21 + 59 · 𝑒^{−1,066·𝑡}

Væskens temperatur efter en time bestemmes ved:

𝑇 ( 1) ≈41,31861

Ifølge modellen vil væskens temperatur efter en time være ca. 41,32°C (afrundet til 2 decimaler).

Konstanten 21 er uafhængig af 𝑡 dvs. eftersom temperaturen falder som funktion af tiden, som det også

udgår af konstanten −1,066, vil væskens temperatur nærme sig en konstant værdi på 21°C, når tiden går

mod uendelig.

b)

Tiden, hvor væskens temperatur er 30°C, bestemmes ved:

𝑇 ( 𝑡) =30

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=1,763896

Ifølge modellen går der ca. 1,76 timer (afrundet til 2 decimaler) før at væskens temperatur er 30°C.

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

8

Opgave 13 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ln ( 𝑥) − 3𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥>0

Først bestemmes evt. ekstrema:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0,3333333

Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstrema:

𝑓^{′} ( 0,20) =2

𝑓^{′} ( 0,40) =−0,5

Monotoniforholdene opskrives:

                        1
𝑓 er voksende i intervallet [0; ]
                        3

                       1
𝑓 er aftagende i intervallet [ ;∞[
                       3

                                                        1
Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at 𝑥= er et maksimum.
                                                        3

Maksimummet bestemmes ved at løse:

𝑓 ()≈−2,098612

1

3

Værdien for maksimummet er fundet til -2,1 (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

9

Opgave 14 a)

Først bestemmes et udtryk for ℎ udtrykt ved 𝑟:

2𝜋 · 𝑟· ℎ + 4𝜋 · 𝑟^{2} =4

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=−

2 · 𝜋 · 𝑟^{2} − 2
𝜋· 𝑟

Udtrykket for h, hvor 𝑟 er den eneste variabel, substitueres ind i udtrykket for 𝑉:

𝑉 ( 𝑟) =𝜋 · 𝑟^{2} · ( −) − · 𝜋 ·𝑟^{3}

2 · 𝜋 · 𝑟^{2} − 2 4
𝜋· 𝑟 3

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑉 ( 𝑟) =−

10 · 𝜋 · 𝑟^{3} − 6 · 𝑟

3

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007

10

Opgave 15 a)

Undersøgelsen er kun blevet foretaget på patienter med tarmkræft. Kan man på baggrund af en undersøgelse, der kun er foretaget på patienter med tarmkraft, konkludere noget generelt om alle kræftpatienter, som det gøres i avisen?

Undersøgelsen er foretaget på 770 patienter. Det oplyses ikke, hvor mange af patienterne, der befinder sig i kategorien enlig pga. skilsmisse eller dødsfald. Det er derfor ikke muligt at vurdere om de 40%, som undersøgelsen har fundet frem til, er udtryk for en statistisk usikkerhed?

Tager undersøgelsen højde for aldersfordeling? Ældre patienter har generelt større chance for at være enlig grundet dødsfald end yngre patienter.

Tager undersøgelsen højde for andre nære relationer end ægteskabet? Det påstås i avisen, at det er ægteskab og kun ægteskab, som forøger chancen for at overleve kræftsygdommen.