HHX Matematik B 2016 15. december - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

1

HHX Matematik B

15. december 2016

hhx163-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

Median: Medianen er bestemt til ca. 36 år.

Fraktil 30 år: Andelen af mænd, der højest er 30 år, når de bliver gift, er aflæst til 25 %.

Opgave 2

𝑝 = 200 − 𝑞

1

5

Vi isolerer q:

𝑝 = 200 − 𝑞

1

5

⇕

𝑝 + 𝑞 = 200

1

5

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

3

⇕

1

5

𝑞 = 200 − 𝑝

⇕

𝑞 = ( 200 − 𝑝) 5

⇕

𝑞 = 1000 − 5𝑝

Vi bestemmer den afsatte mængde ved en pris på 100 kr. ved at indsætte p = 100 i udtrykket herover:

𝑞 = 1000 − 5 · 100 = 500

Den afsatte mængde er bestemt til 500 stk.

Opgave 3

𝑝 ( 𝑥) = 160 · 1,015^{𝑥}

Vi har, at modellen er en eksponentiel model.

Tallet 160 betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. prisen pr. kg vildlaks 0 måneder efter år 2015 ifølge

modellen er 160 kr.

Tallet 1,015 betegner fremskrivningsfaktoren a. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi beregne vækstraten r:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,015 − 1
= 0,015

Ifølge modellen vokser prisen pr. kg vildlaks med 1,5 % for hver måned efter år 2015.

Opgave 4

𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥 + 𝑏

𝑔 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 2

ℎ ( 𝑥) = −2𝑥 + 4

Vi har, at alle funktioner er forskrifter for en lineær funktion y = ax + b.

Grafen for B tilhører funktionen h da h er den eneste, der skærer y-aksen i (0, 4).

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

4

Grafen for C tilhører funktionen f, da funktionen f har en positiv hældning, og grafen for C er den eneste voksende graf tilbage.

Grafen for A tilhører funktionen g, dette indses ved udelukkelses metoden, det ses bl.a., at funktionen g’s

skæring med y-aksen i x = 0 passer med grafen A, samt at funktionen g’s hældning er variabel og derved kan

antage en negativ hældning med hensyn til grafen A.

Opgave 5

𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥^{4} − 5𝑥^{3} + 8𝑥 + 2

Vi bestemmer f’ ved at differentiere f(x):

𝑓 ( 𝑥)^{′} = ( 2𝑥^{4} − 5𝑥^{3} + 8𝑥 + 2)^{′} (𝐼)
= 8𝑥^{3} − 15𝑥^{2} + 8

Den afledede funktion f’ er bestemt til ovenstående udtryk.

Tangentens ligning er givet ved, hvor x

0 betegner førstekoordinaten til røringspunktet mellem tangenten og

grafen for f, dvs. x = 1:

0

𝑦_{𝑡} = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= ( 8 · 1^{3} − 15 · 1^{2} + 8) · ( 𝑥 − 1) + ( 2 · 1^{4} − 5 · 1^{3} + 8 · 1 + 2)
= ( 8 − 15 + 8) · ( 𝑥 − 1) + ( 2 − 5 + 8 + 2)
= 1 · ( 𝑥 − 1) + 7
= 𝑥 − 1 + 7
= 𝑥 + 6

Vi kan konkludere, at y = 2x + 3 ikke er en tangent i x = 1.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

5

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑘𝑥^{𝑎} 𝑘𝑎 · 𝑥

𝑎−1

𝑘𝑥 𝑘 𝑘 0

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

6

Delprøven med hjælpemidler

Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Linje 1: √ 4𝑥^{2} + 9 = 5

Ligningen er skrevet op.

Linje 2: 4𝑥^{2} + 9 = 25

Begge sider af ligningen opløftes til anden potens.

Linje 3: 4𝑥^{2} = 16

Der trækkes 9 fra på begge sider af ligningen.

Linje 4: 𝑥^{2} = 4

Der divideres med 4 på begge siderne af ligningen.

Linje 5: 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2

Kvadratroden tages på begge sider ligningen, og der findes to løsninger til ligningen.

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

7

Opgave 7 a)

Vi har, at grafen for den afledede funktion f’ betegner forløbet for tangentens hældning til grafen for f, dvs.

at nulpunkter til grafen for den afledede funktion f’ betegner ekstrema samt vendetangent til grafen for f.

Vi kan konkludere med ovenstående forklaring in mente, at grafen A er grafen for den afledede funktion f’, og grafen B er grafen for f.

Opgave 8 a)

Vi bestemmer de tre statistiske deskriptorer Gennemsnit, Median, og Standardafvigelse i Excel, vi benytter data fra filen elforbrug. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Følgende kommandoer er benyttet i Excel:

Gennemsnit: =MIDDEL(”MATRIX”)

Median: =MEDIAN(”MATRIX”)

Standardafvigelse: =STDAFV(”MATRIX”)

Statistiske deskriptorer | (kWh)
Gennemsnit | 4099,94
Median | 4158
Standardafvigelse | 824,4187

b)

Vi bestemmer en lineær regressionsmodel i Excel, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

8

Vi aflæser den lineære regressionsmodel fra diagrammet og opskriver modellen:

𝑦 = 22,021𝑥 + 1276,2

Regressionsmodellen er bestemt til ovenstående udtryk.

c)

Vi definerer regressionsmodellen som funktion af x:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 22,021𝑥 + 1276,2

Vi bestemmer størrelsen af et parcelhus med et årligt energiforbrug på 5000 kWh ved løse for x i f(x) = 5000:

𝑓 ( 𝑥) = 5000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 169,10222

Ifølge modellen er parcelhuset 169,1 m^{2} (afrundet til 1 decimal).

d)

Undersøgelsen viser, at det gennemsnitlige elforbrug for de 100 parcelhuse er ca. 4100 kWh om året

(afrundet til helt tal). Med standardafvigelsen (824,4 kWh) indses det, at det årlige elforbrug varierer en del, ligesom størrelsen på parcelhusene.

y = ax + b y = 22,021x + 1276,2
R² = 0,5436

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 250

Årligt energiforbrug kWh

Parcelhus størrelse m^2

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

9

Derudover har vi bestemt en model med en relativt lav forklaringsværdi (R^{2} = 0,5436). Modellen beskriver

sammenhængen mellem størrelsen af et parcelhus og det årlige elforbrug. Modellen viser, at det årlige

                                                        2
elforbrug i gennemsnit stiger med 22 kWh (afrundet til helt tal) pr. m .

                                                                            2
Vha. modellen, har vi undersøgt, at det kan forventes, at det årlige energiforbrug for et 169 m parcelhus er

5000 kWh.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 9 a)

Vi definerer forskriften for C samt definitionsmængden for x:

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,01𝑥^{3} − 0,4𝑥^{2} + 7𝑥 + 840

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 > 0

Vi bestemmer de samlede årlige omkostninger ved en produktion af 14000 stk. ved at bestemme C(14):

𝐶 ( 14) = 887,04

Ifølge modellen er de samlede årlige omkostninger ved en produktion af 14000 stk. bestemt til 887,0 (målt i

1000 kr.) (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi har at, VE er givet ved:

𝑉𝐸 ( 𝑥) =

𝐶 ( 𝑥) − 𝐶 ( 0)

𝑥

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑉𝐸 ( 𝑥) = 0,01 · 𝑥^{2} − 0,4 · 𝑥 + 7

En forskrift for VE er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi definerer forskriften for VE:

𝑉𝐸 ( 𝑥) ≔ 0,01 · 𝑥^{2} − 0,4 · 𝑥 + 7

Vi bestemmer produktionstørrelsen som minimerer VE ved at optimerer VE. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion VE’:

𝑉𝐸^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

10

𝑥 = 20

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑉𝐸^{′} ( 10) = −0,2

𝑉𝐸^{′} ( 30) ≈ 0,2

Vi kan konkludere, at x = 10 er et minimum.

En produktion på 20 (målt i 1000 stk.) minimere de variable enhedsomkostninger VE.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 10 a)

Vi konstruerer et skema som i opgaveformuleringen med en Pivot-tabel i Excel, vi benytter data fra filen skiferie. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Aldersgruppe

Land 18-39 år 40-49 år 50-59 år 60+ år Hovedtotal
Frankrig/Italien/Schweiz 12 8 4 5 29
Sverige/Norge 11 7 7 11 36
Ved ikke/Andet 5 6 10 5 26

Østrig 18 17 6 7 48

Hovedtotal 46 38 27 28 139 b)

Vi opstiller en nulhypotese: H

0

: Der er uafhængighed mellem alder og destination af skiferie.

Vi undersøger nulhypotesen på et 5 % signifikansniveau med en X^{2} -test, til dette benytter vi WordMats

skabelon for netop dette. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Resultat af test: χ²-test

P-værdi: | 12,53%

Der er ikke en sammenhæng

Signifikans niveau: | 5%
Frihedsgrader: | 9
Q-værdi: | 13,
Kritisk Q-værdi: | 16,9189776

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

11

Vi godtager nulhypotesen, da p-værdien på 12,53 % er større end signifikansniveauet på 5%. Med andre ord, er der på et 5 % signifikansniveau uafhængighed mellem destination af skiferie og alder.

c)

Vi bestemmer et estimat for andelen der tager til Østrig på skiferie:

𝑝̂ =

𝑆𝑘𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑒_{𝑖𝑎𝑙𝑡}
Ø𝑠𝑡𝑟𝑖𝑔_{𝑖𝑎𝑙𝑡}
=

48

139

≈ 0,34532374

Andelen, der tager til Østrig på skiferie, er estimeret til 34,53 % (afrundet til 2 decimaler).

Du kan bestemme et 95%-konfidensinterval med sandsynlighedslommeregneren i GeoGebra™. Vælg ”Z

interval for andel” (tidligere kendt som ”Z estimat på proportion”). Indtast Succeser = 48 og N = 139.

Konfidensintervallets grænser aflæses ved ”Nedre grænse” og ”Øvre grænse”.

Konfidensintervallet:

[ 0,2663; 0,4244]

Et 95%-konfidensintervalt for andelen der tager til Østrig på skiferie er bestemt til [0,27; 0,42].

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 11A a)

Vi bestemmer forskriften for det samlede dækningsbidrag.

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) = 22𝑥 + 35𝑦

Vi opstiller begrænsninger for polygonområdet.

Maling:

4500 ≥ 8𝑥 + 3𝑦

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −

8 · 𝑥 − 4500

3

⇕

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

12

𝑦 ≤ − 𝑥 −

8 4500

3 3

Samleproces:

3200 ≥ 4𝑥 + 6𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −

2 · 𝑥 − 1600

3

⇕

𝑦 ≤ − 𝑥 +

2 1600

3 3

Materialeforbrug:

500 ≥ 0,5𝑥 + 1𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 500 − 0,5 · 𝑥

Der må desuden selvfølgelig gælde: 𝑥 > 0 𝑦 > 0

Vi indtegner polygonområdet:

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

13

Du kan fx tegne polygonområdet i GeoGebra.

b)

Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt t, så vi kan aflæse hældningen for niveaukurverne:

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) = 𝑡

⇕

22𝑥 + 35𝑦 = 𝑡

⇕

35𝑦 = −22𝑥 + 𝑡

⇕

𝑦 = − 𝑥 + = −0,628𝑥 +

22 𝑡 𝑡

35 35 35

Vi aflæser niveaulinjernes hældning til -22/35. Da -2/3 < -0,628 < -0,5 er punktet, der betegner maksimum

for det størst mulige ugentlige dækningsbidrag, skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne:

𝑦 = 500 − 0,5 · 𝑥

𝑦 = − 𝑥 +

2 1600

3 3

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

14

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦 = 400 ∧ 𝑥 = 200

Det størst mulige samlede ugentlige dækningsbidrag opnås ved en produktion af 200 COOK og 400 BAKE.

Vi definerer forskriften for f(x, y):

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 22𝑥 + 35𝑦

Vi bestemmer dækningsbidraget ved at bestemme funktionsværdien f(200, 400):

𝑓 ( 200, 400) = 18400

Det størst mulige samlede dækningsbidrag er bestemt til 18400 kr.

Opgave 11B a)

Virksomheden proklamerer, at de har en leveringsikkerhed på 96,2 % dvs. de må have en leveringsusikkerhed på:

%𝑢𝑠𝑖𝑘𝑘𝑒𝑟ℎ𝑒𝑑 = 100% − 96,2%

≈ 3,8%

Vi bestemmer gennemsnittet af antallet af leverancer, der forventes at blive forsinkede:

𝐺𝑛𝑚_{𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙} = 132 ·

3,8

100

= 5,016

Ud af 132 leverancer forventes det i gennemsnit, at 5 leverancer er forsinkede (afrundet ned til hel leverance).

b)

Vi bestemmer sandsynligheden for, at højst 11 leverancer er forsinkede ud af 132, med WordMats skabelon for binomialfordeling:

Vi har en leveringsusikkerhed på 3,8 % dvs. vores basissandsynlighed bliver:

𝑝 = 0,038

Vi har 132 leverancer, dvs. antallet af ”forsøg” bliver:

𝑛 = 132

Side 15

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

15

Vi bestemmer P(X ≤ 11 ) med WordMats skabelon for binomialfordeling, resultatet kopieres ind i

besvarelsen:

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,038 P(X≤ 11)= 0,9953
n= 132 P( ≤X≤)=

µ = 5,016
σ = 2,1967

Ifølge fordelingen, er der en sandsynlighed på 99,5 % for, at højst 11 leverancer er forsinkede.

Opgave 11C a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐾_{𝑛} ≔ 15183,83

𝐾_{0} ≔ 12000

𝑛 ≔ 6

Vi bestemmer den årlige rentefod ved at løse for r i nedenstående udtryk:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = −2,04 ∨ 𝑟 = 0,04000002

Rentefoden er større end 0, og derfor er r = -2,04 ikke en løsning til opgaven.

Den årlige rentefod er 0,04, dvs. at renten er 4% pr. år.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi får oplyst, at 6 år efter at Kasper har arvet pengene, hæver han 3000 kr. Vi beregner den nye saldo:

15183,83 − 3000 = 12183,83

Saldoen på kontoen er derefter 12.183,83 kr.

Side 16

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15.december 2016

16

Renten ændres nu til 0,5% pr. måned. Det første år efter renteændringen sætter Kasper ingen penge ind på kontoen. Efter et år begynder han at indsætte 450 kr. pr. måned. Vi skal bestemme, hvor mange penge Kasper har stående på kontoen 10 år efter, at han arvede de 12.000 kr., dvs. 4 år efter renteændringen.

I første omgang ser vi på, hvor mange penge, der ville stå på kontoen, hvis Kasper ikke havde indbetalt penge, dvs. vi bestemmer beløbet på kontoen, hvis de 12.183,83 kr. havde stået på kontoen i yderligere 4 år (48 måneder) til en rente på 0,5% pr. måned. Vi definerer de kendte størrelser:

𝐾_{0} ≔ 12183,83

𝑟 ≔ 0,005 𝑛 ≔ 48

Vi bestemmer 𝐾_{𝑛}:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

≈ 15479,424

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Hvis Kasper ikke havde sat penge ind på kontoen, så ville der have stået 15.479,42 kr. på kontoen 10 år efter, at han arvede de 12.000 kr.

7 år efter at Kasper arvede pengene, begynder han at indbetale 450 kr. på kontoen hver måned. Da han sætter et fast beløb ind hver måned, så er der tale om en annuitetsopsparing. Vi definerer indbetalingen og rentefoden: 𝑦 ≔ 450 𝑟 ≔ 0,005

Kasper sætter penge ind på kontoen i 3 år. Han laver 37 indbetalinger, idet han også sætter penge ind den måned, hvor det er præcis 10 år siden, at arven blev sat ind på kontoen.

𝑛 ≔ 37

1Værdien af annuiteten efter 37 indbetalinger er:

𝐴_{𝑛} = 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

≈ 18239,7535

Det samlede beløb på kontoen er derfor

15479,424 + 18239,7535 = 33719,1775

10 år efter at Kasper arvede pengene står der 33.719,18 kr. på kontoen.