STX Matematik B 14. maj 2008 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

1

STX Matematik B 14. maj 2008

Delprøven med hjælpemidler

STX081-MAB

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Husk, at kun en af opgaverne 15a og 15b må afleveres til bedømmelse.

Opgave 6 a)

Vinkel i trekant bestemmes med WordMats trekantsløser:

D

ADH

WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, CD = 6, CH = 5

C H = 90°
C = 33,55731°
D = 56,44269°

CD = 6
HD = 3,316625
CH = 5

Vinkel findes vha. en sinusrelation:

D

H HD D

CH CD

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

2

𝐷 = sin^{−1} ()=sin^{−1} () = 56,44269°

𝐶𝐻 5

𝐶𝐷 6

Vinkel aflæses fra WordMats trekantsløser.

D

Vinkel er aflæst til 56,44 ° (afrundet til 2 decimaler).

D b)

Vi bestemmer |BD| i firkant ABCD som en side i trekant ABD med WordMats trekantløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 90°, AD = 7, AB = 5

B A = 90°
B = 54,46232°
D = 35,53768°

BD = 8,602325
AD = 7
AB = 5

Længden af siden BD findes vha. Pythagoras’ sætning:

𝐵𝐷 = 𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐷^{2} = 5 + 7^{2} = 8,602325

√ √^{2}

|BD| aflæses fra WordMats trekantsløser.

|BD| er bestemt til 8,60 (afrundet til 2 decimaler).

A AD D

AB BD

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

3

Vi bestemmer |AC| i firkant ABCD som en side i trekant ACD med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 56,44°, CD = 6, AD = 7

C A = 53,62274°
C = 69,93726°
D = 56,44°

CD = 6
AD = 7
AC = 6,209989

Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation:

𝐴𝐶 = √ 𝐴𝐷^{2} + 𝐶𝐷^{2} − 2 · 𝐴𝐷· 𝐶𝐷 ·cos ( 𝐷) = √ 7^{2} + 6^{2} − 2 · 7 · 6 · cos ( 56,44°) = 6,209989

|AC| aflæses fra WordMats trekantsløser.

|AC| er bestemt til 6,21 (afrundet til 2 decimaler).

A AD D

AC CD

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

4

Opgave 7 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær funktion, og vi bestemmer derfor tallene a og b ved lineær regression:

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Alder 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(år)

Længde 310 348 386 424 462 500 536 572 610

(cm)

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9999071

𝑦 = 37,46667𝑥+ 273,5556

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til 37,5 (afrundet til 1 decimal), og tallet b er bestemt til 273,6 (afrundet til 1 decimal).

b)

Tallet a er hældningskoefficienten for funktionens graf og er aflæst til 37,5 cm (afrundet til 1 decimal).

Tallet beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Ifølge modellen vokser spækhuggeres længde med 37,5 cm for hvert år ældre, hvalerne bliver.

Tallet b er funktionens værdi i x = 0. Dvs., at spækhuggere med en alder på 0 år er 273,6 cm lange (afrundet

til 1 decimal).

Vi bestemmer x, når y = 700:
700 = 37,46667· 𝑥+ 273,5556

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 11,38197

Alderen af 700 cm lang spækhugger er bestemt til 11,4 år (afrundet til 1 decimal).

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

5

Opgave 8 a)

Vi benytter renteformlen og løser for r, hvor antal terminer svarer til n = :

60 = 20 · ( 1 + 𝑟)^{(}^{2020−2005}

)

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 0,07598962

Den årlige procentvise stigning er bestemt til 7,60 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

6

Opgave 9 a)

Vi definerer funktionerne:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 8 − 𝑥^{2}

𝑔 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{2}

Vi opstiller integralet og bestemmer arealet af M. Vi kan aflæse på grafen, at f > g i hele intervallet:

𝐴_{𝑀} = ∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 21,33333

2

−2

Arealet af M er bestemt til 21,33 (afrundet til 2 decimaler).

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

7

Opgave 10 a)

Vi opstiller en model:

𝐸(𝑣) = 𝑘· 𝑣^{3}

E er havvindmøllens energiproduktion som funktion af vindhastigheden v, og k er proportionalitetskonstanten.

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

8

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} − 3𝑥^{2} + 2𝑥

Vi bestemmer førstekoordinaterne ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 11

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 3

Førstekoordinaterne til røringspunkterne for de to tangenter er bestemt til x = -1 og x = 3.

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

9

Opgave 12 a)

Vi bestemmer w, når d = 4:

9670 · 4^{−1,49} ≈ 1225,624

Vægten af tørstof er bestemt til 1225,6 g (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer først d, når h = 100:

100 = 970 · 𝑑^{−0,443}

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 = 168,8401

Vi bestemmer w, når d = 168,8401:

9670 · 168,8401^{−1,49} ≈ 4,639678

Vægten af tørstof i en 100 cm høj plante er bestemt til 4,64 g (afrundet til 2 decimaler).

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

10

Opgave 13 a)

Vi tegner sumkurven og bestemmer kvartilsættet med WordMats skabelon for grupperede observationer.

Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Kvartilsæt: b)

Vi tegner de to boksplot med WordMats skabelon. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Vi kommenterer forskellen ud fra de to boksplot:

Sammenligner vi de to boksplot, står det klart, at længden af havkatte i dybden 5-40 m generelt er større end i dybden 40-80 m. Vi kan desuden se, at længden varierer inden for et langt større interval i dybden 40-

80 m end i dybden 5-40 meter. En mulig forklaring herpå kunne være, at havkatten begynder livet i dybden

40-80 m og senere, når den er blevet større, enten forbliver på det dybe vand eller svømmer længere op mod overfladen.

0%

25%

50%

75%

100%

0

Observationer

Sumkurve

40

5 - 40 m

40 - 80 m

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

11

Opgave 14 a)

Vi definerer funktionen og definitionsmængden:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 > 0 𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥 +

16 𝑥

Vi bestemmer f’(x):

𝑓^{′} ( 𝑥) = −16 · 𝑥^{−2} + 1

Vi foretager en funktionsundersøgelse:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 4

Vi bestemmer differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:

𝑓^{′} ( 2) = −3

𝑓^{′} ( 5) = 0,36

Grafen for f er således aftagende, når x < 4, og tiltagende, når x > 4. Vi kan således på baggrund af

funktionsundersøgelsen se, at f(x) har et minimum i x = 4.

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

12

Opgave 15a

Vi udnytter, at funktionsværdien ved rødderne er lig 0. Vi opstiller et system af to ligninger med to ubekendte og løser for b og c:

0 = −5 · 3^{2} + 𝑏· 3 + 𝑐

0 = −5 · 7^{2} + 𝑏· 7 + 𝑐

⇕ Ligningssystemet løses for b,c vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑏 =50 ∧ 𝑐 = −105

Tallet b er bestemt til 50, og tallet c er bestemt til -105.

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

13

Opgave 15b a)

Vi bestemmer omkredsen af løbebanen udtrykt ved r og x, hvor det udnyttes, at omkredsen af en cirkel er lig 2 𝜋𝑟:

𝑂 = 2𝜋· 𝑟+ 2𝑥

Arealet A af et rektangel kan generelt beskrives ved:

𝐴 = 𝑏· ℎ

Højden AB på løbebanen har længden 2r. Derfor kan arealet af ABCD generelt beskrives ved.:

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} =𝑥·2𝑟(𝐼)

Vi bestemmer r udtrykt ved x, når omkredsen af løbebanen skal være lig 800:

800 = 2𝜋· 𝑟 + 2𝑥

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = (𝐼𝐼)

400 − x

π

Vi substituerer r (II) ind i udtrykket for arealet af rektanglet (I):

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = 𝑥· 2 · ()

400 − x

π

Arealet af ABCD udtrykt ved x kan beskrives ved ovenstående.