STX Matematik B 27. maj 2016 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

1

STX Matematik B

27. maj 2016

Delprøven uden hjælpemidler

2stx161-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Ligningen løses:

5𝑥 + 7 = 2𝑥 − 2

⇕

5𝑥 − 2𝑥 = −2 − 7

⇕

3𝑥 = −9

⇕

𝑥 = −3

Opgave 2

Der er tale om et fast årligt fald. Vi anvender derfor en lineær model på formen:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Hvor: 𝑦 angiver antallet af husstande med en fastnettelefon 𝑥 angiver antal år efter 2010

𝑎 er hældningskoefficienten og kan tolkes som Δ𝑦, når Δ𝑥 = 1. Det vil sige, at 𝑎 = −54

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

2

𝑏 angiver 𝑦 for 𝑥 = 0 (altså i år 2010). Det vil sige, at 𝑏 = 1512

Modellen opskrives:

𝑦 = −54𝑥 + 1512

Opgave 3

Udtrykket reduceres (𝐼):

2𝑎 · ( 𝑎 − 𝑏) + ( 𝑎 + 𝑏)^{2} − 𝑏^{2} = 2𝑎^{2} − 2𝑎𝑏 + 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏 − 𝑏^{2}
= 3𝑎^{2}

(𝐼) Vi anvender første kvadratsætning:

( 𝑎 + 𝑏)^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏

Opgave 4

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt 𝑃 ( 𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) kan bestemmes som:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})

Hvor:

𝑥_{0} = 1

Og:

𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥^{4} + 𝑥^{2} − 1

Så:

𝑓 ( 1) = 2 · 1^{4} + 1^{2} − 1
= 2 + 1 − 1
= 2

Funktionen differentieres (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2 · 4𝑥^{3} + 2𝑥
= 8𝑥^{3} + 2𝑥

Så:

𝑓^{′} ( 1) = 8 · 1^{3} + 2
= 8 + 2
= 10

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

3

Vi indsætter kendte størrelser i ligningen:

𝑦 = 10 · ( 𝑥 − 1) + 2
= 10𝑥 − 10 + 2
= 10𝑥 − 8

Tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃 ( 1, 𝑓 ( 1)) kan beskrives ved ligningen 𝑦 = 10𝑥 − 8

(𝐼):

Regneregler

( 𝑘 · 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘 · 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎 · 𝑥

𝑎−1

𝑘 0

Opgave 5

Længden af siden 𝐵𝐶 bestemmes vha. Pythagoras:

𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐶^{2} = 𝐴𝐵^{2}

⇕

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2}

√
= 10^{2} − 8^{2}

√
= √ 100 − 64
= √ 36
= 6

Det vil sige, at | 𝐵𝐶 | = 6

Trekanterne er ensvinklede, så forholdet mellem ensliggende sider er konstant. Det vil sige:

𝐷𝐸 𝐸𝐹

𝐴𝐵 𝐵𝐶

=

⇕

𝐷𝐸 = 𝐴𝐵 ·

𝐸𝐹

𝐵𝐶

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

4

= 10 ·

9

6

= 10 ·

3

2

=

30

2

= 15

Det vil sige, at | 𝐷𝐸 | = 15.

Opgave 6 𝑓 er et andengradspolynomium, så grafen er en parabel.

𝑐 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0, så skæringspunktet med 𝑦-aksen ligger under 𝑥-aksen, da 𝑐 < 0. Toppunktet

ligger i 𝑇(3,4). En mulig graf skitseres (𝐼):

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

5

(𝐼):

OBS:

Denne forklaring er ikke nødvendig til eksamen, men den kan være en hjælp, hvis du ikke ved, hvordan du kan tegne en parabel, som passer til oplysningerne.

Parablen er tegnet vha. hovedregning. Vi har forestillet os, at toppunktet repræsenterer (0,0), og at

parablens ligning så er givet ved 𝑦 = −𝑥^{2}. Vi har så udregnet 4 punkter til venstre for toppunktet og spejlet

dem i parablens symmetriakse. Parablen er så tegnet ved at forsøge at lave en glat kurve, som indeholder alle 9 punkter.