STX Matematik B 25. Maj 2012 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

1

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med Windows-computere)

Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i WordMat

fanen.

Opgave 7 a)

Da der er tale om eksponentiel model, laver vi en eksponentiel regression for at bestemme a og b.

Vi indtaster først data i Excel, hvor vi omregner årstal til år efter 1999 ved at trække 1999 fra årstallet.

Derefter trækker vi tabellen over i Word, hvor vi bruger WordMat til at lave regressionen med. (Markér

tabel -> Statistik/sands. -> Regression -> Eksponentiel)

År efter 1999 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Udgift mia. $ 1,44 1,56 1,64 1,82 2,04 2,17 2,43 2,62 2,85 3,3 3,49

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9955465

𝑦=1,404997 ·1,095017^{𝑥}

Ud fra regressionen kan vi dermed bestemme a = 1,095 og b = 1,405 afrundet til 3 decimaler.

b)

Da der er tale om en eksponentielt voksende funktion kan fordoblingstiden (formel 59) bestemmes som

𝑇_{2} = = =log ( 2) · ≈7,636312

log2 log2 11,01687 log𝑎 log1,095017 log ( 𝑒)

Udtrykket beregnes med funktionen ”Beregn” i WordMat.

Fordoblingstiden for udgiften til lobbyarbejde er altså ifølge modellen 7,63 år.

c)

Modellen siger som udgangspunkt kun noget om udgiften i tidsrummet Antager vi at samme

model kan bruges til at beskrive udgiften i 2010, som er 11 år efter 1999, kan vi indsætte x = 11 i modellen:

Side 2

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

2

1,404997 · 1,095017^{11} =3,813334

Den faktiske udgift var dog kun 2,61 mia. og modellens værdi er dermed

3,813334

2,61

− 1=0,4610475=46,1%

større end den faktiske udgift.

Side 3

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

3

Opgave 8 a)

Vi bruger WordMat’s trekantløser (Diverse -> Trekant) til at beregne den ukendte side og vinkel.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 113° , BC = 10,30 , AB = 6,19

B A = 42,86769°
B = 113°
C = 24,13231°

BC = 10,3
AC = 13,93663
AB = 6,19

Vi får dermed |AC|= 13,94 og ∠𝐴=42,87°

b)

Arealet af trekanten ABE kan beregnes med formlen (formel 29)

𝑇= | 𝐴𝐵 || 𝐴𝐸 | ⋅ sin𝐴

1

2

Da vinkel A i trekant ABE er lig vinkel A i trekant ABC, og tilsvarende med |AB| kan vi indsætte værdier fra

delopgave a) og løse ligningen for |AE| ved at sætte T = 5. Da WordMat fortolker |AE| som numerisk værdi

af |AE| benævnes længden af siden ”AE”.

5= ⋅ 6,19 ⋅ 𝐴𝐸⋅ sin(42,86769)

1

2

⇕ Ligningen løses for AE vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴𝐸= ≈2,374674

1,615509 sin ( 42,86769)

Dvs. når |AE|= 2,37 er trekant ABE’s areal lig 5.

A AC C

AB BC

Side 4

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

4

Opgave 9 a)

Der er tale om en potensfunktion og en måde at bestemme a og b på, er ved at lave en potensregression.

De to punkter på grafen indtastes i en tabel x 2 4 f(x) 3 7

og der udføres en potensregression med WordMat.(Marker hele tabel -> Statistik/sands.-> Regression ->

Potens)

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=1,285714 · 𝑥^{1,222392}

Side 5

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

5

Opgave 10 a)

Vi definerer funktionen med WordMat (Definitioner)

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{4} + 8𝑥^{3} + 18𝑥^{2} + 16𝑥 + 5

(Dette indskrives sådan (f(x)=x^4+8x^3+18x^2+16x+5))

Vi løser nu ligningen

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−5 ∨ 𝑥=−1

Løsningsmængden til ligningen er dermed L={-5,-1}

b)

Vi differentierer f(x) med WordMat. (Opskriv f(x) marker og vælg differentier (CAS -> Infinites.)

𝑓(𝑥)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑓^{′} ( 𝑥) =4 · 𝑥^{3} + 24 · 𝑥^{2} + 36 · 𝑥+ 16

                                                                        ′
For at bestemme monotoniforholdene for f løser vi ligningen f’(x) = 0. Først definerer vi 𝑓 ( 𝑥 )

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓^{′} ( 𝑥) =4 · 𝑥^{3} + 24 · 𝑥^{2} + 36 · 𝑥+ 16

Ligningen løses med WordMat’s funktion ”Løs ligning(er)”

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−4 ∨ 𝑥=−1

Grafen for f har altså vandrette tangenter for x=-4 og x=-1. Vi undersøger om det er lokale minima eller

maksima ved at beregne f’ på hver side af de to punkter.

𝑓^{′} ( −5) =−64

𝑓^{′} ( −3) =16

𝑓^{′} ( 0) =16

Side 6

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

6

Dermed får vi følgende monotonilinje x -4 -1

f ’(x) - 0 + 0 +

f(x) aftagende voksende voksende

Vi har dermed at

f er aftagende i intervallet ] − ∞,−4]

f er voksende i intervallet [−4,∞[

f har globalt minimum for x = -4

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Skitse:

Side 7

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

7

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionerne f og g med WordMat. Først slettes definitioner fra tidligere. (CAS -> Definitioner ->

Slet definitioner). Man starter en ligningsboks til at lave en definition med alt+d.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) = 𝑥
√

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑔 ( 𝑥) =0,5𝑥

Vi kan bestemme x-koordinaterne til skæringspunkterne mellem graferne for f og g ved at løse ligningen

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=4

x-koordinaterne for skæringspunkterne er dermed x=0 og x=4. Vi beregner de tilhørende y-koordinater

med WordMat kommandoen Beregn.

𝑓 ( 0) =0

𝑓 ( 4) =2

Dermed er koordinatsættene til skæringspunkterne (0,0) og (4,2) 𝑓 ( 𝑥) 𝑔 ( 𝑥)

Side 8

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

8 b)

Arealet af punktmængden M kan bestemmes med formlen (formel 97). Integralet udregnes med WordMat kommandoen beregn.

𝐴_{𝑚} =∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 =1,333333

4

0 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

9

Opgave 12 a)

Lad 𝜋 betegne sandsynlighedsvektoren for blodtypefordelingen af lægeklinikkens patienter og lad 𝜋
    𝑂                                                                             𝐵

betegne sandsynlighedsvektoren for blodtypefordelingen for den danske befolkning.

Nulhypotesen kan dermed formuleres som 𝐻_{0}: 𝜋_{𝑂} =𝜋_{𝐵}

De forventede værdier under 𝐻_{0}, kan beregnes ved at multiplicere blodtypefordelingen for den danske

befolkning med 950, som er antallet af patienter. Udregningen laves i Excel og tabellen føres derefter over i Word.

A+ O+ B+ AB+ A- O- B- AB-

37% 35% 8% 4% 7% 6% 2% 1% 100%

351,5 332,5 76 38 66,5 57 19 9,5 950

At hypotesen er sand betyder jo netop at 𝐻_{0} gælder. I den danske befolkning er der 37%, der har

blodtype A+, og gælder samme fordeling for patienterne er det jo netop 37% af de 950 patienter, der

har blodtype A+ osv.

b)

Da vi ønsker at undersøge om en observeret fordeling svarer til givet fordeling er der tale om et Goodness-

of-fit test. Dette udføres i WordMat (Statistik/sands. -> Test) hvor den observerede og forventede fordeling

indtastes.

Goodness of fit Nul-hypotese: den forventede fordeling

Den observerede stikprøve stammer fra

Fra Til Fordeling fordeling niveau: 5%

Obs. Forventet Signifikans

A+ 350 351,5
O+ 320 332,5 P-værdi: 2%
B+ 80 76 Konklusion: Nul-hypotese forkastet
AB+ 55 38

A- 56 66,5

O- 50 57

B- 30 19 Goodness of fit bygger på χ²-fordeling

AB- 9 9,5 7

Frihedsgrader: χ²-værdi:

17,2

Xmaks:

16

Vi får en p-værdi på 2 % og dermed kan vi på et 5 % signifikansniveau afvise at lægeklinikkens patienter har samme blodtypefordeling, som den danske befolkning. Vi forkaster dermed nulhypotesen.

Side 10

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

10

Opgave 13 a)

Vi bestemmer først arealet af trekant AEH og BEF (jf. formel for trekants areal side 22 i formelsamling)

𝐴_{𝐴𝐸𝐻} = ⋅ 𝑥 ( 4 − 2𝑥)

1

2

𝐴_{𝐵𝐸𝐹} = ⋅ 2𝑥 ( 4 − 𝑥)

1

2

Arealet af parallelogrammet kan nu beregnes ved at tage det samlede areal af kvadratet (4 x 4 = 16) og

fratrække arealet af de fire trekanter.

𝑇(𝑥)=16 − (2 ⋅ ( ⋅ 𝑥 ( 4 − 2𝑥)) + 2 ⋅ ( ⋅ 2𝑥 ( 4 − 𝑥)))

1 1

2 2

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑇(𝑥)=−2 · 𝑥 ( 4 − 𝑥) − 𝑥 ( 4 − 2 · 𝑥) + 16

Her kan WordMat ikke komme længere, så resten af reduktionen laves i hånden

𝑇(𝑥)=−2 · 𝑥 ( 4 − 𝑥) − 𝑥 ( 4 − 2 · 𝑥) + 16= −8𝑥 + 2𝑥^{2} − 4𝑥+ 2𝑥^{2} + 16=4𝑥^{2} − 12𝑥 + 16

Hvilket var det vi skulle vise.

b)

For at finde den værdi af x, der gør arealet mindst muligt laves en funktionsundersøgelse af T.

Vi definerer først T(x) med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑇 ( 𝑥) =4𝑥^{2} − 12𝑥+16

Vi bestemmer så T’(x) med WordMat

𝑇(𝑥)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

8 · 𝑥− 12

Vi definerer T’(x)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑇^{′} ( 𝑥) =8 · 𝑥− 12

Vi løser nu ligningen T’(x)=0 for x

𝑇^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 11

Skriftlig matematik STX B - 25. maj 2012 1stx121-MAT/B-

11

𝑥=

3

2

Vi har dermed at grafen for t har en vandret tangent for x = 3/2. Vi undersøger nu om det er et ekstremum
ved at lave en fortegnslinje. Vi evaluerer T’ i punkter på hver side af x=3/2 med WordMats funktion Beregn

𝑇^{′} ( 2) =4

𝑇^{′} ( 1) =−4

Vi kan nu lave en fortegnslinje

x 3/2

t’(x) - 0 + t(x) aftagende voksende

Vi har dermed at x = 3/2 er minimum for T(x), og dermed er det værdien x = 3/2 der minimerer arealet af

parallelogrammet.