HTX Matematik B 2. december 2015 Flytrafik - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

1

HTX Matematik B 2. december 2015

htx153-MAT/B-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a) b)

Vi foretager en lineær regression af sammenhængen mellem årstal og passagerer og undersøger om sammenhængen kan beskrives med en lineær model:

10

10,5

11

11,5

12

12,5

13

13,5

2 3 4 5 6 7 8

Antal passagerer i mio.

År efter 2000

Side 2

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

2

Den lineære tendenslinje stemmer godt overens med sammenhængen, da punkterne følger linjen nogenlunde. Desuden ligger den kvadrerede R-værdi meget tæt på tallet 1, hvilket også er et udtryk for at punktserien kan beskrives med en lineær model.

c)

Forskriften for modellen er følgende:

𝑦=0,608𝑥 + 8,938

d)

Tallet 0,608 er forskriftens a-værdi. a-værdien er lig forskriftens hældningstal, som viser hvor meget y vokser for hvert x. I dette tilfælde ses det, at for hvert år så vokser antallet af passagerer med 0,608 millioner ifølge modellen. Tallet 8,938 er forskriftens b-værdi, som er modellens skæring med y-aksen og

viser derved y-værdien for x=0. Da vi har ladet vores x-akse starte i år 2000, betyder det derved, at der

ifølge modellen var 8,938 millioner passagerer i år 2000.

e)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,608𝑥 + 8,938

Vi sætter x-værdien til 9:

y = 0,608x + 8,938
R² = 0,9908

10

10,5

11

11,5

12

12,5

13

13,5

2 3 4 5 6 7 8

Antal passagerer i mio.

År efter 2000

Side 3

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

3

𝑓 ( 9) =14,41

Ifølge modellen rejste der 14,41 mio. passagerer fra danske lufthavne i 2009.

f)

Vi beregner afvigelsen:

14,41 − 12,20=2,21

Modellens forudsigelse afviger med 2,21 millioner fra det faktiske tal. Dette viser, at modellen stiger mere, end hvad der stemmer overens med den faktiske situation. Det kunne tyde på, at sammenhængen kan beskrives mere præcist med en eksponentielt stigende model.

Side 4

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

4

Opgave 2 a)

Vi bestemmer hældningskoefficienten ud fra følgende formel:

𝑎=

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

42 − 47,5
53 − 16,5
≈−0,1506849

Vi indsætter punkt C’s koordinater i den lineære model for at bestemmer b-værdien:

𝑦=𝑎 · 𝑥+ 𝑏

47,5=−0,1506849 ·16,5 + 𝑏

⇕ Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏=49,9863

Vi opstiller forskriften for l:

𝑦=−0,1506849𝑥+ 49,9863

b)

Vi bestemmer hældningskoefficienten for linjen gennem punkterne D og E:

𝑎=

23 − 42
67,5 − 53
≈−1,310345

Vi bestemmer vinklen mellem linjen l og linjen gennem punkterne D og E vha. følgende formel:

𝑣=tan^{−1} ()

𝑎_{𝑙} − 𝑎_{𝐷𝐸}
1 + 𝑎_{𝐷𝐸} · 𝑎_{𝑙}

Vi indsætter størrelserne:

𝑣=tan^{−1} ()

−0,1506849− ( −1,310345)
1 + ( −1,310345) · ( −0,1506849)

≈44,08151

                                  o
Den spidse vinkel mellem linjerne er lig 44

. Vi beregner den stumpe vinkel:

𝑣_{𝐶𝐸𝐷} =180 − 44,08151

≈135,9185

Side 5

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

5

Vinkel CED er lig med 135,9^{o}.

c)

Vi opdeler arealområdet i tre trapezer og én firkant.

Vi beregner arealet af trapez 𝐴𝐵𝐶𝑥_{1} ud fra følgende formel:

𝐴= · ( 𝑎+ 𝑏) · ℎ

1

2

Hvor a og b er de parallelle sider og h er afstanden mellem de parallelle sider.

𝑎=29

𝑏=47,5

ℎ=16,5

𝐴_{1} = · ( 29 + 47,5) · 16,5

1

2

=631,125

Vi beregner arealet af trapez 𝑥_{1} 𝐶𝐷𝑥_{2}:

𝑎=47,5

𝑏=42

𝑥_{1}

𝑥_{2} 𝑥_{3}

𝐶

𝐵

𝐴

𝐷

𝐸

𝐹

𝐺

Side 6

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

6

ℎ=53 −16,5
=36,5

𝐴_{2} = · ( 47,5 + 42) · 36,5

1

2

=1633,375

Vi beregner arealet af trapez 𝑥_{2} 𝐷𝐸𝑥_{3}:

𝑎=42

𝑏=23

ℎ=67,5− 53
=14,5

𝐴_{3} = · ( 42 + 23) · 14,5

1

2

=471,25

Vi beregner arealet af rektanglet 𝑥 𝐸𝐹𝐺:
                            3

𝐴=𝑎· 𝑏

𝑎=23

𝑏=75 − 67,5
=7,5

𝐴_{4} =23 · 7,5
=172,5

Vi bestemmer det samlede areal af butiksområdet:

𝐴=𝐴_{1} + 𝐴_{2} + 𝐴_{3} + 𝐴_{4}
=631,125 + 1633,375 + 471,25+ 172,5
=2908,25

Butiksområdet har et areal på 2908,25𝑚^{2}

d)

Følgende skitse viser gangarealet

Side 7

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

7 e)

Vi opdeler trapezen i to vilkårlige trekanter:

Hvor H og I har følgende koordinater:

𝐻

𝐼

𝐵

𝐶

𝐽

Side 8

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

8

𝐻= ( 43,0;0)

𝐼=(65,5;0)

Og punkt J ligger midt på linjestykket BC.

Vi bestemmer arealet af trekant BHI. Længden af linjestykket HI bestemmes:

𝐻𝐼=65,5 − 43
=22,5

Længden af linjestykket HB bestemmes vha. afstandsformlen:

𝐻𝐵= √ ( 𝑥_{1} − 𝑥_{2})^{2} + ( 𝑦_{1} − 𝑦_{2})^{2}
= √ ( 0 − 43)^{2} + ( 29 − 0)^{2}

≈51,86521

Hældningskoefficienten for linjen HB bestemmes:

𝑎=

0 − 26
43 − 0
≈−0,6046512

Vinkel H bestemmes:

𝑣=tan^{−1} (𝑎)
=tan^{−1} ( −0,6046512)
≈−31,15931

                        o
Den spidse vinkel er lig -31,16

. Vi beregner den stumpe vinkel:

𝑣_{𝐻} =180 − 31,15931

≈148,8407

Vinkel H er 149^{o}. Vi bestemmer arealet af trekant BHI vha. følgende formel:

𝐴= · 𝑎· 𝑏 · sin ( 𝐶)

1

2

𝐴_{1} = · 𝐻𝐼· 𝐻𝐵 · sin ( 𝐻)

1

2

= · 22,5 · 51,86521· sin ( 148,8407)

1

2

≈301,9057

Vi bestemmer arealet af trekant BJI. Punktet J er placeret midt på linjestykket BC. Vi bestemmer derfor længden af linjestykket BC vha. afstandsformlen og deler resultatet med 2:

𝐵𝐶 = √ ( 0 − 16,5)^{2} + ( 29 − 47,5)^{2}

≈24,78911

Side 9

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

9

𝐵𝐽=24,78911 ·

1

2

≈12,39456

Vi bestemmer længden af linjestykket BI:

𝐵𝐼= √ ( 0 − 65,5)^{2} + ( 29 − 0)^{2}

≈71,63274

Vi bestemmer størrelsen af vinkel B.

Hældningskoefficienten for linjen gennem punkterne B og C bestemmes:

𝑎_{𝐵𝐶} =

47,5 − 29
16,5 − 0

≈1,121212

Hældningskoefficienten for linjen gennem punkterne B og I bestemmes:

𝑎_{𝐵𝐼} =

0 − 29
65,5 − 0
≈−0,4427481

Vi bestemmer vinklen mellem de to linjer vha. følgende formel:

𝑣=tan^{−1} ()

𝑎_{𝐵𝐼} − 𝑎_{𝐵𝐶}
1 + 𝑎_{𝐵𝐶} · 𝑎_{𝐵𝐼}

Vi indsætter størrelserne:

𝑣=tan^{−1} ()

−0,4427481 −1,121212
1 + 1,121212 · ( −0,4427481)
≈−72,15176

Vinklen B lig 72^{o}. Vi bestemmer arealet af trekant BCI:

𝐴_{2} = · 𝑏 ·𝑐· sin ( 𝐴)

1

2

= · 12,39456 · 71,63274· sin ( 72,15176)

1

2

≈422,5626

Det samlede areal af gangområdet bestemmes:

𝐴_{𝑔𝑎𝑛𝑔} =𝐴_{1} + 𝐴_{2}
=422,5626+ 301,9058
=724,4684

Vi beregnet hvor mange procent af butiksområdet, som gangarealet udgør:

%= · 100

724,4684

2908,25

Side 10

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

10

≈24,9108

Gangarealet udgør 24,91 % af butiksområdet.

Side 11

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

11

Opgave 3 a) 𝑣⃗≔()

725

350 b)

Farten er lig længden af vektor v, som bestemmes:

| 𝑣⃗ | =805,0621

Flyets fart er 805 km/h.

Vi bestemmer retningsvinklen vha. følgende formel.

𝑣=tan^{−1} ()

𝑥 𝑦

=tan^{−1} ()

725

350

≈64,23067

                    o
Retningsvinklen er 64,23

c)

Den samlede hastighedsvektor bestemmes:

Side 12

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

12

𝑣⃗_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑣⃗+ 𝑢 ⎯ ⃗
=()

725 − 50
350 + 10
𝑣⃗_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} ≔()

675

360

Flyets nye fart bestemmes:

| 𝑣⃗_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} | =765

Flyets nye fart er 765 km/h

d)

Vi benytter følgende formel:

cos ( 𝑣) =

( 𝑣⃗) · (𝑣⃗_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙})

| 𝑣⃗ | · |(𝑣⃗ )|
      𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=cos^{−1} ()

547

17 · √ 1037

≈2,303159

Vinklen mellem vektorerne er 2,3^{o}.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟

Side 13

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

13

Opgave 4 a)

Den sorte kurve er funktionen f og den grønne kurve er funktionen g.

b)

Højden h er lig funktionernes skæring med hinanden. Vi sætter funktionerne lig hinanden og løser ligningen for f.

𝑓 ( 𝑥) ≔−0,0266𝑥^{2} + 0,0632𝑥 + 3,38

𝑔 ( 𝑥) ≔0,00127𝑥^{3} + 0,0265𝑥^{2} − 0,357𝑥 − 2,2

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0≤𝑥

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=12,52666

Højden h er lig 12,5 meter.

Side 14

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

14 c)

Vi bestemmer en funktion b for den lodret afstand mellem funktionerne:

𝑏 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)

𝑏 ( 𝑥) ≔−0,00127· 𝑥^{3} − 0,0531 · 𝑥^{2} + 0,4202 · 𝑥 + 5,58

Vi bestemmer b’s maksimum:

𝑏^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=3,513749

Vi tjekker, at der er tale om et maksimum:

𝑏^{′} ( 3) ≈0,06611

𝑏^{′} ( 4) ≈−0,06676

Da hældningen er positiv lige før den fundne x-værdi og negativ lige efter, er der tale om et maksimum. Vi bestemmer den maksimale bredde: 𝑏 ( 3,513749) ≈6,345786

Bygningens maksimale bredde er 6,35 meter.

d)

Vi benytter følgende formel til at beregne arealet mellem to funktioner afgrænser af grænseværdierne a og b:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Hvor f(x) er den øverste funktion og g(x) er den nederste funktion. Da tværsnittet afgrænses af y-aksen, har vi følgende grænseværdier:

𝑎=0

𝑏=ℎ=12,52666

Vi indsætter størrelserne i formlen:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

12,52666

0

≈60,25728

Side 15

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015

15

                        2
Tværsnitsarealet er lig 60,3 m

e)

Vi bestemmer afstanden mellem metalprofilerne:

12,52666

19

≈0,6592979 𝑙≔0,6592979

Den samlede længde metalprofil bestemmes ved at opstille en funktion. Vi antager, at afstanden mellem metalprofilerne er konstant.

𝐿=∑𝑏 ( 𝑖· 𝑙)

19

𝑖=0

≈94,08772

Den samlede længde metalprofil er 94,09 meter.