HHX Matematik B 2011 15. august - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

1

HHX Matematik B

15. august 2011

hhx112-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 4

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX B hhx112-MAT/B-

Opgaver uden hjælp emidler - 15. august 2011

Opgave 1

Trekantens areal bestemmes (jf. formel 34).

    1          1
T =  𝑎𝑐 sin B = · 4 · 10 · 0, 5 = 10 .
    2          2

Arealet af trekant AB𝐶 er altså 10.

Opgave 2

Da der er tale om en eksponentiel aftagende funktion med en relativ tilvækst på −10% =
−0, 10 er forskriften for funktionen (jf. formel 56)
𝑓(𝑥) = 800.000 · (1 − 0, 10)^{𝑥} = 800.000 · 0, 9^{𝑥}.

Forskriften for funktionen der beskriver maskinens værdi efter 𝑥 år er altså

𝑓(𝑥) = 800.000 · 0, 9^{𝑥}.

Opgave 3

Der haves to punkter på en ret linie. Først bestemmes hældningskoefficienten (jf. formel

19).

                         1
𝑎 =        =           =  .

𝑦_{2} − 𝑦_{1} 120 − 70
𝑥_{2} − 𝑥_{1} 200 − 100^{2}
For et punkt på linien (𝑥_{0}, 𝑦_{0}) kan ligningen nu bestemmes ved (jf. formel 22)
𝑦 − 𝑦_{0} = 𝑎(𝑥 − 𝑥_{0}) ⇔ 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑦_{0}.

Punktet (100, 70) indsættes.

    1               1             1
𝑦 =  (𝑥 − 100) + 70 = 𝑥 − 50 + 70 = 𝑥 + 20 .
    2               2             2

Forskriften for 𝑠 er altså

       1
𝑠(𝑥) =  𝑥 + 20 .
       2

Opgave 4

At 𝑥 = −1 er en løsning betyder at udtrykket er sandt for 𝑥 = −1. Udtrykket evalueres
for 𝑥 = −1.
(−3 · (−1) + 6) · −1 + 1 = (3 + 6) · 0 = 0 .

√

Det ses altså at udsagnet er sandt for 𝑥 = −1.

Den anden løsning fås ved at løse ligningen. Her benyttes nulreglen.

(−3𝑥 + 6) · 𝑥 + 1 = 0

√

⇕

(−3𝑥 + 6) = 0 ∨ 𝑥 + 1 = 0

√

⇕

3𝑥 = 6 ∨ 𝑥 + 1 = 0

⇕

𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −1 .
Den anden løsning er altså 𝑥 = 2.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX B hhx112-MAT/B-

Opgave 5

En graf har en vandret tangent i et punkt hvor funktionens første afledede er nul. Funktio-nens første afledede bestemmes ved hjælp af de sædvanlige regneregler for differentation af polynomier (jf. formel 105,106).

𝑓^{′} (𝑥) = 𝑥^{2} − 8𝑥 + 4 = 2𝑥 − 8 + 0 .

()_{′}

Ligningen 𝑓^{′} (𝑥) = 0 løses for 𝑥.

𝑓^{′} (𝑥) = 0 ⇔ 2𝑥 − 8 = 0 ⇔ 2𝑥 = 8 ⇔ 𝑥 = 4 .

Grafen for 𝑓 har altså en vandret tangent i 𝑥 = 4.

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere handelseksamen fra 1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra ap-pendikset fra april 2002.

Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.

Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

3

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi tegner en sumkurve til at beskrive fordelingen af iværksætternes alder, vi tegner sumkurven med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

b)

Vi vælger at beskrive fordelingen med de to statistiske deskriptorer: Median og Typeinterval.

Median: Medianen er bestemt med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Median 34,14

Typeinterval: Typeintervallet kan let aflæses fra tabellen i opgaveformuleringen. Typeintervallet er bestemt til ]25; 35].

0%

25%

50%

75%

100%

55 65 75

Kum. Frek.

Alder

Sumkurve

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

5

Opgave 2 a)

Vi definerer forskriften for f:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} + 𝑥^{2} − 2𝑥

Vi vælger at beskrive funktionen med de to analysepunkter: Nulpunkter og fortegnsvariation.

Vi bestemmer nulpunkter til grafen for f:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 0

Grafen for f har nulpunkter i x = 1, x = -2 og x = 0.

Vi undersøger fortegnet for funktionsværdien på begge sider af nulpunkterne:

𝑓 ( −3) = −12

𝑓 ( −1) = 2

𝑓() = −0,625

1

2

𝑓 ( 2) = 8

f er negativ i intervallet ]-∞; -2] og [0; 1]

f er positiv i intervallet [-2; 0] og [1; ∞[

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

6 b)

Vi tegner grafen for f, markeringer er tegnet i Paint, og resultatet er derefter kopieret tilbage i besvarelsen:

Nulpunkter er markeret med grøn. Grafens negative interval er markeret med blå, og grafens positive interval er markeret med rød.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

7

Opgave 3 a)

Vi definerer en forskrift for p(x) samt definitionsmængden for x:

𝑝 ( 𝑥) ≔ −𝑥 + 200

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 < 𝑥 < 200

Vi har forskriften for omsætningen R, er givet ved:

𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 = 𝑎𝑓𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 · 𝑝𝑟𝑖𝑠 𝑝𝑟.𝑠𝑡𝑘.

Dvs.:

𝑅 ( 𝑥) = 𝑝 ( 𝑥) · 𝑥

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑅 ( 𝑥) = 200 · 𝑥 − 𝑥^{2}

En forskrift for omsætningen R(x) er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi definerer forskriften for overskuddet O(x):

𝑂 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{2} + 170𝑥 − 5200

Vi bestemmer det maksimale overskud ved at optimere O(x).

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion O’:

𝑂^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 85

Vi bestemmer det maksimale overskud ved at bestemme O(85):

𝑂 ( 85) = 2025

Det maksimale overskud er bestemt til 2025 kr.

c)

Vi definerer en forskrift for K(x) og R(x):

𝐾 ( 𝑥) ≔ 60𝑥 + 2400

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

8

𝑅 ( 𝑥) ≔ 200 · 𝑥 − 𝑥^{2}

Vi har, at virksomhedens overskud ved brug af maskine B er givet ved:

𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑 = 𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟

Dvs.:

𝑂_{𝐵} ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐾 ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑂_{𝐵} ( 𝑥) = 140 · 𝑥 − 𝑥^{2} − 2400

Vi definerer udtrykket for virksomhedens overskud ved brug af maskine B:

𝑂_{𝐵} ( 𝑥) ≔ 140 · 𝑥 − 𝑥^{2} − 2400

Vi bestemmer det maksimale overskud ved brug af maskine B ved at optimerer O:

B

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion O ’:

B

𝑂_{𝐵}^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 70

Vi bestemmer det maksimale overskud:

𝑂_{𝐵} ( 70) = 2500

Da overskuddet bliver større ved brug af maskine B til produktion, kan vi konkludere, at virksomheden med fordel kan bruge maskine B.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

9

Opgave 4 a)

Vi definerer forskriften for f:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{2} − 7𝑥 + 1

Vi benytter, at differentialkvotienten til et punkt på grafen pr. definitions er lig tangent hældningen til samme punkt.

Vi bestemmer førstekoordinaten til røringspunktet mellem grafen for f og tangenten med hældningen lig 3:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 3

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 5

Vi definerer førstekoordinaten til røringspunktet:

𝑥_{0} ≔ 5

Vi bestemmer en ligning for tangenten:

𝑦_{𝑡} = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 3 · 𝑥 − 24

En ligning for tangenten til grafen for f med hældningen lig 3 er bestemt til ovenstående udryk.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

10

Opgave 5 a)

Vi bestemmer en forskrift for f(x, y):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 100 · 𝑥 + 100 · 𝑦

En forskrift, der angiver det samlede dækningsbidrag, er bestemt ovenstående udtryk.

Vi indtegner polygonområdet og niveaulinjen N(5000) i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Polygonområdet er begrænset af følgende:

4𝑥 + 2𝑦 ≤ 300

0 ≤ 𝑥 ≤ 60

0 ≤ 𝑦 ≤ 100

Illustration fra GeoGebra: b)

Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

11

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡

⇕

100𝑥 + 100𝑦 = 𝑡

⇕

100𝑦 = 𝑡 − 100𝑥

⇕

𝑦 = − 𝑥 +

100 𝑡

100 100

⇕

𝑦 = −1𝑥 +

𝑡

100

Vi aflæser niveaulinjernes hældning til -1. Da -2 < -1 betegner punktet, der angiver det størst mulige samlede dækningsbidrag pr. uge. skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne:

𝑦 = 100

𝑦 = −2𝑥 + 150

Vi bestemmer skæringspunktet mellem to de ovenstående linjer ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑥 = 25;𝑦 = 100

Det størst mulige samlede dækningsbidrag pr. uge. opnås ved en produktion og salg af 25 enheder WOOD pr. uge og 100 enheder STEEL pr. uge.

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

12

Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 6A a)

Vi bestemmer størrelsen af vinkel A med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , c = 12 , a = 5

B C = 90°
B = 65,37568°
A = 24,62432°

c = 12
b = 10,90871
a = 5

Vinkel A findes vha. sinus.

𝐴 = sin^{−1} ()

𝑎 𝑐

= sin^{−1} ()

5

12

= 24,62432°

Vinkel A er bestemt til 24,52° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer arealet af trekant ABC med en sinusrelation:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · 𝑎𝑐 · sin ( 𝐵)

1

2

= · 5 · 12 · sin ( 180 − 90 + 24,62432)

1

2

≈ 27,27178

Arealet af trekant ABC er bestemt til 27,27 (afrundet til 2 decimaler).

C b A a c

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. August 2011

13

Opgave 6B a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔ 130000

𝑟 ≔ 0,03 𝑛 ≔ 10

Vi bestemmer den årlige ydelse:

𝑦 = 𝐴_{0} ·

𝑟

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

≈ 15239,97

Den årlige ydelse er bestemt til 15239,97 kr., vi har dermed gjort rede.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔ 130000

𝑟 ≔ 0,03 𝑦 ≔ 15239,97 𝑡 ≔ 8

Vi bestemmer restgælden umiddelbart efter den 8. ydelse:

𝑅_{𝑡} = 𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

𝑟

≈ 29161,18

Restgælden umiddelbart efter den 8. ydelse er bestemt til 29161,2 kr. (afrundet til 1 decimal).