HHX Matematik B 2010 27. maj - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

1

HHX Matematik B

27. maj 2010

hhx101-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Studiekompasset.dk Eksamenssæt Matematik, B-niveau HHX

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-delseksamen, 2001.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vo-res løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave nr. 1 (uden hjælpemidler)

(a) For at vise at ligningen

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥^{2} − 4

er sand, gør vi brug af 3. kvadratsætning. Den giver

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎^{2} − 𝑏^{2}

Bruges 3. kvadratsætning til at udregne udtrykket på venstre side af lighedstegnet fås

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥^{2} − 2^{2} = 𝑥^{2} − 4

som ønsket.

Opgave nr. 2 (uden hjælpemidler)

(a) Det bemærkes af 𝑓 er et polynomium og hvorfor 𝑓 differentiabel og kan bestemmes ved hjælp af regnereglerne for differentation af polynomier.

𝑓^{′} (𝑥) = 2𝑥^{3} − 4𝑥 + 1

()_{′}

(jf. formel 106)

= 2𝑥^{3} − (4𝑥)^{′} + 1^{′}

()_{′}

(jf. formel 105)

= 3 · 2𝑥^{2} − 4

= 6𝑥^{2} − 4

og dermed har vi bestemt at

𝑓^{′} (𝑥) = 6𝑥^{2} − 4

2

Side 3

Studiekompasset.dk Eksamenssæt Matematik, B-niveau HHX

Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler)

(a) Arealet, T , af en trekant kan beregnes ved følgende formel (jf. formel 34)

T = · 𝑎 · 𝑐 · sin B

1

2

Formlen kan omskrives så 𝑐 er isoleret

T = · 𝑎 · 𝑐 · sin B

1

2

⇕

𝑐 =             =
    1

A 2A

2

· 𝑎 · 𝑐 · sin B 𝑎 · 𝑐 · sin B

Vi kan nu indsætte de kendte størrelser og bestemme 𝑐

𝑐 = = 10

2 · 10
4 · 0, 5

Dermed har vi fundet at længden af siden 𝑐 i trekant △AB𝐶 er 10.

TIP: Til prøven uden hjælpemidler skal du kunne huske alle formlerne omkring tre-kanter, side 12 og 13 i formelsamlingen

Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler)

(a) Oplysningerne giver to punkter, (100, 5000) og (200, 8000), på den rette linie som er grafen for 𝑓 (𝑥). Udfra disse to punkter kan hældningskoefficienten, 𝑎, bestemmes ved formlen (jf. formel 19):

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Indsættes de to punkter og fås:

𝑎 = = = 30

8000 − 5000 3000
200 − 100 100

Linjens ligning kan nu findes ved formlen (jf. formel 22):

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑦_{0}

hvor (𝑥_{0}, 𝑦_{0}) er et punkt på linjen. Vi finder:

3

Side 4

Studiekompasset.dk Eksamenssæt Matematik, B-niveau HHX

𝑓(𝑥) = 30(𝑥 − 100) + 5000

= 30𝑥 − 3000 + 5000

= 30𝑥 + 2000

Omkostningerne ved en produktion på 𝑥 enheder er altså bestemt ved funktionen med

forskriften 𝑓(𝑥) = 30𝑥 + 2000.

Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler)

(a) Vi ved at en ligning for tangenten til grafen for funktionen 𝑓(𝑥), i punktet (𝑥_{0}, 𝑓(𝑥_{0})),

er givet ved (jf. formel 103):

𝑦 = 𝑓^{′} (𝑥_{0})(𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})
Vi differentierer først funktionen for at kunne bestemme 𝑓^{′} (−1).

𝑓^{′} (𝑥) = 𝑥^{2} + 3𝑥 − 4

()_{′}

(jf. formel 106)

= 𝑥^{2} + (3𝑥)^{′} − (4)^{′}

()_{′}

(jf. formel 105)

= 2 · 𝑥^{1} + 3 + 0

= 2𝑥 + 3
Vi kan nu bestemme 𝑓^{′} (−1).

𝑓^{′} (−1) = 2 · (−1) + 3 = 1

Vi bestemmer nu

𝑓(−1) = (−1)^{2} + 3 · (−1) − 4 = 1 − 3 − 4 = −6

Vi indsætter nu for at bestemme tangentligningen:

𝑦 = 1 (𝑥 − (−1)) + (−6)

= 𝑥 + 1 − 6

= 𝑥 − 5

4

Side 5

Studiekompasset.dk Eksamenssæt Matematik, B-niveau HHX

Ligningen for tangenten til grafen for funktionen 𝑓 i punktet (−1, −6), er altså

𝑦 = 𝑥 − 5

Vi indtegner tangenten på Bilag 1 :

5

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

6

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔40000

𝑟≔0,01 𝑛≔36

Vi bestemmer den månedlige ydelse for lånet, dvs. n = 36:

𝑦=𝐴_{0} ·

𝑟

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

≈1328,5724

Den månedlige ydelse er bestemt til 1328,57 kr. (afrundet til 2 decimaler). Vi har dermed gjort rede.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer kendte størrelser, hvor t er antal terminer på et år, dvs. t = 12:

𝑡≔12 𝑟≔0,01

Vi bestemmer den effektive rente pr. år:

𝑖= ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

≈0,12682503

=12,682503%

Den effektive rente pr. år er bestemt til 12,68 % (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔40000

𝑟≔0,01 𝑦≔1328,5724

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

7 𝑡≔15

Vi bestemmer restgælden umiddelbart efter betaling af den 15. ydelse:

𝑅_{𝑡} =𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

𝑟

=25052,86

Restgælden umiddelbart efter betaling af den. 15. ydelse er bestemt til 25052,9 kr. (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

8

Opgave 2 a)

Vi tegner en sumkurve til at beskrive fordelingen af 25 telefonsælgeres indtjening pr. måned, sumkurven tegnes med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

b)

Vi vælger at beskrive fordelingen med de to statistiske deskriptorer: Typeinterval og Kvartilsæt.

Kvartilsæt: Kvartilsættet bestemmes med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Deskriptorer

Kvartilsæt

Mindste 0

Nedre 8,929

Median 16,11

Øvre 25,5

Største 50

Typeinterval: Typeintervallet kan let aflæses fra tabellen med data i opgavebeskrivelsen. Typeintervallet er bestemt til ]10; 20].

0%

25%

50%

75%

100%

0 50 60

Kumm. Frek.

Indtjening i 1000 kr.

Sumkurve

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

9

Opgave 3 a)

Vi definerer forskriften for f(x) samt definitionsmængden for x:

𝑓 ( 𝑥) ≔−50𝑥 + 600𝑥^{2} + 7500

3

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥 ≤10

Vi bestemmer tiden, der går, inden virksomheden opnår størst omsætning ved at optimerer f(x). Vi bestemmer nulpunkter for f’(x):

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=8

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( 7) =1050

𝑓^{′} ( 9) =−1350

Vi kan konkludere, at x = 8 er et maksimum, og at x = 8 resultere i en højere funktionsværdi end x = 0.

Ifølge modellen vil virksomheden opnå størst afsætning 8 år efter år 2008 dvs. i år 2016.

b)

Vi bestemmer førstekoordinaten til vendetangenten for f:

𝑓^{′′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=4

Grafen for f har vendetangent i x = 4, vi har dermed gjort rede for at den største stigning i afsætning opnås
til tidspunktet x = 4, dvs. i år 2012.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

10

Opgave 4 a)

Modellen er en eksponentiel funktion:

𝑓 ( 𝑥) =852 · 1,30^{𝑥}

Tallet a er fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstraten r:

𝑟=𝑎 − 1
=1,30 − 1
=0,30
=30%

Ifølge modellen vokser antal konkurser med 30 % pr. halvår.

Vi bestemmer antallet af forventede konkurser i 1. halvår af 2010 ved at bestemme f(5):

𝑓 ( 5) =852 · 1,30^{5}
=3163,416

Ifølge modellen er det forventede antal af konkurser i 1. halvår af 2010 bestemt til 3163 (afrundet til hel konkurs).

b)

Vi bestemmer fordoblingskonstanten:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,30)

≈2,641927

Fordoblingstiden er bestemt til 2,64 halvår (afrundet til 2 decimaler), dvs. at ifølge modellen vil antallet af konkurser fordobles for hvert 2,64 halvår.

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

11

Opgave 5 a)

Vi bestemmer en forskrift for f(x, y):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =18000 · 𝑥+ 9000· 𝑦

Vi indtegner polygonområdet i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Polygonområdet er under følgende begrænsninger:

𝑦≤−𝑥+ 250

𝑦≤− 𝑥+ 200

1

3

0≤𝑥≤100

𝑦≥50

Illustration fra GeoGebra:

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

12 b)

Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑡

⇕

18000 · 𝑥 + 9000 · 𝑦=𝑡

⇕

9000𝑦=𝑡−18000𝑥

⇕

𝑦=− 𝑥+𝑡

18000

9000

⇕

𝑦=−2𝑥+ 𝑡

Vi aflæser niveaulinjernes hældning til -2. Da -2 < -1 < -1/3 betegner punktet, der beskriver den størst

mulige omsætning for flyselskabet pr. afgang, skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne:

𝑦=−𝑥+ 250

𝑥=100

Vi bestemmer skæringspunktet mellem de to ovenstående linjer ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=150 ∧ 𝑥=100

Flyselskabet opnår størst mulig samlet omsætning pr. afgang ved 100 sæder på Business og 150 sæder på Economy.

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

13

Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 6A a)

Vi bestemmer længden af siden B med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 65° , a = 15 , c = 12

B A = 67,39341°
B = 65°
C = 47,60659°

a = 15
c a b = 14,72608
c = 12

Længden af siden b findes vha. en cosinusrelation

𝑏= √ 𝑎^{2} + 𝑐^{2} − 2 · 𝑎· 𝑐· cos ( 𝐵)
= √ 15^{2} + 12^{2} − 2 · 15 · 12 · cos ( 65°)
=14,72608

Længden af siden B er bestemt til 14,73 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer størrelsen af den spidse vinkel A med WordMats trekantsløser:

Længden af siden b findes vha. en cosinusrelation.

𝑏= √ 𝑎^{2} + 𝑐^{2} − 2 · 𝑎· 𝑐· cos ( 𝐵)
= √ 15^{2} + 12^{2} − 2 · 15 · 12 · cos ( 65°)
=14,72608

Vinkel A findes vha. en cosinusrelation.

𝐴=cos^{−1} ()

𝑏^{2} + 𝑐^{2} − 𝑎^{2}
2 · 𝑏 · 𝑐

=cos^{−1} ()

14,72608^{2} + 12^{2} − 15^{2}
2 · 14,72608 · 12
=67,39341°

Størrelsen af den spidse vinkel A er bestemt til 67,39° (afrundet til 2 decimaler).

A b C

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2010

14

Opgave 6B a)

Den samlede indkomst for Lailas forældre er på 500.000 kr. pr. år, dvs. SU-beløbet Laila kan modtage pr.

måned kan beskrives med den stykvise funktion f(x) for x i intervallet 282984 < x ≤ 603821.

Vi bestemmer beløbet ved at bestemme f(500000):

𝑓 ( 500000) =−0,0045 · 500000+ 3833,22

≈1583,22

Laila kan modtaget et SU-beløb pr. måned på 1583,2 kr. (afrundet til 1 decimal).

b)

Peter modtager 2.040 kr. i SU pr. måned, der dermed befinder sig i intervallet 2574 > 2040 > 1146, dvs. at

SU-beløbet Peter modtager, kan beskrives med den stykvise funktion f(x) for x i intervallet 282984 ≤ x <

603821.

Vi bestemmer indkomsten for Peters forældre pr. år ved at løse for x i f(x) = 2040.

𝑓 ( 𝑥) =2040

⇕

−0,0045 · 𝑥 + 3833,22=2040

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=398493,3

Peters forældre har altså en indkomst på 398493 kr. pr. år. (afrundet til helt tal).