HHX Matematik B 2009 25. maj - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

1

HHX Matematik B

25. maj 2009

HHX091-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5

Side 2

Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, maj 2009

Opgave 1

Vi løser uligheden:

3(𝑥 + 2) − 𝑥 ≤ 𝑥 − 4

⇕

3𝑥 + 6 − 𝑥 ≤ 𝑥 − 4

⇕

𝑥 ≤ −10

Opgave 2

Vi differentierer 𝑓 (𝑥) jvf. formel 106.

𝑓^{′} (𝑥) = 𝑥 + 4𝑥^{2} + 12𝑥

()_{′}
1_{3}

3

= 𝑥 + 4𝑥^{2} + (12𝑥)^{′}

()_{′}
1_{3}

3

()_{′}

Formel 105

= 𝑥^{2} + 8𝑥 + 12

Vi bestemmer nu nulpunkter for den afledede funktion 𝑓^{′} (𝑥) da disse redegører for de
steder hvorpå grafen for 𝑓 (𝑥), hvor dennes hældning er 0. Vi løser altså^{′} 𝑓(𝑥) = 0

𝑓^{′} (𝑥) = 0

⇕

𝑥^{2} + 8𝑥 + 12 = 0

⇕ Formel 44

𝑥 =

−8 ± 8^{2} − 4 · 12 · 1

√

2 · 1

=

−8 ± 16

√

2

=

−8 ± 4

2

𝑥 = −6 ∨ 𝑥 = −2

Vi foretager nu en fortegnsundersøgelse for at være i stand til at redegøre for funktionens monotoniforhold.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, maj 2009

𝑥 : −7 −6 −4 −2 0
𝑓^{′} (𝑥) : 5 0 −4 0 12

𝑓(𝑥) : ↗ ↘ ↗ og der på kan vi konkludere at:

𝑓(𝑥) er stigende i intervallet 𝑥 ∈] −∞; −6]

𝑓(𝑥) er faldende i intervallet 𝑥 ∈ [−6; −2]

𝑓(𝑥) er stigende i intervallet 𝑥 ∈ [−2; ∞[

Opgave 3

Jvf. formel 34 er arealet af en vilkårlig trekant, A, givet ved:

A = sin A · 𝑏𝑐

Vi får da:

A = 0, 7 · 4 · 2 = 8 · 0, 7 = 5, 6

Altså er arealet af trekanten 5,6.

Opgave 4

Jvf. formel 56 ser vi at der er tale om en eksponentielt voksende funktion der også kan skrives som

𝑓(𝑥) = 235 · (1, 04)^{𝑥} = 235 · (1 + 0, 04)^{𝑥}
, hvor 235 er prisen på en PC-taske til tiden 𝑥 = 0 (år 2000).

Vi ved at 𝑟 = 𝑎 − 1 angiver den procentvise stigning pr. år. I vores tilfælde stiger prisen
altså 1, 04 − 1 = 4% årligt, og det er hvad tallet 1,04 redegører for.

Opgave 5

Vi indsætter x=1, og ser om ligningen er et sandt usangn.

(1 − 2)(1 + 9) = −1 · 10 = −10 ̸= 0
Vi kan hermed konkludere at 𝑥 = 1 ikke er en løsning.

Vi løser ligningen:

3

Side 4

Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, maj 2009

(𝑥 − 2)(𝑥 + 9) = 0

⇕ Vi bruger nulreglen

𝑥 − 2 = 0 ∨ 𝑥 + 9 = 0

⇕

𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −9

Altså gælder om løsningsmængden for ligningen 𝐿 = {−9, 2}

4

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

5

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Inden vi tegner et diagram, sorterer vi dataet med en Pivot-tabel i Excel. Derefter tegner vi et pindediagram med WordMats skabelon for ugrupperede observationer til at vise fordelingen af antallet af mobiltelefoner familien, resultatet kopieres ind i besvarelsen: b)

Vi vælger, at beskrive fordelingen med de 4 statistiske deskriptorer: Mindsteværdi, Størsteværdi, Median og Typetal:

Mindsteværdi: Mindsteværdien kan let aflæses fra datasættet i opgaveformuleringen. Mindsteværdien er bestemt til 1.

Median: Medianen er bestemt med WordMats skabelon for u grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Median 3

Størsteværdi: Størsteværdien kan let aflæses fra datasættet i opgaveformuleringen. Størsteværdien er bestemt til 5.

Typetal: Typetallet kan let aflæses fra pindediagrammet i opg a), typetallet er bestemt til 3.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6

Hyppighed

Antal mobiltelefoner

Pindediagram

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

6

Opgave 2 a)

Vi bestemmer først restbeløbet dvs. 80 % af sofaens pris:

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑏𝑒𝑙ø𝑏=29107 · 0,80

≈23285,6

Vi definere kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔23285,6

𝑛≔18 𝑟≔0,01

Vi bestemmer den månedlige ydelse:

𝑦=𝐴_{0} ·

𝑟

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

≈1420,0036

Den månedlige ydelse er bestemt til 1420,00 kr. (afrundet til 2 decimaler). Vi har dermed gjort rede.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer kendte størrelser: 𝑡≔9 𝑦≔1420,00

𝐴_{0} ≔29107

𝑟≔0,01

Vi bestemmer restgælden umiddelbart efter betaling af den 9. ydelse:

𝑅_{𝑡} =𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

𝑟

≈18530,589

Restgælden, umiddelbart efter betaling at den 9. ydelse er betalt, er bestemt til 18530,59 kr. (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

7

Opgave 3 a)

Vi definerer forskriften for f:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} − 6𝑥^{2} + 5

Vi bestemmer førstekoordinaten til røringspunktet mellem vendetangenten og grafen for f:

𝑓^{′′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2

Vi kan konkludere, at grafen for f har en vendetangent i x = 2.

Vi bestemmer anden koordinaten:

𝑓 ( 2) =−11

Koordinatsættet til røringspunktet mellem vendetangenten og grafen for f er bestemt til (2, -11).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

8

Opgave 4 a)

Vi definerer forskriften for R(x) og C(x) samt definitionsmængden for x:

𝑅 ( 𝑥) ≔−0,04𝑥^{2} + 30𝑥

𝐶 ( 𝑥) ≔6𝑥+ 2000

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 50≤𝑥≤600

Vi har, at overskuddet er givet ved:

𝑂 ( 𝑥) =𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑂 ( 𝑥) =24 · 𝑥− 0,04 · 𝑥^{2} − 2000

En forskrift for omsætningen O(x) er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi definerer forskriften for O(x):

𝑂 ( 𝑥) ≔24 · 𝑥− 0,04 · 𝑥^{2} − 2000

Vi bestemmer intervallet for afsætningen, hvor overskuddet for MEDIA giver overskud, ved at foretage en fortegnsundersøgelse af O(x).

Vi bestemmer nulpunkter til grafen for O(x):

𝑂 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=100 ∨ 𝑥=500

Vi undersøger fortegnet for funktionsværdien på begge sider af nulpunkterne:

𝑂 ( 70) =−516

𝑂 ( 300) =1600

𝑂 ( 550) =−900

Afsætningen for MEDIA giver overskud i intervallet [100; 500].

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

9 c)

Vi undersøger spørgsmålet ved hhv. at bestemme maksimum for omsætningen R(x) og maksimum for overskuddet O(x).

For omsætningen R(x).

Vi bestemmer nulpunkter til afledede funktion R’(x):

𝑅^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=375

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑅^{′} ( 300) =6

𝑅^{′} ( 400) =−2

Vi kan konkludere, at x = 375 er maksimum for omsætningen.

For overskuddet O(x).

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion O’(x):

𝑂^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=300

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑂^{′} ( 250) =4

𝑂^{′} ( 350) =−4

Vi kan konkludere, at x = 300 er et maksimum for overskuddet.

Konklusion:

Vi kan konkludere, at Jakob har ret, da maksimum for hhv. omsætningen R(x) og overskuddet O(x) ikke falder

i samme punkt 375 ≠ 300, findes det største overskud altså ikke ved den afsætning, der giver det største

omsætning.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

10

Opgave 5 a)

Vi definerer x som dækningsbidraget pr. stk. A4, og y defineres som dækningsbidraget pr. stk. A3. Vi bestemmer en forskrift for f(x, y):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =30 · 𝑥+ 40 · 𝑦

En forskrift, der angiver det samlede dækningsbidrag f(x, y), er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi opstiller begrænsninger for produktionen. Vi har, at 50 timer svarer til 50 · 60 min = 3000 min:

For afdeling 1:

15 · 𝑥+ 30 · 𝑦≤3000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤−0,5 · ( 𝑥− 200)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑦≤−0,5 · 𝑥 + 100

For afdeling 2:

20 · 𝑥+ 20 · 𝑦≤3000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤−𝑥+ 150

Der må desuden selvfølgelig gælde:

𝑥≥0

𝑦≥0

Vi indtegner begrænsningerne i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Illustration fra GeoGebra:

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

11 c)

Vi indtegner niveaulinjen N(2000) i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Illustration fra GeoGebra:

Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑡

⇕

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

12

30𝑥+ 40𝑦=𝑡

⇕

40𝑦=𝑡− 30𝑥

⇕

𝑦=− 𝑥+

30 𝑡

40 40

⇕

𝑦=− 𝑥 +

3 𝑡

4 40

Vi kan aflæse niveaulinjerens hældning til -3/4. Da -1 < -3/4 < -0,5 betegner punktet, der beskriver det størst

mulige samlede dækningsbidrag, skæringspunktet mellem de to linjer herunder:

𝑦=−0,5 · 𝑥 + 100

𝑦=−𝑥+ 150

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=50 ∧ 𝑥=100

Det størst mulige samlede dækningsbidrag opnås ved en produktion af 100 stk. A4 pr. uge og 50 stk. A3 pr.

uge.

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

13

Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 6A a)

Vi bestemmer linjestykket AB med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 60° , a = 6 , b = 8

C A = 46,102114°
C = 60°
B = 73,897886°

a = 6
c = 7,2111026
b = 8

Længden af siden c findes vha. en cosinusrelation

𝑐= √ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2 · 𝑎· 𝑏 · cos ( 𝐶)
= √ 6^{2} + 8^{2} − 2 · 6 · 8 · cos ( 60°)
=7,2111026

Linjestykket AB, der svarer til siden c, er bestemt til 7,21 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer først vinkel A, med en cosinusrelation:

𝐴=cos^{−1} ()

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2}
2 · 𝑐· 𝑏

=cos^{−1} ()

7,211103^{2} + 8^{2} − 6^{2}
2 · 7,211103 · 8
=46,10211°

Vi bestemmer længden af vinkelhalveringslinjen med WordMats trekantsløser. Vi beregner vinkelhalveringslinjen som modstående katete til vinkel A i trekanten som hjørnerne A, C og, røringspunktet mellem vinkelhalveringslinjen danner med sidestykket AB, danner:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,102114° , C = 30° , b = 8

A c B b a

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

14

C A = 46,102114°
C = 30°
VC = 103,89789°

vc = 5,9384599
c = 4,12063
b = 8

Vinkel VC findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝑉𝐶=180° − 𝐴 − 𝐶
=180° − 46,102114° − 30°
=103,89789°

Længden af siderne vc og c findes vha. sinusrelationerne

𝑣𝑐=𝑏 ·

sin ( 𝐴) sin ( 𝑉𝐶)

=8 ·

sin ( 46,102114°) sin ( 103,89789°)

=5,9384599

Længden af vinkelhalveringslinjen er bestemt til 5,94 (afrundet til 2 decimaler).

A c VC b vc

Side 15

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2009

15

Opgave 6B a)

Det er oplyst, at forskriften for f(x) er en stykkevis lineær funktion. Forskriften for x i intervallet 0 ≤ x ≤ 180 er

givet ved 0,2x, og forskriften for x i intervallet 180 < x er givet ved 0,5x dvs.:

𝑓 ( 𝑥) = {

0,2𝑥,0≤𝑥≤180

0,5𝑥,𝑥>180 b)

Vi tegner grafen for f(x): Vi kan se, at grafen i intervallet 0 ≤ x ≤ 180 har hældningen 0,2, og at grafen i

intervallet x > 180 har hældningen 0,5.