HHX Matematik B 2016 25. maj - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

1

HHX Matematik B

25. maj 2016

Delprøven uden hjælpemidler

hhx161-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Vi har, at 𝑓 ( 𝑥) = −2𝑥 + 4

Det vil sige, at linjen har en hældning på −2 og skærer med 𝑦-aksen i 𝑦 = 4. Vi ser, at alle de viste linjer
skærer med 𝑦-aksen i 𝑦 = 4.

Vi ser så på hældningerne, og det ser ud til, at den rigtige linje er 𝐵. Vi beregner hældningen for 𝐵 vha.

punkterne (0,4) og (2,0)

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

0 − 4
2 − 0
= −2

Vi kan konkludere, at 𝐵 er grafen for 𝑓.

(𝐼):

Ovenstående vil være tilstrækkelig argumentation, men man kan også prøve sig frem:

Vi kan udelukke 𝐶, da denne har en positiv hældning.

Vi tjekker hældningen for 𝐴 vha. punkterne ( 0,4) og ( 4,0):

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
= −1

Vi kan altså udelukke 𝐴, da hældningen er −1.

Side 2

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

2

Opgave 2 a)

Vi har, at:

𝑓 ( 𝑥) = −𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 𝑥 + 2

Funktionen differentieres (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) = −3𝑥^{2} + 2 · 2𝑥 − 1
= −3𝑥^{2} + 4𝑥 − 1

Det vil sige, at:

𝑓^{′} ( 𝑥) = −3𝑥^{2} + 4𝑥 − 1

Vi bestemmer 𝑓′(2):

𝑓^{′} ( 2) = −3 · 2^{2} + 4 · 2 − 1
= −12 + 8 − 1
= −5

Det vil sige, at 𝑓^{′} ( 2) ≠ 0.

(𝐼):

Regneregler

( 𝑘 · 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘 · 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎 · 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1

Opgave 3 a)

Vi løser uligheden 𝑐 ( 𝑥) < 800.

−50𝑥 + 1800 < 800

Side 3

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

3

⇕

−50𝑥 < 800 − 1800

⇕

𝑥 > = 20

−1000
−50

Det vil sige, at 𝑐

( 𝑥

)

< 800 for 𝑥 > 20. 𝑥 er en diskret variabel (𝐼) (kan kun antage heltallige værdier), så

løsningen kan omskrives til 𝑐 ( 𝑥) < 800 for 𝑥 ≥ 21. 𝑥 = 21 svarer til år 2021, så salget af cigaretter pr.

indbygger når under 800 i år 2021.

(𝐼): 𝑥 skal være et helt tal, da det ikke giver mening at tale om, hvor mange cigaretter der blev købt i fx år

2012,3. I år 2020 bliver der (ifølge modellen) købt præcist 800 cigaretter pr. indbygger, så vi skal videre til år 2021, før tallet kommer under 800.

Opgave 4 a)

Der er tale om en eksponentiel forskrift.

Vi lader 𝑦 = 𝑓(𝑥) angive den samlede værdi af traktorerne i mio. kr., mens 𝑥 angiver antal år efter 2016.

𝑎 er fremskrivningsfaktoren og kan beregnes vha. vækstraten 𝑟 som:

𝑎 = 1 + 𝑟
= 1 + (−12%)
= 1 + (−0,12)
= 0,88

𝑏 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0, så:

𝑏 = 2,1

Vi får så:

𝑓 ( 𝑥) = 2,1 · 0,88^{𝑥}

Side 4

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

4

Opgave 5 a)

Medianen aflæses som den alder, der hører til en kumuleret frekvens på 50%. Vi konkluderer, at medianen er 40 år. Den andel af danskere, som er højst 30 år, aflæses som den kumulerede frekvens, der hører til en alder på 30 år. Vi konkluderer, at 40% af danskerne er højst 30 år.