STX Matematik B 16. august 2007 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

1

STX Matematik B 16. august 2007

Delprøven med hjælpemidler

STX072-MAB

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Husk, at kun én af opgaverne 16a og 16b må afleveres til bedømmelse.

Opgave 6 a)

Vi definerer funktionen og definitionsmængden: 𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥+

1 𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 > 0

Vi bestemmer stamfunktionen:

𝐹 ( 𝑥) = ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥
= 0,5 · 𝑥^{2} + ln ( 𝑥) + 𝑘

Vi indsætter det kendte punkt og isolerer k:

3,5 = 0,5 · 1^{2} + ln ( 1) + 𝑘

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘 = 3

Vi opskriver stamfunktionen og afslutter opgaven:

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

2

𝐹 ( 𝑥) = 0,5 𝑥^{2} + ln ( 𝑥) + 3

Stamfunktionen, der går igennem punktet F(1) = 3,5, er bestemt til ovenstående udtryk.

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

3

Opgave 7 a)

Vi beregner de resterende sider i trekant ABC vha. WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 38,1°, A = 13,5°, a = 1,6

B C = 38,1°
B = 128,4°
A = 13,5°

c = 4,229073
b = 5,371319
a = 1,6

Længden af siderne c og b findes vha. sinusrelationer:

𝑐 = 𝑎· = 1,6 · = 4,229073

sin ( 𝐶) sin ( 38,1°) sin ( 𝐴) sin ( 13,5°)

𝑏 =𝑎· = 1,6 · = 5,371319

sin ( 𝐵) sin ( 128,4°) sin ( 𝐴) sin ( 13,5°)

Vi beregner distancen, som pigerne har tilbagelagt:

𝐴𝐵𝐶𝐴 = 𝑐+ 𝑎+ 𝑏
= 4,229073 + 1,6 + 5,371319
= 11,20039

Pigerne løber 11,20 km (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi beregner den resterende side i trekant AED vha. WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 130,2°, a = 4,0, d = 1,5

D A = 36,81426°
D = 12,98574°
E = 130,2°

a = 4
d = 1,5
e = 5,098577

C b A a c

A d E e a

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

4

Længden af siden e findes vha. en cosinusrelation:

𝑒 = √ 𝑑^{2} + 𝑎^{2} − 2 · 𝑑· 𝑎· cos ( 𝐸) = √ 1,5^{2} + 4^{2} − 2 · 1,5 · 4 · cos ( 130,2°) = 5,098577

Vi beregner distancen, som drengene har tilbagelagt:

𝐴𝐷𝐸𝐴 = 𝑒+ 𝑎+ 𝑑 = 5,098577 + 1,5 + 4,0= 10,59858

Drengene løber 10,60 km (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer differencen mellem distancerne, som pigerne og drengene har tilbagelagt:

Δ𝑑𝑖𝑠𝑡 = 11,20 − 10,60 = 0,60

Pigerne har løbet 0,60 km længere end drengene.

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

5

Opgave 8 a)

Vi definerer funktionen og definitionsmængden:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 5𝑥− 𝑒^{𝑥}

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: − 4 ≤ 𝑥 ≤ 8

Vi bestemmer evt. ekstrema samt punkter for vendetangenter:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1,609438

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af det fundne ekstremum:

𝑓^{′} ( 1) = 2,281718

𝑓^{′} ( 2) = −2,389056

På baggrund af differentialkvotientens fortegn kan vi konkludere, at x = 1,609438 er punktet for

funktionens maksimum.

Vi bestemmer andenkoordinaten: 𝑓 ( 1,609438) ≈ 3,04719

Funktionens maksimum er bestemt til 3,05 (afrundet til 2 decimaler).

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

6

Opgave 9 a)

Udviklingen kan beskrives vha. en lineær funktion, og vi bestemmer derfor forskriften ved lineær regression:

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

År | 2002 | 2003 | 2004 | 2005
År efter år 2002 | 0 | 1 | 2 | 3
Antal | 82 | 123 | 191 | 259

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9879562

𝑁(𝑡) = 59,9𝑡+ 73,9

Vi bestemmer N(12):

𝑁(12) = 59,9 · 12 + 73,9
= 792,7

Vi forklarer betydningen af tallet:

Tallet N(12) beskriver antallet af fangede laks i Skjern Å 12 år efter år 2002, dvs. i år 2014. Ifølge modellen vil antallet af fangede laks være 793 (afrundet til helt tal) i år 2014.

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

7

Opgave 10 a)

Vi skriver z udtrykt ved y:

𝑧 =3 · 𝑦 (1)

Vi bestemmer y udtrykt ved x:

𝑦 = 𝑘 ·

1 𝑥

Vi bestemmer k ved at indsætte den angivne relation mellem y og x:

10 = 𝑘·

1

0,5

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘 = 5

Vi indsætter den fundne værdi for k:

𝑦 = 5 · (2)

1 𝑥

Vi skriver z udtrykt ved x ved at substituere (2) ind i (1):

𝑧 = 3 · (5 ·)

1 𝑥

=

15 𝑥

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

8

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} − 𝑥^{2} − 𝑥+ 4

1

4

Vi bestemmer først skæringspunktet A, som har den mindste førstekoordinat:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = 4

Skæringspunktet A er bestemt til x = -2.

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet A:

Vi definerer førstekoordinaten til punktet A:

𝑥_{0} ≔ −2

Vi bestemmer en tangent til grafen for f i punktet ved at bruge ligningen:

𝑦_{𝑡} = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

= 6 𝑥+ 12

Tangenten til grafen for f i punktet A er bestemt til ovenstående udtryk.

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

9

Opgave 12 a)

Vi bestemmer fremskrivningsfaktoren i Florida ved:

𝑎 = + 1

2,13

100 %

= 1,0213 %

I løbet af 10 år vokser indbyggertallet med:

𝑎^{10} = 1,0213^{10}
= 1,23462

Det svarer til en vækstrate på:

𝑟 =1,23462 − 1
= 0,23462 · 100 %
= 23,462 %

I løbet af 10 år vokser indbyggertallet i Florida med 23,5 % (afrundet til 1 decimal).

Der er tale om en fast procentvis udvikling, og vi bestemmer derfor indbyggertallet i Florida i år 2007 vha.

en eksponentiel model af typen f(x) =b · a^{x}:

Vi opstiller og definerer modellen ud fra den fundne værdi for a og b = 15,98 aflæst i tabellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 15,98 · 1,0213^{𝑥}

Vi bestemmer f():

𝑓 ( 2007 − 2000) = 18,52039

Ifølge modellen vil indbyggertallet i år 2007, hvis udviklingen fortsætter efter år 2000, være 18,52 mio.

(afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer ligeledes en model for udviklingen af indbyggertallet for staten New York:

Vi bestemmer fremskrivningsfaktoren:

𝑎 = + 1

0,54

100 %

=1,00054 %

Vi opstiller og definerer modellen:

𝑔 ( 𝑥) ≔ 18,98 · 1,0054^{𝑥}

Vi løser for x i f(x) = g(x):

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

10

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 10,96485

Hvis udviklingen fortsætter, vil de to stater have lige mange indbygger ca. 11 år (afrundet til helt år) efter år

2000, dvs. ca. i år 2011.

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

11

Opgave 13 a)

Sumkurven og kvartilsættet bestemmes i WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Sumkurve:

Kvartilsæt:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Mindste 41

Nedre | 47,35
Median | 50,22
Øvre | 52,89

Største 59

0%

25%

50%

75%

100%

61

Observationer

Sumkurve

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

12

Opgave 14 a)

Vi definerer funktionerne:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{2} + 4𝑥 + 10

𝑔 ( 𝑥) ≔ 𝑥+ 14

Vi bestemmer grænserne for punktmængden:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 1

Vi bestemmer arealet af punktmængden ved:

𝐴_{𝑀} = ∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =−20,83333

1

−4

Vi benytter den positive værdi:

Arealet af punktmængden M er bestemt til 20,83 (afrundet til 2 decimaler).

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

13

Opgave 15 a)

Vi bestemmer først h udtrykt ved x:

Arealet af en trekant er generelt givet ved:

𝑇 = · ℎ · 𝑔 = 𝑥· 𝑥·

1 1

2 2

Volumen af trekanten er da givet ved:

𝑉 =𝑥^{2} · · ℎ

1

2

Dvs., at vi kan isolere h udtrykt ved x:

100= 𝑥^{2} · · ℎ

1

2

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ =200 𝑥^{−2}

Vi bestemmer overfladearealet:

Beholderens overflade består af:

𝑇 =2 · 𝐴_{𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡} + 𝐴_{𝑠𝑡𝑜𝑟𝑡𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙} + 2 · 𝐴_{𝑙𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙}
= 2 · · 𝑥· 𝑥+ ℎ · 𝑥 + 𝑥^{2} + 2 · 𝑥· ℎ

1

2

√^{2}

Dvs. overfladen af beholderen udtrykt ved x kan skrives som:

𝐴 ( 𝑥) = 2 · · 𝑥^{2} + 𝑥 + 𝑥^{2} · ( 200 · 𝑥^{−2}) + 2 · 𝑥· ( 200 · 𝑥^{−2})

1

2

√^{2}

Side 14

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

14

Opgave 16a a)

Vi definerer modellen:

𝑁 ( 𝑡) ≔

2000

1 + 39 · 𝑒^{−0,1·𝑡}

Vi bestemmer N(0):

𝑁 ( 0) = 50

Antallet af individer til t = 0 er bestemt til 50.

Vi bestemmer N’(0):

𝑁^{′} ( 0) = 4,875

Væksthastigheden til tiden t = 0, dvs. det 0. døgn, er bestemt til 4,88 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi tegner grafen i intervallet [0; 100]:

Vi bestemmer t, når N(t) = 1000:

𝑁 ( 𝑡) = 1000

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 =36,63562

Til tiden 36,64 døgn (afrundet til 2 decimaler) er antallet af individer ifølge modellen 1000.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 15

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

15

Opgave 16b a)

Vi definerer de tre sider:

𝐴𝐵 ≔ 𝑥

𝐵𝐶 ≔ 𝑥

3

𝐴𝐶 ≔

3𝑥

4

Vi kender alle tre sider og benytter os af en cosinusrelation (I), hvorved vi isolerer vinklen:

𝐵𝐶^{2} = 𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 2 · 𝐴𝐵· 𝐴𝐶 · cos ( 𝐴)

⇕ Ligningen løses for A vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴 = 14,62647

Vinkel A er bestemt til 14,63° (afrundet til 2 decimaler).

(I):

𝑎^{2} = 𝑏^{2} + 𝑐^{2} − 2 · 𝑏 · 𝑐 · cos ( 𝐴)

b)

Vi benytter formlen for arealet af en trekant (II):

13 = · 𝑥· () · sin ( 14,62647) (𝐼)

1 3𝑥

2 4

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −11,71686 ∨ 𝑥 = 11,71686

Vi benytter den positive værdi:

Når arealet af trekant ABC er 13 er x = 11,72 (afrundet til 2 decimaler).

(II):

𝑇 = · 𝑐· 𝑏· sin ( 𝐴)

1

2

Side 16

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007

16