STX Matematik B 13. august 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx152-MATB-

STX Mat B - Opgaver uden hjælpemidler - 13. august 2015

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave. Referencer til formel-samlingen skal ikke være en del af din eksamensbesvarelse.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Opgave 1

En ligning for den rette linje gennem punktet (0, 𝑏) med hældningskoefficient 𝑎 er givet ved:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Hældningskoefficienten 𝑎 for linjen gennem punkterne P (𝑥_{1}, 𝑦_{1}) og 𝑄(𝑥_{2}, 𝑦_{2}) er givet ved

formlen (jf. formel 30):

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Vi indsætter nu punkternes koordinater i formlen:

𝑎 = = = −1

9 − 2 7
(−3) − 4 −7
Vi kan nu bestemme 𝑏 ved ved at indsætte 𝑎 = −1 samt koordinaterne for et punkt i

linjens ligning. Vi indsætter koordinaterne for P.

2 = (−1) · 4 + 𝑏

⇕

2 = −4 + 𝑏

⇕

𝑏 = 2 + 4 = 6

Dermed er en ligning for den rette linje der går gennem punkterne P og 𝑄:

𝑦 = −1 · 𝑥 + 6 = −𝑥 + 6

Tip: Du kan let tjekke dit resultat, ved at indsætte x-koordinaterne for dine punkter i ligningen.

P: −4 + 6 = 2 ✓
Q: −(−3) + 6 = 9 ✓

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx152-MATB-

Opgave 2

Udtrykket reduceres ved først at gange paranteserne ud (jf. formel 7,8).

(𝑥 + 4)^{2} + (𝑥 − 4)^{2} = (𝑥^{2} + 4^{2} + 2 · 𝑥 · 4) + (𝑥^{2} + 4^{2} − 2 · 𝑥 · 4)

= 𝑥^{2} + 16 + 8𝑥 + 𝑥^{2} + 16 − 8𝑥

= 2𝑥^{2} + 32

Opgave 3

Først tegnes en skitse af situationen:

Der står i opgaveteksten ikke noget om hvilken af trekanterne der er størst, så derfor kan længden af siden 𝐷E være givet ved: (jf. formel 20)

|𝐷E| = 3 · |AB| = 3 · 15 = 45

eller

|AB| = 3 · |𝐷E|

⇕

|𝐷E| = = = 5

|AB| 15

3 3

Dermed kan længden af DE enten være 5 eller 45.

Opgave 4

Ud fra forskriften ses det, at alle funktionerne er eksponentielle funktioner. Ud fra graferne ses det at alle funktionerne er voksende, og dermed er 𝑎 > 1, (jf. formel 54). Her svarer koefficienten 𝑏 til skæringen med y-aksen og 𝑎 er fremskrivningsfaktoren, som siger noget om funktionens væksthastighed. Jo større 𝑎 jo højere væksthastighed.

Dermed svarer graf A til funktionen med størst værdi af 𝑎 og graf C svarer til funktionen med størst værdi af 𝑏.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx152-MATB-

Opgave 5

Funktionen f’ differentieres

𝑓^{′} (𝑥) = (𝑥^{3} + 5𝑥)^{′}

(jf. formel 72)

= (𝑥^{3})^{′} + (5𝑥)^{′}

(jf. formel 71)

= (𝑥^{3})^{′} + 5(𝑥)^{′}

(jf. formel 77)

= 3𝑥^{2} + 5 · 1

= 3𝑥^{2} + 5

Det ses at 𝑓^{′} er et andengradspolynomium. For at skitsere grafen for 𝑓^{′} bestemmer vi
polynomiets værdi for tre x-værdier: 𝑥 = −1, 𝑥 = 0 og 𝑥 = 1.

𝑓^{′} (−1) = 3 · (−1)^{2} + 5 = 8
𝑓^{′} (0) = 3 · (0)^{2} + 5 = 5
𝑓^{′} (1) = 3 · (1)^{2} + 5 = 8

Vi har nu tre punkter, som vi kan bruge til at skitsere grafen for polynomiet:

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx152-MATB-

Opgave 6

Integralet bestemmes. (jf. formel 94,95)

∫_{2} ∫_{2} ∫_{2} ∫_{2}

0

   2                   2
(6𝑥 − 4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =   6𝑥 𝑑𝑥 −    4𝑥 𝑑𝑥 +   1 𝑑𝑥
                   0          0         0

(jf. formel 93)

        2
= 6    𝑥 𝑑𝑥 − 4   𝑥 𝑑𝑥 +   1 𝑑𝑥
    0           0        0

∫_{2} ∫_{2} ∫_{2}

(jf. formel 83)

= 6[ 𝑥]^{2}_{0} − 4[ 𝑥]^{2}_{0} + [𝑥]^{2}_{0}

1_{3} 1_{2}

3 2

(jf. formel 91)

= 6( 2 − · 0^{3}) − 4( 2 − 0) + (2 − 0)

1_{3} 1 1_{2} 1_{2}

3 3 2 2

= 6( − 0) − 4( − 0) + 2

8 4

3 2

= − + 2

48 16

3 2

= 16 − 8 + 2

= 10

4