STX Matematik B 22. maj 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-

STX Mat B - Opgaver uden hjælpemidler - 22. maj 2015

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Opgave 1

Ligningen løses:

4𝑥 − 7 = 81

⇕

4𝑥 = 81 + 7

⇕

𝑥 = = = 22

81 + 7 88

4 4

Opgave 2

Den beskrevne sammenhæng mellem vægt og antallet af uger siden starten af slankekuren

er en lineær sammenhæng. Modellen herfor er 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (jf. formel 35)

Her angiver 𝑏 = 87 startværdien, altså vægten personen har når slankekuren begynder
til tiden 𝑥 = 0. Personen vejer altså 87 kg før slankekuren begynder. 𝑎 = −0, 45 er hæld-

ningskoefficienten, som angiver hvor meget funktionen vokser eller aftager pr. tidsenhed.

Her betyder −0, 45 at personen ifølge modellen taber sig 0,45 kg. pr. uge.

Opgave 3

Da der er tale om en andengradsligning med 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = −10, starter vi med at
beregne diskriminanten, 𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐.
𝑑 = 3^{2} − 4 · 1 · (−10) = 9 + 40 = 49

Da 𝑑 > 0 betyder det, at ligningen har to løsninger, som er givet ved:

𝑥 =

−𝑏 ± 𝑑

√

2𝑎

Vi beregner den første løsning

𝑥_{1} = = = = 2

−3 + 49 −3 + 7 4

√

2 · 1 2 2

Vi beregner den anden løsning

𝑥_{2} = = = = −5

−3 − 49 −3 − 7 −10

√

2 · 1 2 2
Løsningerne til ligningen er dermed givet ved 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −5

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-

Opgave 4

Arealet af en trekant kan beregnes med formlen (jf. formel Se side 22 i formelsamlingen):

A = h𝑔

1

2

Da vi kender arealet og en højde i trekanten, kan vi beregne længden af grundlinjen |A𝐶| til denne højde ved at løse ligningen.

24 = · 6 · |A𝐶|

1

2

⇕

|A𝐶| = = 8

24

3

Da trekanten er retvinklet, kan vi nu bestemme længden af den sidste side ved hjælp af Pythagoras’ sætning (jf. formel 21).

|AB|^{2} = |B𝐶|^{2} + |A𝐶|^{2}

= 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

⇓

|AB| = 100 = 10

√

Opgave 5

Da 𝑎 > 0 betyder det, at grafen for f ’smiler’.

Da 𝑑 > 0 betyder det, at grafen for f skærer x-aksen to steder.

Da 𝑐 < 0 betyder det, at grafen skærer y-aksen under x-aksen.

En mulig graf for 𝑓 er dermed:

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-

Opgave 6

Først bestemmes en stamfunktion til 𝑓 :

Først anvendes (jf. formel 88,89,90).

F (𝑥) = (4𝑥^{3} − 9𝑥^{2} + 1) 𝑑𝑥 = 4 𝑥^{3} 𝑑𝑥 − 9 𝑥^{2} 𝑑𝑥 + 1 𝑑𝑥

∫ ∫ ∫ ∫

(jf. formel 84,87)

= (4 · 𝑥 + 𝑐_{1}) − (9 · 𝑥 + 𝑐_{2}) + (𝑥 + 𝑐_{3})

1_{4} 1_{3}

4 3

= 𝑥^{4} − 3𝑥^{3} + 𝑥 + 𝑐

Hvor 𝑐 er integrationskonstanten givet ved 𝑐 = 𝑐_{1} + 𝑐_{2} + 𝑐_{3}.

For at bestemme den stamfunktion, hvis graf gør gennem punktet P (1, 12) indsættes punktet i den generelle form for stamfunktionen, og løses for 𝑐:

12 = 1^{4} − 3 · 1^{3} + 1 + 𝑐

⇕

𝑐 = 12 − (1^{4} − 3 · 1^{3} + 1)

= 12 − (1 − 3 + 1)

= 13

En forskrift for den stamfunktion til 𝑓, hvis graf gør gennem punktet P (1, 12) er dermed:

F (𝑥) = 𝑥^{4} − 3𝑥^{3} + 𝑥 + 13

3