HTX Matematik B 8. december 2014 Projektoplæg - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

1

HTX Matematik B 8. december 2014

htx143-MAT/B-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMat’s egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi opstiller en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er længden fra B ned på tagets kant. Vi bestemmer længden af hypotenusen vha. WordMat’s trekantløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: T = 45°, M = 90°, t = 1,5

B T = 45°
B = 45°
TB = 90°

BM = 1,5
TM = 1,5
TB = 2,12132

Længden af siden TB findes vha. sinus

𝑚 =

𝑡 sin ( 𝑇)

=

1,5 sin ( 45)

=2,12132

Vi kan nu opstille endnu en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er længden AB.

T TM M

TB BM

Side 2

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

2

WordMat's trekantsløser anvendes med input: T = 90°, TA = 1,5, TB = 2,12132

B T = 90°
B = 35,26439°
A = 54,73561°

AB = 2,598076
TA = 1,5
TB = 2,12132

Længden af siden AB findes vha. Pythagoras

𝐴𝐵 = 𝑇𝐵^{2} + 𝑏^{2}

√
= √ 2,12132^{2} + 1,5^{2}
=2,598076

Længden AB er 2,6 m.

b)

Vi opdeler taget i tre geometriske figurer, som vist på skitsen nedenfor:

Volumen af de to pyramider bestemmes vha. følgende formel:

𝑉_{𝑝𝑦𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒} = · 𝐺· ℎ

1

3

Hvor G er grundfladens areal og h er højden. Vi kender højden h: ℎ ≔1,5

T A

TB AB

TA l h h h

G g

Side 3

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

3

Grundfladen bestemmes:

𝐺 =3· 1,5

𝐺 ≔ 4,5

𝑉_{𝑝𝑦𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒} = · 𝐺· ℎ

1

3

=2,25

Volumen af den midterste figur bestemmes:

𝑉_{𝑡𝑎𝑔} = · 𝑔 · ℎ· 𝑙

1

2

Hvor g er grundlinjen, h er tagets højde, som vi kender og l er figurens længde.

𝑙 = 8 − ( 2 · 1,5)

𝑙 ≔ 5 𝑔 ≔3

𝑉_{𝑡𝑎𝑔} = · 𝑔 · ℎ· 𝑙

1

2

=11,25

Det samlede volumen af taget bestemmes:

𝑉_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =2· 𝑉_{𝑝𝑦𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒} + 𝑉_{𝑡𝑎𝑔}
= ( 2 · 2,25) + 11,25
=15,75

Tagets volumen er 15,75 m^{3}.

c)

Vi ser på trekant EFC.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: F = 90°, E = 70°, e = 0,7

E F = 90°
E = 70°
C = 20°

EC = 0,7449244
FC = 0,7
EF = 0,2547792

Længden af siden EF findes vha. tangens

F FC C

EF E

Side 4

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

4

𝐸𝐹 =𝐹𝐶 · tan ( 𝐶)
=0,7 · tan ( 20)
=0,2547792

Længden EF er 0,25 m.

d)

Vi opstiller en retvinklet trekant med CD som hypotenuse. Vi kalder den rette vinkel for H.

𝐶𝐻 =2,4 − 0,2547792

≈2,145221

Vi benytter WordMat’s trekantløser til at bestemme længden af CD:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 80°, H = 90°, d = 2,145221

C D = 80°
C = 10°
H = 90°

CH = 2,145221
DH = 0,3782603
CD = 2,178314

Længden af siden CD findes vha. sinus

𝐶𝐷 =

𝐶𝐻 sin ( 𝐷)

=

2,145221 sin ( 80)

=2,178314

Længden CD er lig 2,18 m.

Slet definitioner:

D D H

CD CH

Side 5

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

5

Opgave 2 a)

Vi bestemmer, hvor meget plads der er til hvert rør:

100

8

=12,5

Vi beregner mellemrummet:

12,5 − 8= 4,5

Mellemrummet mellem rørene er 4,5 cm.

b)

Vi bestemmer volumen af cylinderøret vha. følgende formel:

𝑉 = 𝜋 · ℎ· ( 𝑅^{2} − 𝑟^{2})

Hvor h er rørets længde, R er den yderste radius og r er den inderste radius.

ℎ ≔1

𝑅 ≔ 0,04

𝑟 =0,04 − 0,003

𝑟 ≔0,037

𝑉 = 𝜋 · ℎ· ( 𝑅^{2} − 𝑟^{2})

≈0,0007257079

Vi benytter sammenhængen mellem masse, volumen og densitet for at bestemme massen:

𝜌 =

𝑚

𝑉

7850=

𝑚

0,0007257079

⇕ Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑚 =5,696807

Massen af ét rør er 5,7 kg.

c)

Tyngdekraften er summen af vektor F_{1} og vektor F_{2}. Vi kan derfor opstille følgende trekant:

Side 6

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

6

Vi kan bestemme vinklerne i trekanten ud fra de givne oplysninger:

∠𝐹_{𝑡} 𝐹_{1} =180 − 100

=80

∠𝐹_{𝑡} 𝐹_{2} =180 − 82

=98

Vi kan nu to vinkler og en side i trekanten og kan derved bestemme størrelsen af de resterende sider.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 80°, C = 98°, F_{t} = 0,5

A B = 2°
A = 80°
C = 98°

F_{t} = 0,5
F_{2} = 14,1092
F_{1} = 14,18743

Længden af siderne F_{2} og F_{1} findes vha. sinusrelationerne

𝐹_{1} =𝐹_{𝑡} ·

sin ( 𝐶) sin ( 𝐵)

=0,5 ·

sin ( 98°) sin ( 2°)

=14,18743

Størrelsen af vektor F er 14,2 N.
                 1

𝐹_{2} =𝐹_{𝑡} ·

sin ( 𝐴) sin ( 𝐵)

=0,5 ·

sin ( 80°) sin ( 2°)

=14,1092

Størrelsen af vektor F er 14,1 N.
                 2

B C

F_{1} F_{t}
F_{2}

Side 7

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

7 d)

Vi opstiller parablens forskrift på følgende form:

𝑦 =𝑎· 𝑥^{2} + 𝑏 · 𝑥+ 𝑐

Vi opstiller tre ligninger med tre ubekendte og benytter WordMat til at bestemme konstanterne:

2= 𝑎 · 0^{2} + 𝑏· 0 + 𝑐

2 =𝑎 · 0,5^{2} + 𝑏· 0,5 + 𝑐

1,7=𝑎· 0,2^{2} + 𝑏· 0,2 + 𝑐

⇕ Ligningssystemet løses for a,b,c vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 = 5 ∧ 𝑏 = − ∧ 𝑐 = 2

5

2

Vi kan opstille følgende forskrift for 𝑓 :
                              1

𝑓_{1} ( 𝑥) ≔5𝑥^{2} − 𝑥+ 2

5

2 e)

Vi benytter tangentligningen:

𝑦 =𝑓_{1} ′ ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓_{1} ( 𝑥_{0})

For en tangent til funktionen 𝑓 ( 𝑥 ) i punktet ( 𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) )
                        1             0  1  0

Vi opstiller tangentligningen:

𝑦 =𝑓_{1}^{′} ( 0,2) · ( 𝑥 − 0,2) + 𝑓_{1} ( 0,2)
≈−0,5 · 𝑥+ 1,8

Ligningen for m er følgende:

𝑦 = −0,5 · 𝑥 + 1,8

f)

Vi bestemmer vinklen til vandret ud fra følgende formel:

𝑣 = tan^{−1} ( 𝑎)

Vi indsætter m’s hældningskoefficient:

Side 8

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

8

𝑣 = tan^{−1} ( −0,5)
≈−26,56505

m’s vinkel med vandret er 26,6^{o}.

g)

Vi bestemmer grænseværdierne a og b: 𝑎 ≔ 0 𝑏 ≔ 0,5

Vi beregner længden L ud fra den givne formel:

𝐿 =∫ √1 + 𝑓_{1}^{′} ( 𝑥)^{2} 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

≈0,8378687

Længden af kurven fra P til Q er 0,84 m.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: h)

Funktionsforskriften bestemmes på følgende form:

𝑦 =𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

c-værdien for den nye parabel er lig c-værdien for 𝑓_{1}, da parablerne må have samme skæring med y-aksen.

𝑦 =𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 2

De to resterende konstanter a og b bestemmes ud fra to punkter på den nye parabel. Den nye parabel

starter i samme punkt som 𝑓_{1}, så punktet P ligger derfor også på den nye parabel. Et punkt på parablen,

kan være kædens slutkoordinat, som har y-værdien 2 og en x-værdi som er større end 0,5 og mindre end

0,837, da dette er kædens makslængde. Vi opskriver punkterne:

𝑃 = ( 0;2)

𝑄 = ( 0,7;2)

Vi opstiller to ligninger med to ubekendte og benytter WordMat til at bestemme konstanterne:

2= 𝑎 · 0^{2} + 𝑏 · 0 + 2

2= 𝑎 · 0,7^{2} + 𝑏 · 0,7 + 2

Side 9

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

9

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑏 = −0,7 · 𝑎

Vi kan opstille følgende forskrift for 𝑓:

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{2} − 0,7𝑥 +2

Side 10

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

10

Opgave 3 a)

Vi opdeler grundfladen i 6 ens retvinklede trekanter, som vist på skitsen nedenfor:

Vi bestemmer vinkel A og længden BC:

𝐴 = =60

360

6

𝐵𝐶 = =1

2

2

Vi benytter WordMat’s trekantløser til at bestemme længden AB:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 60°, C = 90°, BC = 1

A B = 30°
A = 60°
C = 90°

AC = 0,5773503
BC = 1
AB = 1,154701

Længden af siden AB findes vha. cosinus:

𝐴𝐵 =

𝑎 cos ( 𝐵)

=

1 cos ( 30)

=1,154701

B BC C

AB AC

Side 11

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

11

Vi opstiller en retvinklet trekant i pyramiden, som vist på skitsen nedenfor:

Længden AB er lig længden FD. Længden ED bestemmes vha. Pythagoras:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} =𝑐^{2}

𝐹𝐷^{2} + 𝐸𝐷^{2} =𝐹𝐸^{2}

1,154701^{2} + 𝐸𝐷^{2} =2^{2}

⇕ Ligningen løses for ED vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐸𝐷 = −1,632993 ∨ 𝐸𝐷 = 1,632993

Afstanden fra pyramidens top til jordoverfladen er 1,63 m.

b)

Volumen af en kugle bestemmes af følgende formel:

𝑉_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} = · 𝜋 · 𝑟^{3}

4

3

Hvor r er radius. Vi indsætter den givne radius: 𝑟 ≔30

𝑉_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} = · 𝜋 · 𝑟^{3}

4

3

≈113097,3

Volumen af en cylinder bestemmes vha. følgende formel:

𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} =𝜋· 𝑟^{2} · ℎ

Hvor r er radius og h er højde. Vi definerer højden:

Side 12

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

12 ℎ ≔50

𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} =𝜋· 𝑟^{2} · ℎ

≈141371,7

Vi bestemmer det samlede volumen:

𝑉_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑉_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} + 𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟}
=113097,3 + 141371,7
=254469

Den blå beholders samlede volumen er 254469 m^{3}

c)

Foderstationen kan tilnærmelsesvis beskrives vha. tre keglestubbe og en kuglekalot, hvilket ses på nedenstående skitse: d)

Vi antager at modellen har følgende mål:

Side 13

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

13

1:

𝑟_{1} =15 𝑐𝑚
ℎ_{1} =7𝑐𝑚

2:

𝑟_{1} =15 𝑐𝑚
𝑅_{2} =20 𝑐𝑚
𝑠_{2} =30 𝑐𝑚

3:

𝑅_{3} =30 𝑐𝑚
𝑟_{3} =10 𝑐𝑚
𝑠_{3} =20 𝑐𝑚

4:

𝑅_{4} =𝑟_{3} =10 𝑐𝑚
𝑟_{4} =7𝑐𝑚
𝑠_{4} =10 𝑐𝑚

Vi bestemmer overfladearealerne af de enkelte figurer.

Kuglekalot 1:

𝑂_{𝐴_{1}} =2· 𝜋 · 𝑟_{1} · ℎ_{1}
=2· 𝜋 · 15𝑐𝑚 · 7𝑐𝑚
≈659,7345 𝑐𝑚^{2}

Keglestub 2:

𝑂_{𝐴_{2}} =𝜋· 𝑠_{2} · ( 𝑅_{2} + 𝑟_{1})
=𝜋· 30𝑐𝑚 · ( 20𝑐𝑚 + 15𝑐𝑚)
≈3298,672 𝑐𝑚^{2}

Keglestub 3:

𝑂_{𝐴_{3}} =𝜋· 20𝑐𝑚 · ( 30𝑐𝑚 + 10𝑐𝑚)
≈2513,274𝑐𝑚^{2}

Keglestub 4:

𝑂_{𝐴_{4}} =𝜋· 10𝑐𝑚· ( 10𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚)
≈534,0708𝑐𝑚^{2}

Det samlede overfladeareal bestemmes:

𝑂_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =659,7345 + 3298,672 + 2513,274 + 534,0708
=7005,751𝑐𝑚^{2}

                                                          2
Det samlede overfladeareal af modellen af foderstationen er 7005,8 cm .

Side 14

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

14

Opgave 4 a) b)

Vi bestemmer forskriften for g(t) vha. to ligninger med to ubekendte:

285= 𝑎 · 1 + 𝑏

454= 𝑎 · 2 + 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 = 169 ∧ 𝑏 = 116

g(t) har følgende forskrift:

𝑔 ( 𝑡) =169 · 𝑡+ 116

Forskriften for h(t) bestemmes:

584= 𝑎 · 4 + 𝑏

544= 𝑎 · 5 + 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 =−40 ∧ 𝑏 =744

h(t) har følgende forskrift:

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Antal t

Side 15

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

15

ℎ ( 𝑡) =−40 · 𝑡+ 744

c)

Vi foretager en lineær regression af punktserien: n(t) har følgende forskrift:

𝑛 ( 𝑡) =78 · 𝑡+ 239

d)

Vi definerer de tre modeller:

𝑔 ( 𝑡) ≔ 169· 𝑡+ 116

ℎ ( 𝑡) ≔−40 · 𝑡+ 744

𝑛 ( 𝑡) ≔78 · 𝑡+ 239

Vi indsætter t-værdien og bestemmer antallet af tilfælde:

𝑔 ( 9) =1637

ℎ ( 9) =384

𝑛 ( 9) =941

y = 78x + 239
R² = 0,9237

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Antal t

Side 16

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 8. december 2014

16

Forudsigelsen af antallet af tilfælde i år 2013 er forskellig afhængig af, hvilken model der tages udgangspunkt i, da hver model bygger på forskellige udviklinger. Model h viser udviklingen fra år 2008 til år

2009. Model h’s forudsigelse er derved kun korrekt, hvis netop denne udvikling gentager sig. Ligeledes kan man sige om model g, som viser udviklingen fra år 2005 til år 2006. Model n bygger på et gennemsnit af antallet af tilfælde over 7 år. I de år, som model g og h viser udviklingen over, var der henholdsvis en meget høj og en meget lav stigning i antallet af tilfælde. Man kan derfor argumentere for, at model n’s forudsigelse er den mest korrekte.