STX Matematik B 18. december 2007 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

1

STX Matematik B 18. december 2007

Delprøven med hjælpemidler

STX073-MAB

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Husk, at kun én af opgaverne 14a og 14b må afleveres til bedømmelse.

Opgave 6 a)

Vi bestemmer P, når d = 9,0:

𝑃=0,087 · 9,0 +1,113=1,896

Trykket i dybden 9,0 m er bestemt til 1,9 bar (afrundet til 1 decimal).

Vi bestemmer d, når P = 2:

2=0,087 · 𝑑+ 1,113

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑=10,1954

Dybden, hvor trykket er 2 bar, er bestemt til 10,2 m (afrundet til 1 decimal).

b)

Der er tale om en lineær funktion af formen:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑎𝑥+ 𝑏

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

2

Tallet 0,087 betegner konstanten a og er grafen for funktionens hældningskoefficient. Dvs., at trykket stiger med 0,087 bar, for hver meter dybden stiger med.

Tallet 1,113 er funktionens værdi i x = 0. Dvs., at trykket ved dybden 0 meter (eller i vandoverfladen) er

1,113 bar.

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

3

Opgave 7 a)

Der er tale om en eksponentialfunktion:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥}

Vi bestemmer fremskrivningsfaktoren a vha. formlen for halveringskonstanten:

47=

log ( 2) log ( 𝑎)

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=1,014857

Vi bestemmer tallet b ved at indsætte punktet P i ligningen og isolere for b:

100=𝑏 · 1,014857^{3}

⇕ Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏=95,67213

Vi opstiller forskriften for f (afrundet til 2 og 3 decimaler).

𝑓 ( 𝑥) =95,67 · 1,015^{𝑥}

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

4

Opgave 8 a)

Der er tale om en potentiel sammenhæng, og vi bestemmer derfor tallene a og b vha. potentiel regression.

Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:

Fosforkoncentration 40 48 61 74 83 90

(𝜇g fosfor pr. liter)

Tæthed af 200 219 247 272 288 300 fiskebiomasse (kg pr. ha)

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9999985

𝑦=31,6181 · 𝑥^{0,5000043}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til 0,50 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 31,62 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer tallet a og den procentvise vækst 𝑟 :
                                      𝑥

𝑎≔0,5

𝑟_{𝑥} ≔0,50

Vi bestemmer den relative vækst ved:

𝑟_{𝑦} + 1= ( 𝑟_{𝑥} + 1)^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =0,2247449

Når x vokser med 50 %, vokser M med 22,47 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

5

Opgave 9 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔3𝑥^{3} − 24𝑥^{2} + 48𝑥

Vi integrerer funktionen og bestemmer stamfunktionen:

𝐹 ( 𝑥) =∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥=0,75 · 𝑥^{4} − 8 · 𝑥^{3} + 24 · 𝑥^{2} + 𝑘

Vi indsætter punktet P og isolerer k:

60=0,75 · 4^{4} − 8 · 4^{3} + 24 · 4^{2} + 𝑘

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=−4

Vi opskriver stamfunktionen, der går gennem punktet P:

𝐹 ( 𝑥) =0,75 · 𝑥^{4} − 8 · 𝑥^{3} + 24 · 𝑥^{2} − 4

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

6

Opgave 10 a)

Vi bestemmer først kvartilsættet for klasse A:

Vi opskriver observationerne i rækkefølge:

3, 6, 6, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 20, 20.

Vi aflæser kvartilsættet:

Mindste: 3

Nedre Q1: 12

Median: 13

Øvre Q3: 16

Største: 20

Vi benytter nu WordMats skabelon til at indtegne de to boksplot. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Vi sammenligner de to boksplot:

Klasse A har generelt klaret sig bedre end klasse B. Medianen for klasse B er 12, og dvs., at 50 % af eleverne har fået 12 eller flere rigtige svar. Derimod har klasse A nedre kvartil samme sted, som klasse B har median

– dvs. at 75 % af eleverne i klasse A har 12 eller flere rigtige svar. Dog findes det laveste antal rigtige svar i klasse A.

25

B

A

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

7

Opgave 11 b)

Når andengradsligningen har netop én løsning, er diskriminanten lig 0. Dette udnyttes:

𝑑=𝑏^{2} − 4𝑎𝑐=0

⇕

2^{2} − 4𝑎𝑐=0

⇕

4=4𝑎𝑐

⇕

𝑎𝑐=1

⇕

𝑐=

1 𝑎

Vi kan konkludere, at sammenhængen mellem tallene c og a er omvendt proportional.

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

8

Opgave 12 a)

Vi bestemmer c med WordMats trekantløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 56°, B = 43°, a = 6,7

B A = 56°
B = 43°
C = 81°

a = 6,7
b = 5,511679
c = 7,982162

Længden af siderne b og c findes vha. sinusrelationer:

𝑐=𝑎 · =6,7 · =7,982162

sin ( 𝐶) sin ( 81°) sin ( 𝐴) sin ( 56°)

Længden af siden c aflæses fra WordMats trekantsløser:

Siden c er bestemt til 7,98 (afrundet til 2 decimaler).

Arealet af trekant ABC bestemmes ved:

𝑇= · 𝑎· 𝑐· sin ( 𝐵)

1

2

= · 6,7 · 7,89 · sin ( 43)

1

2

≈18,02624

Arealet af trekant ABC er bestemt til 18,03 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Længden af medianen m_{a} bestemmes med WordMats trekantsløser. Vi udnytter, at medianen har fodpunkt

midt på siden a:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 56°, B = 43°, 1/2a = 3,35

A b C c a

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

9

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 43°, 1/2a = 3,35, c = 7,982162

B A = 22,43997°
B = 43°
= 114,56°

1/2a = 3,35
ma = 5,985337
c = 7,982162

Længden af m_{a} findes vha. en cosinusrelation:

𝑚𝑎= + 𝑐^{2} − 2 · · 𝑐· cos ( 𝐵) = √ 3,35^{2} + 7,982162^{2} − 2 · 3,35 · 7,982162 · cos ( 43°)

√

1 1

2𝑎^{2} 2𝑎
=5,985337
Medianen m_{a} aflæses fra WordMats trekantsløser:

Medianen m_{a} er bestemt til 5,99 (afrundet til to decimaler).

A ma

c 1/2a

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

10

Opgave 13 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔−𝑥^{3} + 4𝑥^{2} + 3𝑥− 3

Vi bestemmer evt. ekstrema:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−0,3333333 ∨ 𝑥=3

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( −1) =−8

𝑓^{′} ( 0) =3

𝑓^{′} ( 4) =−13

Vi kan på baggrund af funktionsundersøgelsen konkludere, at f har lokale ekstrema i x = -0,33 (afrundet til 2
decimaler) og x = 3.

b)

Vi tegner grafen for f:

Hvis ligningen f(x) = a skal skære grafen 3 steder, skal værdien for a befinde sig mellem funktionsværdien i

maksimum og minimum:

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

11

Vi bestemmer funktionsværdien i de to ekstrema:

𝑓 ( −0,3333333) ≈−3,518519

𝑓 ( 3) =15

Værdien af a skal opfylde, at -3,52 < a < 15 (første grænse afrundet til 2 decimaler).

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

12

Opgave 14a a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔−𝑥^{2} + 9

Vi bestemmer først skæringspunkterne med førsteaksen (x-aksen):

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−3 ∨ 𝑥=3

Vi definerer førstekoordinaterne:

𝑥_{0} ≔−3

𝑥_{1} ≔3

Vi bestemmer tangentens ligning for x = -3:

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=6 · 𝑥+ 18

Tangentens ligning i x = -3 er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi bestemmer tangentens ligning for x = 3:

𝑦_{𝑡1} =𝑓^{′} ( 𝑥_{1}) · ( 𝑥− 𝑥_{1}) + 𝑓 ( 𝑥_{1})
=−6 · 𝑥+ 18

Tangentens ligning i x = 3 er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Arealet mellem grafen for f og tangenterne bestemmes ved integrering.

Rækkefølgen af integralerne betyder intet. Har et af integralerne en negativ værdi, benytter vi den absolutte værdi.

∫ 6 · 𝑥+ 18𝑑𝑥 + ∫ −6𝑥+ 18𝑑𝑥 − ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =18

0 3 3

−3 0 −3

Arealet afgrænset af grafen for f og tangenterne er bestemt til 18.

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

13

Opgave 14b a)

Der er tale om en eksponentiel sammenhæng, og vi bestemmer derfor modellen vha. eksponentiel regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Årstal | År efter år 1998 | Fosforkoncentration (målt i 𝜇g

fosfor pr. liter)

1998 | 0 | 230
2005 | 7 | 64

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=230 · 0,8329828^{𝑥}

Vi bestemmer fosforkoncentrationen i år 2010 ved at bestemme y, når x = :

𝑦=230 · 0,8329828^{(}^{2010−1998} ≈25,66612

)

Fosforkoncentrationen i Kruså Sø i år 2010 er ifølge prognosen 25,67 𝜇g fosfor pr. liter (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi foretager en lineær regression på tabellen i a):

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=−23,71429𝑥 + 230

Vi bestemmer fosforkoncentrationen i år 2010 ved at bestemme y, når x = :

𝑦=−23,71429 · ( 2010 − 1998) + 230≈−54,57148

Med prognosen baseret på en lineær model er fosforkoncentrationen i år 2010 negativ, hvilket reelt ikke er muligt. Det kan konkluderes, at en lineær funktion ikke er pålidelig i denne sammenhæng. Den eksponentielle funktion vil derimod aldrig bevæge sig under 0 og er derfor den mest hensigtsmæssige af de to, når man vil beskrive udviklingen i fosforkoncentrationen i Kruså Sø.