STX Matematik B 14. August 2013 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

1

STX Matematik B

14. august 2013

Delprøven med hjælpemidler

stx132-MAT/B-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 12

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

2

Løsning med WordMat

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Alle formlerne i nedenstående besvarelse

henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007. Referencer til en formel kræves ikke i en

besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Tabellen over affaldsproduktionen indtastes i MS Excel. Antal år efter 1994 bestemmes som forskellen mellem det aktuelle årstal og 1994. Tabellen kopieres herefter over i MS Word.

Den angivne model for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene 𝑎 og 𝑏 kan bestemmes vha. en eksponentiel regression over tabellens data.

Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel):

Årstal 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

År efter 1994 0 2 4 6 8 10 12 14

Affaldsproduktion 2575 2767 2796 3084 3121 3164 3298 3654

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9486237

𝑦 = 2605,288· 1,022332^{𝑥}

Af den fundne forskrift for udviklingen aflæses værdierne for henholdsvis 𝑎 og 𝑏 til:

𝑎 = 1,022332

𝑏 = 2605,288

b)

Forskriften for 𝑤(𝑡) defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑤 ( 𝑡) = 2605,288· 1,022332^{𝑡}

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

3

Den årlige affaldsproduktion i 2005 (11 år efter 1994) bestemmes som 𝑤(11) vha. WordMat (CAS - Beregn): 𝑤 ( 11) ≈ 3321,752

Affaldsproduktionen i 2005 var således (if. modellen) på: 𝑤(9) = 3322 𝑡𝑜𝑛𝑠

Det år, hvor affaldsproduktionen var 3500 tons, bestemmes ved at løse ligningen: 𝑤 ( 𝑡) = 3500 i 𝑡.

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):

𝑤 ( 𝑡) = 3500

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 ≈ 13,36665

Den årlige affaldsproduktion nåede 3500 tons 13 år efter 1994 (1994+13), altså i år: 2007

c)

Den årlige danske affaldsproduktion (fra husholdningerne) i år 2009 (15 år efter 1994) kan bestemmes som 𝑤(15) vha. WordMat (CAS - Beregn):

𝑤 ( 15) = 3628,566

Affaldsproduktionen i 2009 vil således, if. modellen, være på: 𝑤(15) = 3629 𝑡𝑜𝑛𝑠

Den faktiske værdi for affaldsproduktionen i 2009 er oplyst værende 3437 tons.

De angivne affaldsmængder i tabellen må antages at være faktiske tal fra de pågældende år, idet statistikken er fra 2009 (jf. opgaveteksten). Da den beregnede (forventede) affaldsmængde for 2009 if.

modellen er større end den faktiske mængde, tyder det på, at modellen ikke kan give et realistisk billede af forventede affaldsmængder i årene efter 2008 (hvilket måske skyldes en ændring i danskernes affaldsvaner) og derfor ikke kan anvendes til fremskrivning af affaldsmængder efter 2008.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

4

Opgave 8 a)

Vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐶 kan bestemmes med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: a = 5 , b = 12 , c = 9

B A = 22,19161°
B = 114,975°
c a C = 42,83343°

a = 5
b = 12
c = 9

Vinkel 𝐴 er således bestemt til: 𝐴 = 22,2°

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

Medianen fra 𝐵 (𝑚_{𝐵}) halverer siden 𝑏 (𝐴𝐶). Kaldes medianens fodpunkt for 𝐷, fremkommer trekant ABD

                                    | 𝐴𝐶 12
hvor vinkel 𝐴 =22,2°, | 𝐴𝐵 | = 9 og | 𝐴𝐷 | = = = 6
                                     2    2

|

Længden af medianen | 𝑚_{𝑏} | = |𝐵𝐷| kan bestemmes med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 22,2° , AD = 6 , AB = 9

B A = 22,2°
B = 33,34935°
D = 124,4507°

BD = 4,12383
AD = 6
AB = 9

Længden af medianen fra 𝐵 (𝑚_{𝐵}) er således bestemt til: | 𝑚_{𝑏} | = 4,1

Resultatet er afrundet til én decimal.

A AD D

AB BD

A b C

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

5

Opgave 9

Modellen for væskehøjden defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:ℎ ( 𝑡) = ( 3128 − 40 ⋅ 𝑡)^{0,4}

Intervallet for tiden 𝑡 defineres ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - definer variabel):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑡 ≤ 78,2

a)

Væskehøjden i beholderen efter 20 sekunder kan bestemmes som ℎ(20) vha. WordMat (CAS - Beregn):

ℎ ( 20) = 22,22251

Efter 20 sekunder er væskehøjden således: ℎ ( 20) = 22,2 𝑐𝑚

Resultatet er afrundet til én decimal.

Tidspunktet, hvor væskehøjden er 5 cm, kan bestemmes ved at løse ligningen ℎ ( 𝑡) = 5 i 𝑡.

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):

ℎ ( 𝑡) = 5

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 ≈ 76,80246

Væskehøjden i beholderen er således 5 cm efter 76,8 𝑠 Resultatet er afrundet til én decimal.

b) ℎ′(20) kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn):

ℎ^{′} ( 20) = −0,1527321

ℎ^{′} ( 20) = −0,15 (afrundet til én decimal)

Tallet ℎ′(20) angiver ændringen i væskehøjen pr. tidsenhed til tiden 𝑡 = 20 𝑠𝑒𝑘.
Da ℎ^{′} ( 20) er negativt, betyder det, at væskehøjden er faldende.
ℎ^{′} ( 20) = −0,15 betyder således, at væskehøjden efter 20 sekunder aftager med 0,15 cm pr. sekund.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

6

Opgave 10

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 0,25 ⋅ 𝑥^{4} − 3 ⋅ 𝑥^{3} + 12 ⋅ 𝑥^{2} − 16 ⋅ 𝑥

a)

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes med tangentligningen:
                                          0   0

(jf. formel 70)

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Indsættes x-koordinaten for punktet 𝑃(5,𝑓 ( 5)) som 𝑥_{0}, kan en ligning for tangenten bestemmes vha.

WordMat (CAS - Beregn) som:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 5) · ( 𝑥− 5) + 𝑓 ( 5) = 4 · 𝑥− 18,75

En ligning til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(5,𝑓 ( 5)) er således: 𝑦 = 4 · 𝑥− 18,75

b)

For at kunne bestemme monotoniforholdene for 𝑓, bestemmes først eventuelle ekstrema for 𝑓.

Dette gøres ved at løses ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0 vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 4

Grafen for 𝑓 har således vandrette tangenter ved 𝑥 = 1 og ved 𝑥 = 4.

Hvorvidt der er tale om maksimum, minimum eller eventuelle vandrette vendetangenter, undersøges med en fortegnsundersøgelse for 𝑓′ før, mellem og efter de fundne ekstrema.

WordMat (CAS - Beregn) benyttes hertil:

𝑓^{′} ( 0) = −16

𝑓^{′} ( 2) =4

𝑓^{′} ( 5) =4

En monotonilinje kan nu tegnes for 𝑓 vha. WordMat (Diverse - Figurer):

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

7

𝑓 er faldende i intervallet ] −∞;1] da 𝑓^{′} (𝑥) < 0
𝑓 er voksende i intervallet [1;4] da 𝑓^{′} ( 𝑥) > 0
𝑓 er voksende i intervallet [4;∞[ da 𝑓^{′} ( 𝑥) > 0

𝑓 har globalt minimum for x = 1
𝑓 har en vandret vendetangent for x = 4

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: x _ f’(x) 0 0 f(x)

1

4

- + +

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

8

Opgave 11 a)

Forskrifterne for 𝑓 og 𝑔 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 3⋅ ( 𝑥+ 1)^{0,5}

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑔 ( 𝑥) = 𝑥+ 1

Graferne for 𝑓 og 𝑔 tegnes i det samme koordinatsystem vha. WordMat (Graftegning - Vis Graf - GnuPlot).

Arealet mellem graferne er efterfølgende farvelagt for at understøtte ovenstående forklaringer.

Ligeledes er bogstavet M indsat vha. et grafikprogram (Paint.Net). WordMat kan ikke farvelægge sådanne arealer mellem grafer.

Begge ting er gjort for at forklare løsningen, og skal ikke gøres til eksamen.

Skæringspunkterne mellem graferne bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 𝑔(𝑥), hertil benyttes

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔(𝑥)

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 8

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

9

Af graferne fremgår det, at 𝑓 ( 𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) i intervallet [−1;8], hvorfor arealet af punktmængden 𝑀, der
afgrænses af graferne for 𝑓 og 𝑔, kan bestemmes vha. integralet ∫_{−1}^{8} (𝑓 ( 𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 (jf. formel 97)

WordMat (CAS - Beregn) benyttes:

𝐴_{𝑀} = ∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 = 13,5

8

−1
Arealet af punktmængden 𝑀 er således bestemt til: 𝑀 = 13,5

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

10

Opgave 12 a)

Tallene i opgaveteksten indtastes i MS Excel. Stikprøvens størrelse bestemmes ved at summere antallet af karakterobservationer i 2012. Der er 1000. Herefter bestemmes den forventede karakterfordeling for 2012 under H_0 som den procentvise andel fra 2011 anvendt på det samlede antal elever i stikprøven (1000).

Fx for karakteren 02:

𝐹𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 = ⋅ 10,96%= 109,6

1000

100%

Tabellen er efterfølgende kopieret over i MS Word.

Karakter -3 00 02 4 7 10 12 i alt

Andel 2011 0,14% 7,43% 10,96% 22,04% 31,23% 19,83% 8,37% 100,00%

Antal 2012 30 68 124 198 279 225 76 1000

Forventet 1,4 74,3 109,6 220,4 312,3 198,3 83,7 1000

Forventet antal afrundet til hele tal 1 74 110 221 312 198 84 1000

Den forventede karakterfordeling 2012 er som vist i tabellen markeret med gult.

b)

Nulhypotese 𝐻_{0}:

”Karakterfordelingen blandt 9. klassers elever i 2012 er den samme som karakterfordelingen fra 2011”

Nulhypotesen undersøges på et 5% signifikansniveau med en X^{2} GOF test vha. WordMat (Statistik/.sands. -

Test - Goodness of fit), hvor den observerede fordeling og den forventede fordeling indtastes:

På baggrund af testen forkastes nulhypotesen med en P-værdi på 0% < 5%, og der er således en signifikant forskel på karakterfordelingerne blandt 9. klassers elever fra 2011 og 2012.

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

11

Opgave 13

Forskriften for omkostningerne defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑂 ( 𝑥) = 0,0005 ⋅ 𝑥^{3} − 0,8 ⋅ 𝑥^{2} + 837 ⋅ 𝑥 + 35200

Intervallet for 𝑥 (antal enheder af varen) defineres ligeledes (CAS - definitioner - Definer variabel):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 > 0 a)

Forskriften for 𝐸(𝑥) kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Omskriv - Reducer):

𝐸 ( 𝑥) =

𝑂 ( 𝑥) 𝑥

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐸 ( 𝑥) = 5,0 · 10^{−4} · 𝑥^{2} − 0,8 · 𝑥+ + 837

35200 𝑥

Hvilket defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝐸 ( 𝑥) = 5,0 · 10^{−4} · 𝑥^{2} − 0,8 · 𝑥+ + 837

35200 𝑥

Tallet 𝐸 ( 2000) bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

𝐸 ( 2000) = 1254,6

b)

Da det oplyses, at enhedsomkostningerne er mindst mulige, når 𝐸 ( 𝑥) = 𝑂′(𝑥), kan antallet af enheder, der
skal produceres, så enhedsomkostningerne bliver mindst mulige, bestemmes ved at løse ligningen 𝐸 ( 𝑥) =

𝑂′(𝑥) i 𝑥. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):

𝐸 ( 𝑥) = 𝑂′(𝑥)

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 848,8516

Det konkluderes, at hvis der produceres 849 vareenheder, så er enhedsomkostningerne mindst mulige.

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013

12

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 13

(1.1.1)(1.1.1)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Vi foretager en eksponentiel regression:

Værdierne a og b aflæses til:

Side 14

47 | (1.2.3)(1.2.3)

(1.1.2)(1.1.2)

59 | (1.2.2)(1.2.2)

(1.2.1)(1.2.1)

76 | (1.3.1)(1.3.1)

Tallet a er fundet til 1,02233 (afrundet til 5 decimaler) og tallet b er fundet til 2605,29 (afrundet til

2 decimaler).

b)

Forskriften for defineres i WordMat:

Den årlige affaldsproduktion i 2005 ( 11 år efter 1994) bestemmes som :

Affaldsproduktionen i 2005 var således (if. modellen) på 3322 tons. Afrundet.

Året, hvor den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger var ton bestemmes ved ligningen:

Den årlige affadslproduktion nåede ca.13 år efter 1994, altså i år 2007.

c)

Den årlige affaldsproduktion i år 2009 bereges ved , der svarer til 15 år efter 2009:

Den faktiske værdi for affaldsproduktionen i 2009 er oplyst værende 3437 tons.

De angivne affaldsmængder i tabellen må antages at være faktiske tal fra de pågældende år, idet statistikken er fra 2009 (jf. opgaveteksten).

Da den beregnede (forventede) affaldsmængde for 2009 if. modellen er større end den faktiske mængde, tyder det på, at modellen ikke kan give et realistisk billede af forventede affaldsmængder i årene efter 2008

(hvilket måske skyldes en ændring i danskernes affaldsvaner) og derfor ikke kan anvendes til fremskrivning af affaldsmængder efter 2008.

Side 15

(2.2.1)(2.2.1)

(2.1.1)(2.1.1)

Opgave 8 a)

Vinkel i trekant bestemmes med trekantløser:

Vinkel aflæses til at være 22,2°. Afrundet til 1 decimal.

b)

Medianen fra halverer siden der derved har længden Medianen fra bestemmes med trekantsløser:

Siden svarer til medianen fra .

Medianen aflæses til 4,1. Afrundet til 1 decimal.

Side 16

10 (3.1.2)(3.1.2)

(3.1.3)(3.1.3)

(3.1.1)(3.1.1)

(3.2.1)(3.2.1)

Opgave 9 a)

Modellen for væskehøjden defineres:

Væskehøjden i beholderen efter 20 sekunder kan bestemmes som:

Efter 20 sekunder er væskehøjden 22,2 . Afrundet til 1 decimal.

Tidspunktet, hvor væskehøjden er , kan bestemmes ved at løse:

Væskehøjden i beholderen er såledse efter 76,8 . Afrundet til 1 decimal.

b) bestemmes:

Tallet angiver ændringen i væskehøjden pr.tidsenhed til tiden .

Da er negativt, betyder det, at væskehøjden er faldende.

-0,15 betyder således, at væskehøjden efter 20 sekunder aftager med 0,15 pr.sekund.

Side 17

5 (4.1.2)(4.1.2)

(4.1.3)(4.1.3)

(4.1.1)(4.1.1)

(4.2.1)(4.2.1)

Opgave 10 a)

Forskriften for defineres:

En ligning for tangenten til grafen i punktet P bestemmes ved:

Vi definerer først punktest førstekoordinat:

Ligningen for tangenten til grafen for i punktet P er da: b)

For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først eventuelle ekstrema for .

Grafen for har således ekstrema i punkterne og :

Der foreteges nu en funktionsundersøgelse i intervallet, hvor ektrema blev fundet:

Side 18

er faldende i intervallet er voksende i intervallet er voksende i intervallet er globalt minimum for har en vandret vendetangent for

Side 19

(5.1.3)(5.1.3)

(5.1.1)(5.1.1)

(5.1.2)(5.1.2)

Opgave 11 a)

Forskrifterne for og defineres:

Graferne for og tegnes i det samme koordinatsystem:

Skæringspunkterne mellem graferne bestemmes ved at løse:

Af graferne fremgår det, at i intervallet , hvorfor arealet af punktmængden , der afgrænses af graferne for og kan bestemmes ved:

Side 20

(5.1.4)(5.1.4)

Arealet af punktmængden er således bestemt til 13,5. Afrundet til 1 decimal.

Side 21

(6.1.2)(6.1.2)

(6.1.3)(6.1.3)

(6.1.1)(6.1.1)

Opgave 12 a)

Først bestemmes stikprøven størrelse ved at summerer antallet af karakterobservationer i 2012.

Der er observationer i alt:

De forventede antal beregnes vha. de procentvise andele for karakterfordelingen ved folkeskolen

9.klasses afgangsprøve i matematik sommeren 2011:

Listerne ganges sammen og en listen betegner de forventede værdier:

De forventede værdier står i korresponderende rækkefølge i forhold til opgaveteksten:

Side 22

(6.1.4)(6.1.4)

(6.2.1)(6.2.1) b)

De observerede værdier defineres:

GOF-testen foretages på 5% signifikansniveau:

Side 23

(6.1.4)(6.1.4)

På baggrund af testen forkastes nulhypotesen med en -værdi på , der er mindre en signifikansniveat på .

Der er således signifikant forskel på karakterfordelingerne blandt 9.klassers elever fra 2011 og

2012.

Side 24

(7.1.3)(7.1.3)

(7.2.1)(7.2.1)

(6.1.4)(6.1.4)

(7.1.2)(7.1.2)

00 (7.1.4)(7.1.4)

(7.1.1)(7.1.1)

Opgave 13

O er beskyttet i Maple, hvis denne skal benyttes som variable, skal den erklæres som lokal a)

Forskriften for O defineres:

Forskriften for kan bestemmes ved:

Udtrykket for defineres:

Tallet bestemmes ved: b)

Da det oplyses, at enhedsomkostningerne er mindst mulige, når , kan antallet af enheder, der skal produceres, så enhedsomkostningerne bliver mindst mulige bestemems ved at løse:

Det kan konkluderes, at hvis der produceres 849 (afrundet til helt antal vare) vareenheder, så er enhedsomkostningerne mindst mulige.