HHX Matematik B August 2012 - Opgaver med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere handelseksamen fra

1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra appendikset fra april 2002.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 6 a)

Værdien 𝑛 isoleres med solve-funktionen i TI-nspire CAS.

Værdien er altså

𝑛 =

3,8416 ⋅ 𝑠^{2}
( 𝑚 − 0,1)^{2}

b)

100 ⋅ ( 1 + 𝑟)^{25} = 800 Ligningen er skrevet op.

( 1 + 𝑟)^{25} = 8 Der er divideret med 100 på begge sider af lighedstegnet.

            25
        25
√ ( 1 + 𝑟 ) = 8 Den 25. rod uddraget på begge sider.
             √

25

       25
1 + 𝑟 = √ 8 Venstres side reduceres.

    25
𝑟 = √ 8 − 1 Der træffes 1 fra på begge sider.

𝑟 = 0,0867 Højre side udregnes.

Side 2

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Opgave 7 a)

For at bestemme de tre statistiske deskriptorer åbnes datafilen reparationstid.xls i Microsoft Excel.

Gennemsnittet bestemmes ved hjælp af =MIDDEL(A2:A251), medianen ved hjælp af =MEDIAN(A2:A251) og
endelig bestemmes standardafvigelse ved hjælp af =STDAFVS(A2:A251). Der fås

Gennemsnit: 18,94

Median: 18

Standardafvigelse: 7,77 b)

For at bestemme konfidensintervallet bestemmes først konfidenskoefficienten. Da 1 − 95 % = 5 % =

0,05 gøres dette i MS Excel 2010 ved

=KONFIDENSINTERVAL(0,05;D6;TÆL(A2:A251)).

Konfidenskoefficienten er ca. 0,96. Med et gennemsnit på 18,94 givet dette et 95%-konfidensinterval på

[ 17,98; 19,90] c)

Sandsynligheden for at reparationstiden for en mobil telefon er længere end 25 dage kan også bestemmes ved hjælp af Excel. Ved hjælp af

=1-NORMALFORDELING(25;19;8;SAND)

fås at sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt mobiltelefon har en reparationstid på mere end 25 dage er 22,6 %.

d)

Det tager gennemsnitligt 18-20 dage at reparere en indleveret telefon. Knap en fjerdedel (22,6 % hvis standardafvigelsen er 8 og gennemsnittet er 19) af de indleverede telefoner tager dog mere end 25 dage at reparere.

Side 3

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Herover set et skærmbillede fra Excel 2010 med formlerne som de er brugt til løsningen af opgaven.

Side 4

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Opgave 8 a)

Funktionerne for omsætningen og omkostningerne defineres i TI-nspire CAS og overskudsfunktionen bestemmes.

Det ses således at overskudsfunktionen 𝑃 er givet ved

𝑃 ( 𝑥) = −0,06𝑥^{3} + 18𝑥^{2} − 800𝑥 − 5000, 𝑥 ≥ 0

For at bestemmes i hvilket interval overskuddet er positivt løses uligheden 𝑃 ( 𝑥) > 0 for 𝑥 ≥ 0 med

kommandoen solve.

Overskuddet er altså positivt i intervallet (grænserne er her afrundet, uden at klammerne er tilpasset)

Side 5

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

[61,6;243,9] b)

For at bestemme den afsætning der giver det maksimale overskud bestemmes den værdi af 𝑥 for 𝑥 ≥ 0 der

gør 𝑃(𝑥) størst. For at bestemme det maksimale overskud evalueres 𝑃(𝑥) for denne værdi af 𝑥.

Den afsætning der giver det største overskud er altså ca. 174,5 kubikmeter, og det maksimale overskud bliver ca. 84.690 kroner.

Side 6

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Opgave 9 a)

For at lave det ønskede skema åbnes filen taxa.xlsx i Microsoft Excel. Feltet total fra banegården beregnes ved hjælp af formlen

=TÆL.HVIS(B2:B145;"=Banegård")

De tre andre manglende totaler bestemmes på tilsvarende vis.

Feltet aften/nat fra banegården bestemmes ved

=SUMPRODUKT((A2:A145="Aften/nat")*(B2:B145="Banegård"))

De resterende fire felter bestemmes tilsvarende, blot skal ”Aften/nat” og ”Banegård” skifter ud så det

passer.

Skemaet bliver

Banegård Strøg Total

Aften/nat 24 28 52

Dagtimer 52 40 92

Total 76 68 144

Bemærk: Det er muligt at tælle manuelt, men ved at bruge Excels funktioner mindskes risikoen for fejl, og sammentællingen sker langt hurtigere.

b)

Lad 𝑝_{𝑛𝑎𝑡} betegne sandsynligheden for at en tilfældig passager medtoges fra banegården givet det er nat, og
lad 𝑝_{𝑑𝑎𝑔} betegne sandsynligheden for at en tilfældig passager medtoges fra banegården givet det er dag.
Nulhypotesen 𝐻_{0} og den alternative hypotese 𝐻_{1} bliver da

𝐻_{0}:𝑝_{𝑛𝑎𝑡} = 𝑝_{𝑑𝑎𝑔}

𝐻_{1}:𝑝_{𝑛𝑎𝑡} ≠ 𝑝_{𝑑𝑎𝑔}

Da der er tale om en test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier, bestemmes de forventede værdier ved hjælp af funktionen chi22way. På TI-𝑛spire CAS defineres dataet i en matrix og beregningerne foretages. Endelig udskrives de forventede værdier.

En matrix laves i TI-𝑛spire CAS ved under menuen at vælge 7: Matricer og vektorer 1: Opret 1:

🡪

🡪

Matrix…

Side 7

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

De forventede værdier er altså

Banegård Strøg

Aften/nat 27,44 24,56

Dagtimer 48,56 43,44 c)

Da samtlige forventede værdier er større end 5, kan 𝜒^{2} -testen benyttes. Beregningerne er allerede

foretaget. Resultatet udskrives.

Således fås at 𝜒^{2} ≈ 1,43. Med en frihedsgrad på 1, giver dette en p-værdi på 0,231 = 23,1 %.

Da p-værdien er større end 5 % kan 𝐻_{0} ikke forkastes. Der er altså ikke fundet en sammenhæng mellem

benyttelsen af de to taxaholdepladser og tidspunktet, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.

Det kan altså antages at benyttelsen af de to taxaholdepladser er uafhængigt af tidspunktet.

Side 8

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Opgave 10A a)

Dataet i kolonner B og C markeres og det indsættes et data xy-plot.

Bemærk: For at lave et xy-plot i Microsoft Excel 2010 vælges fanen Indsæt. Under Diagrammer vælges nu X Y-punktdiagram. Endelig vælges typen alt efter om man ønsker punkterne forbundet.

b)

I Excel tilføjes en eksponentiel tendenslinie og den tilførende ligning medtaget.

Dette giver ligningen

𝑦 = 6,3827𝑒^{0,1338𝑥}

En tendenslinie lavet i Excel ved at højreklippe på et af datapunkterne og vælge Tilføj tendenslinje. Det vælges nu hvilken regressionstype der ønskes. Husk at markere Vis ligning i diagram.

Ligningen omskrives.

𝑦 = 6,3827 ⋅ 𝑒^{0,1338𝑥} = 6,3827 ⋅ ( 𝑒^{0,1338})^{𝑥} ≈ 6,3827 ⋅ 1,14316^{𝑥}

De to konstanter bliver således 𝑎 ≈ 1,14 og 𝑏 ≈ 6,38

For at bestemme i hvilket år den gennemsnitlige månedsløn overstiger US$ 500 løses uligheden

0

50

100

150

200

250

300

350

400

25 30 35

Månedsløn i US$

År efter 1978

Gennemsnitslige månedsløn

Side 9

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

𝑚 ( 𝑥) > 500

Uligheden løses.

Den gennemsnitlige månedsløn overstiger altså ifølge modellen US$ 500 i løbet af det 33. år efter 1978, dvs. en gang i 2010.

Side 10

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Opgave 10B a)

Først bestemmes niveaulinien 𝑁 ( 40).

Bemærk: Udtryk bliver ofte kønnere ved hjælp af kommandoen expand eller kommandoen factor.

På følgende graf er polygonområdet indtegnet om det grå område. Niveaulinien 𝑁 ( 40) er sort, og betingelseslinierne er farvet efter om polygonområdet ligger over (blå) eller under (rød) linien.

Side 11

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

b)

Niveaulinien vokser når den forskydes op mod højre. Mindsteværdien fås således det i skæringspunktet

mellem linierne 𝑥 = 10 og 𝑦 = 0,25𝑥 + 2.5. Ligeledes fås størsteværdien i skæringspunktet mellem
linierne 𝑦 = −0,8𝑥 + 40 og 𝑦 = −2𝑥 + 70.

De to skæringspunkter bestemmes og de tilsvarende værdier for 𝑓 bestemmes.

Største- hhv. mindsteværdien for 𝑓 indenfor polygonområdet er altså

115 hhv. 40.

Side 12

Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-

Opgave 10C a)

                                                                          ′
Funktionen 𝑓 defineres på TI-𝑛spire CAS og funktionen differentieres. Endelig bestemmes 𝑓 ( 1 ) .

Det ses at

𝑓^{′} ( 𝑥) = −1,2𝑥^{2} + 5𝑥 − 3,7

Da 𝑓^{′} ( 1) = 0,1 ≠ 0 har 𝑓 ikke noget ekstremum i 𝑥 = 1.

b)

Tangentlinien til 𝑓 i 𝑥 = 1 bestemmes med TI-nspire CAS.

En ligning for tangenten til 𝑓 i punktet 𝑥 = 1 er altså givet ved

𝑦 = 0,1𝑥 − 0,6