STX Matematik B 28. maj 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

Opgaver uden hjælpemidler - den 28. maj 2015

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Opgave 1

Reduktion af udtrykket (jf. formel 8)

(𝑎 − 𝑏)^{2} − 𝑏^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 − 𝑏^{2}
𝑏^{2} og −𝑏^{2} udligner hinanden
= 𝑎^{2} − 2𝑎𝑏

𝑎 sættes uden for parantes

= 𝑎(𝑎 − 2𝑏)

Opgave 2

Den beskrevne sammenhæng mellem antallet af dyr og tidspunktet er en eksponentiel

sammenhæng. Modellen herfor er 𝑓(𝑥) = 𝑏 · (1 + 𝑟)^{𝑥} (jf. formel 54)

Her angiver 𝑏 = 200 startværdien, altså antallet af dyr til tidspunktet 𝑡 = 0. Dermed

er der 200 dyr i populationen i år 2002.

𝑎 = 1, 04 er fremskrivningsfaktoren, som kan omregnes til vækstraten på følgende må-

de:

𝑟 = 𝑎 − 1 = 1, 04 − 1 = 0, 04

Det betyder, at populationen vokser med 4% om året.

Opgave 3

Da vi ved at 𝑓 er en lineær funktion, er en forskrift for funktionen givet på følgende form,

(jf. formel 31):

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Vi kan bestemme hældningskoefficienten 𝑎 for linjen gennem P og 𝑄 ved følgende formel,

(jf. formel 30):

𝑎 = = = = 3

𝑦_{2} − 𝑦_{1} 12 − 3 9
𝑥_{2} − 𝑥_{1} 5 − 2 3

Ved at indsætte koordinaterne for et punkt i forskriften sammen med den fundne værdi for 𝑎, kan vi nu bestemme 𝑏. Vi indsætter punktet koordinaterne for punktet P .

3 = 3 · 2 + 𝑏

⇕

𝑏 = 3 − 3 · 2 = −3

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

Dermed har vi bestemt følgende forskrift for 𝑓:

𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 3

Opgave 4

For en parabel ved vi, at toppunktet er bestemt ved følgende formel, (jf. formel 34) T (,)

−𝑏 −(𝑏^{2} − 4𝑎𝑐)

2𝑎 4𝑎

Ud fra forskriften aflæser vi følgende 𝑎 = 3, 𝑏 = −6, 𝑐 = 1. Vi bestemmer nu x-koordinaten

til toppunktet:

T_{𝑥} = = = 1

−𝑏 −(−6)
2𝑎 2 · 3

og derefter y-koordinaten:

T_{𝑦} = = = = = −2

−(𝑏^{2} − 4𝑎𝑐) −((−6)^{2} − 4 · 3 · 1) −(36 − 12) −24
4𝑎 4 · 3 12 12

Toppunktet for parablen findes dermed i punktet:

T = (1, −2)

Tip: Husk altid, når du skal insætte værdier i formlerne, at sætte en parantes omkring eventuelle negative koefficienter. Så er det lettere at holde styr på fortegnene.

Opgave 5

Da trekanterne A𝐶B og 𝐷EF er ensvinklede gælder der, at forholdet mellem ensliggende sider er konstant, (jf. formel 19). Vi bestemmer nu forholdet:

𝑘 = = =

|𝐷E| 15 3

|AB| 10 2

Vi kan nu beregne længden af de to ukendte sider i trekant 𝐷EF :

|EF | = 𝑘 · |B𝐶| = · 7 = = 10, 5

3 21

2 2

|𝐷F | = 𝑘 · |A𝐶| = · 5 = = 7, 5

3 15

2 2

Omkredsen af trekant 𝐷EF kan nu beregnes:

O = |𝐷E| + |𝐷F | + |EF | = 15 + 10, 5 + 7, 5 = 33

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

Opgave 6

Bestemmelse af integralet:

Først anvendes (jf. formel 88,89).

∫ ∫ ∫ ∫
(3𝑥^{2} + 4𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = 3 𝑥^{2} 𝑑𝑥 + 4 𝑥 𝑑𝑥 + 2 𝑑𝑥

(jf. formel 84,87)

= (3 · 𝑥 + 𝑐_{1}) + (4 · 𝑥 + 𝑐_{2}) + (2 · 𝑥 + 𝑐_{3})

1_{3} 1_{2}

3 2

= 𝑥^{3} + 2𝑥^{2} + 2𝑥 + 𝑐

Hvor 𝑐 er integrationskonstanten givet ved 𝑐 = 𝑐_{1} + 𝑐_{2} + 𝑐_{3}.

3