STX Matematik B 24. maj 2016 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

1

STX Matematik B

24. maj 2016

Delprøven uden hjælpemidler

1stx161-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Vi løser ligningen:

3𝑥 + 6 = −𝑥 + 2

⇕

3𝑥+ 𝑥 = 2 − 6

⇕

4𝑥 = −4

⇕

𝑥 = −1

Vi konkluderer, at 𝑥 = −1.

Opgave 2

Hvis og kun hvis punktet 𝑃(2,10) ligger på grafen for 𝑓, gælder der, at 𝑓 ( 2) = 10. Vi undersøger, om dette

er tilfældet:

𝑓 ( 2) = 2^{2} + 3 · 2
= 4 + 6
= 10

Da 𝑓 ( 2) = 10, kan vi konkludere, at punktet 𝑃(2,10) ligger på grafen for 𝑓.

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

2

Opgave 3

Der er tale om en eksponentiel funktion på formen 𝑦 = 𝑏· 𝑎^{𝑥}

Tallet 𝑏 =5000 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0.

Det vil sige, at der blev indsat 5000 kr. på kontoen samtidig med oprettelsen.

Tallet 𝑎 =1,03 er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om den årlige vækstrate 𝑟, idet:

𝑟 = 𝑎− 1
= 1,03 − 1
= 0,03
= 3%

Det vil sige, at kontoens indestående vokser med 3% om året.

Opgave 4

Vi har, at:

𝑓 ( 𝑥) = ln ( 𝑥) + 𝑥^{4}, 𝑥 > 0

Funktionen differentieres (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) = + 4𝑥^{3}, 𝑥 > 0

1 𝑥

                                                𝑎
( 𝐼 ) Reglen om ledvis differentiation, og differentiation af 𝑥 og ln (𝑥):

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{𝑎} ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑎 · 𝑥^{𝑎−1}
𝑓 ( 𝑥) = ln ( 𝑥), 𝑥 > 0⇒ 𝑓 ( 𝑥) =, 𝑥 > 0

′

1 𝑥

Opgave 5

Grafen for 𝑓(𝑥) en ret linje, som kan tegnes vha. to punkter og en lineal. Vi bestemmer to funktionsværdier:

𝑓 ( −4) = 2· ( −4) + 1 = −7

𝑓 ( 4) = 2· 4 + 1 =9

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

3

Grafen for 𝑔(𝑥) er en parabel med toppunkt i 𝑥 = 0. Parablen er symmetrisk omkring den lodrette akse,

der går gennem toppunktet. Vi bestemmer fem funktionsværdier og anvender parabelsymmetrien til spejling:

𝑔 ( 0) = 0^{2} + 1 =1

𝑔 ( 1) = 1^{2} + 1 =2

𝑔 ( 2) = 2^{2} + 1 =5

𝑔 ( 3) = 3^{2} + 1 = 10

𝑔 ( 4) = 4^{2} + 1 = 17

                                                   1
ℎ(𝑥) er en eksponentielfunktion. Det vil sige, at ℎ ( −𝑥 ) = . Vi bestemmer fem funktionsværdier og
                                                 ℎ(𝑥)

anvender dette forhold til at indtegne flere punkter:

ℎ ( 0) = 2^{0} = 1

ℎ ( 1) = 2^{1} = 2

ℎ ( 2) = 2^{2} = 4

ℎ ( 3) = 2^{3} = 8

ℎ ( 4) = 2^{4} = 16

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

4

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

5

Opgave 6

Vi har, at:

𝑓 ( 𝑥) = 5 · 𝑒^{𝑥} + 𝑥^{3}

Funktionen integreres, hvorved vi finder en generel forskrift for alle stamfunktioner til 𝑓 (𝐼):

𝐹 ( 𝑥) = ∫5 ·𝑒^{𝑥} + 𝑥^{3} 𝑑𝑥

= 5· 𝑒^{𝑥} + 𝑥^{4} + 𝑘

1

4

Da grafen for stamfunktionen 𝐹 går gennem punktet 𝑃(0,10), har vi, at 𝐹 ( 0) = 10. Det vil sige:

10 = 5 · 𝑒^{0} + · 0^{4} + 𝑘

1

4

⇕

10 = 5 + 𝑘

⇕

𝑘 = 5

                                                                              1
                                                                           𝑥     4
Forskriften for den stamfunktion til 𝑓, hvis graf går gennem 𝑃(0,10), er således 𝐹 ( 𝑥 ) = 5 ·𝑒 + 𝑥 + 5
                                                                              4

(𝐼):

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝐹 ( 𝑥) + 𝑘

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1