HHX Matematik B 2011 19. december - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

1

HHX Matematik B

19. december 2011

hhx113-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 4

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX B hhx113-MAT/B-

Opgaver uden hjælp emidler - 19. december 2011

Opgave 1

At 𝑥 = 2 er en løsning vises ved at udtrykket på venstre side af lighedstegnet er lig med
0 for 𝑥 = 2. Udtrykket bestemmes.

2^{2} − 4 · 2 + 4 = 4 − 8 + 4 = 0 .

Det ses således at 𝑥 = 2 er en løsning til ligningen.

Opgave 2

Da der er tale om en eksponentiel udvikling med en relativ tilvækst på 8% = 0, 08 fås (jf.

formel 56)

𝑓(𝑥) = · (1 + 0, 08) = · 1, 08.

𝑥 𝑥

Forskriften for den eksponentieller funktion der angiver værdien af investeringen efter 𝑥 år er altså

𝑓(𝑥) = · 1, 08.

𝑥

Opgave 3

Medianen aflæses som førstekoordinaten til skæringspunktet mellem grafen og linien med

ligningen 𝑦 = 0, 50. Medianen er 8.000.

At medianen er 8.000 betyder at 50% af elsparepærerne har en levetid på maksimalt

8.000 timer.

Opgave 4

Funtionen differentieres ved hjælp af de sædvanlige regneregler for differentation af poly-nomier (jf. formel 105, 106)

𝑓^{′} (𝑥) = 𝑥^{2} − 2𝑥 = 2𝑥 − 2 .

()_{′}

Opgave 5

Ved at ses på grafen gættes på at linien er tangent til 𝑓 for 𝑥 = 2. Tangenten til 𝑓 for
𝑥 = 2 bestemmes derfor.
Lingningen for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (𝑥_{0}, 𝑦_{0}) = (2, 𝑓 (2)) er givet ved (jf.

formel 103)

𝑦 = 𝑓^{′} (2)(𝑥 − 2) + 𝑓(2) .

Først bestemmes den afledede ved hjælp af regnereglerne for differentations af polynomier

(jf. formel 105,106)

𝑓^{′} (𝑥) = −𝑥^{2} + 5𝑥 = −2𝑥 + 5 .

()_{′}

Den afledede evalueres i 𝑥 = 2

𝑓^{′} (2) = −2 · 2 + 5 = 1 .

Funktionen evalueres i 𝑥 = 2

𝑓(2) = −2^{2} + 5 · 2 = −4 + 10 = 6 .

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX B hhx113-MAT/B-

Ligningen for tangenten bestemmes

𝑦 = 1(𝑥 − 2) + 6 = 𝑥 − 2 + 6 = 𝑥 + 4 .

Linien med ligningen

𝑦 = 𝑥 + 4

er altså tangent til grafen for 𝑓 .

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere handelseksamen fra 1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra ap-pendikset fra april 2002.

Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.

Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

3

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi tegner et trappediagram til at beskrive fordelingen af antal solgte smartphone, vi tegner trappediagrammet med WordMats skabelon for u grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen: b)

Vi vælger at beskrive fordelingen med de tre statistiske deskriptorer: Median, Typetal og Gennemsnit Median: Medianen bestemmes med WordMats skabelon for u grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Median 3

Typetallet: Typetallet kan let aflæses fra tabellen med data i opgaveformuleringen. Typeintervallet for fordelingen er bestemt til 3.

Gennemsnit: Gennemsnittet er bestemt med WordMats skabelon for u grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Gennemsnit 2,77

0%

25%

50%

75%

100%

0 1 2 3 4 5 6

Kum. Frekv.

Anatal solge smartphones

Trappediagram

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

5

Opgave 2 a)

Vi definerer en forskrift for f, hvor x > 0:

𝑓 ( 𝑥) ≔10584𝑥+ 78000

Vi bestemmer de forventede omkostninger i år 2011 ved at bestemme f() = f(5):

𝑓 ( 5) =130920

Ifølge modellen er virksomhedens forventede omkostninger til produktion i år 2011 bestemt til 130920 kr.

Vi bestemmer året, hvor de forventede omkostninger forventes at overstige 175000 ved at løse uligheden f(x) > 175000 for x: 𝑓 ( 𝑥) >175000

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥>9,164777

Ifølge modellen overstiger virksomhedens omkostninger til produktion 175000 kr. ca. 9,14 år (afrundet til 2 decimaler) efter år 2006, dvs. i år 2015.

b)

Forskriften for f(x) er en lineær funktion:

𝑓 ( 𝑥) =𝑎𝑥+ 𝑏

Tallet b betegner funktionens værdi i x = 0, dvs. at i år 2006 var virksomhedens omkostninger til produktion

78000 kr.

Tallet a betegner hældningskoefficienten, dvs. at for hvert år efter år 2006 stiger virksomhedens omkostninger med 10584 kr. om året.

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

6

Opgave 3 a)

Vi definerer kendte størrelser: 𝑛≔240 𝑦≔6000 𝑟≔0,003

Vi bestemmer pensionsopsparingen efter de 20 år, dvs. n = 120:

𝐴_{𝑛} =𝑦 · ≈2104440

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

Pensionsopsparingen efter 20 år er bestemt til 2104440 kr., vi har dermed gjort rede.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer kendte størrelser: 𝑛≔18 𝑟≔0,04

𝐴_{𝑛} ≔2104440

Vi bestemmer den årlige ydelse:

𝑦=𝐴_{𝑛} ·

𝑟

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

≈166236,7

Den årlige ydelse er bestemt til 166237 kr. (afrundet til helt tal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

7

Opgave 4 a)

Vi definerer forskriften for f(x) samt definitionsmængden for x:

𝑓 ( 𝑥) ≔−0,5𝑥^{3} + 12𝑥^{2} + 54𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤25

Vi har, at grænseproduktet GP er givet ved:

𝐺𝑃 ( 𝑥) =𝑓^{′} ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝐺𝑃 ( 𝑥) =24 · 𝑥− 1,5 · 𝑥^{2} + 54

En forskrift for grænseproduktet GP(x) er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi bestemmer parkeringsafgiften pr. time, der giver den maksimale indtjening, ved at optimere f.

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 0≤𝑥≤25
𝑥=18 ∨ 𝑥 =−2

Da x ≥ 0 er x = -2 ikke en løsning.

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den aflede funktion f’:

𝑓^{′} ( 17) =28,5

𝑓^{′} ( 19) =−31,5

Vi kan konkludere, at x = 18 er et maksimum.

En parkeringsafgift på 18 kr. pr. time giver en maksimal indtjening.

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

8

Opgave 5 a)

Vi bestemmer en forskrift for f(x, y):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =4 · 𝑥+ 5 · 𝑦

En forskrift for det samlede pladsforbrug f(x, y) for x stk. Standard reoler og y stk. Large reoler er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi indtegner polygonområdet og niveaulinjen N(1000) i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Polygonområdet er begrænset af følgende:

𝑦≥−1,5𝑥+ 300

𝑦≥−0,5𝑥+ 160

𝑦≥−𝑥+ 250

𝑥≥0

𝑦≥0

Illustration fra GeoGebra:

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

9 c)

Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑡

⇕

4𝑥+ 5𝑦=𝑡

⇕

5𝑦=𝑡− 4𝑥

⇕

𝑦=− 𝑥+

4 𝑡

5 5

Vi aflæser niveaulinjernes hældning til -4/5. Da -1 < -4/5 < -0,5 betegner punktet, der beskriver det mindst

mulige samlede pladsforbrug, skæringspunktet mellem linjerne med ligninger.

𝑦=−0,5 + 160

𝑦=−𝑥+ 250

Vi bestemmer skæringspunktet mellem de to ovenstående linjer ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:

𝑦=−0,5𝑥+160

𝑦=−𝑥+ 250

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑥=180;𝑦=70

Der skal produceres 180 stk. reoler af typen Standard og 70 stk. reoler af typen Large, for at det samlede pladsforbrug af reolerne bliver mindst muligt.

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

10

Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 6A a)

Vi bestemmer længden af siden b med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 80° , a = 6 , c = 10

C A = 33,40919°
C = 66,59081°
B = 80°

a = 6
c = 10
b = 10,73137

Længden af siden b findes vha. en cosinusrelation

𝑏= √ 𝑐^{2} + 𝑎^{2} − 2 · 𝑐· 𝑎 · cos ( 𝐵)
= √ 10^{2} + 6^{2} − 2 · 10 · 6 · cos ( 80°)
=10,73137

Længden af siden b er bestemt til 10,73 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer størrelsen af vinkel v med WordMats trekantsløser. Røringspunktet mellem medianen m og c siden AB kaldes for v.

Vi benytter at medianen m c halverer siden AB, dvs. længden af siden vB er lig 5.

A c B b a

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

11

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 80° , a = 6 , MCB = 5

C v = 56,18338°
C = 43,81662°
B = 80°

a = 6
vB = 5
mc = 7,11204

Vinkel C findes vha. en cosinusrelation

𝐶=cos^{−1} ()

𝑚𝑐^{2} + 𝑎^{2} − 𝑣𝐵^{2}
2 · 𝑚𝑐·𝑎

=cos^{−1} ()

7,11204^{2} + 6^{2} − 5^{2}
2 · 7,11204 · 6
=43,81662°
Vinkel MC findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝑣=180° − 𝐵− 𝐶
=180° − 80° − 43,81662°
=56,18338°

Vinkel v er bestemt til 56,18° (afrundet til 2 decimaler).

v MCB B mc a

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

12

Opgave 6B a)

Vi definerer en forskrift for f(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} − 1,5𝑥^{2} − 5𝑥 + 2

Vi definerer førstekoordinaten til punktet (2, f(2)):

𝑥_{0} ≔2

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (2, f(2)):

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=𝑥− 8

En ligning til tangenten til grafen for f i punktet (2, f(2)) er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi benytter, at differentialkvotienten til et punkt på grafen pr. definition er lig tangent hældningen til samme punkt.

Vi bestemmer førstekoordinaten til røringspunktet mellem grafen f og tangenten m:

𝑓^{′} ( 𝑥) =1

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2 ∨ 𝑥 =−1

Vi har, at x = 2 er røringspunktet mellem grafen for f og tangenten l.

Førstekoordinaten til røringspunktet mellem grafen for f og tangenten m er bestemt til x = -1.

Vi bestemmer anden koordinaten:

𝑓 ( −1) =4,5

Røringspunktet mellem grafen for f og tangenten m er bestemt til (-1, 4,5).