HHX Matematik B 2015 26. maj - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

1

HHX Matematik B

26. maj 2015

Delprøven med hjælpemidler hhx151-MAT-B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Udregninger foretaget ved hver af linjerne forklares herunder:

1) Formlen er skrevet op.

2) Følgende værdier er indsat: 𝑅_{𝑒} = 0,0512 og 𝑛 = 12

3) 1 er lagt til på begge sider og den tolvte rod af begge sider er taget.

4) 1 er trukket fra på begge sider, og højre side er udregnet.

5) Begge sider er ganget med 12. Højre side konverteres til procent og afrundes til 2 decimaler.

b)

Vi isolerer 𝑟 vha. WordMat:

𝑅_{𝑒} = (1 +) − 1

𝑟^{𝑛}

𝑛

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 𝑛 · ( 𝑅_{𝑒} + 1) − 𝑛

1 𝑛

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

2

Vi kan konkludere, at:

𝑟 = 𝑛 · ( 𝑅_{𝑒} + 1) − 𝑛

1 𝑛

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

3

Opgave 7 a)

Data kopieres ind i WordMats regneark til rå data, hvor de automatisk optælles. Herefter grupperes de i intervaller med en længde på 10.000, hvorefter der tegnes et histogram.

b)

De rå data kopieres til WordMats ark for ugrupperede observationer, som automatisk beregner en række deskriptorer:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre -349,5

Median 1344

Øvre 16751,5

Obs. Fraktil

Middeltal

7034,7803

Spredning

16236,3352

Vi kan nu konkludere, at:

𝐺𝑒𝑛𝑛𝑒𝑚𝑠𝑛𝑖𝑡 = 𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎𝑙 = 7034,78

𝐾𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑠æ𝑡 = (−349,5;1344;16751,5)

𝑆𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 = 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑛𝑔 = 16236,34

-000

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

4 c)

Fordelingen af dækningsbidragene for den først undersøgte periode ses i histogrammet ovenfor. Siden da er dækningsbidragene generelt steget, og der er samtidig kommet større spredning omkring middelværdien.

I første periode lå en fjerdedel af dækningsbidragene under -349,50 kr., mens hver fjerde dækningsbidrag nu er under -403 kr. Før lå halvdelen af dækningsbidragene under 1344 kr., mens halvdelen nu er under

1344 kr. Den øverste fjerdedel af dækningsbidragene lå tidligere over 16.751,50 kr., mens den nu er over

21.544 kr. Denne udvikling, hvor toppen vokser, mens bunden falder en smule, betyder samtidig, at dækningsbidragene ligger mere spredt, hvilket også ses af, spredningen omkring middelværdien er steget fra 16.236,34 kr. pr. ordre til 25.073 kr. pr. ordre. Middelværdien er desuden gået fra 7.034,78 kr. pr. ordre til 15.056 kr. pr. ordre.

-000

Observationer

Første periode

Et tern er 4%

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

5

Opgave 8 a)

Vi definerer kendte størrelser:

Rente: 𝑟 ≔ 0,0074

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 1250000
               0

Antal terminer: 𝑛 ≔ 30 · 4

Vi bestemmer nu ydelsen vha. formlen for nutidsværdi af en annuitet:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 15753,41

Studenten skal således betale en kvartårlig ydelse på 15.753,41 kr.

b)

Hvis der i den første periode ikke afdrages gæld, kan rentedelen for hver af terminerne i denne periode kan beregnes som:

𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑙 = 𝐴_{0} · 𝑟 = 9250

Den kvartårlige ydelse uden afdragsdel er således på 9250 kr.

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

6

Opgave 9 a)

Data optælles i en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det i opgaven angivne:

Aftenbillet Dagsbillet Ingen rabat Weekendbillet Total

Brobizz 17 77 378 179 651

Kontant/kort 18 60 560 111 749

Total 35 137 938 290 1400 b)

Vi opstiller en nulhypotese, som kan testes vha. en 𝜒^{2} -test:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem rabatform og betalingsform.

Tabellens data indsættes nu i WordMats 𝜒^{2} -regneark:

χ²-test

Observationer I alt

17 77 378 179 651

18 60 560 111 749

I alt 35 137 938 290 1400

P-værdi: 0,90% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,0000000390% < 5%, forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Vi kan således

konkludere, at der er en sammenhæng mellem rabatform og betalingsform.

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

7

Opgave 10 a)

Vi laver et 𝑥𝑦-plot af data i Excel og tilføjer en tendenslinje med tilhørende ligning:

Tendenslinjens ligning giver os følgende estimater (tallene defineres):

𝑎 ≔ −0,2968

𝑏 ≔ 498,74 b)

Omsætningen har følgende forskrift:

𝑂 = 𝑥 · 𝑝(𝑥)
= 𝑥 · (𝑎𝑥 + 𝑏)
= 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥

Det vil sige:

𝑂 ( 𝑥) = −0,2968 · 𝑥^{2} + 498,74· 𝑥

Denne forskrift er på den generelle form for andengradspolynomier, og grafen er således en parabel:

𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0

Da 𝑎 < 0 har parablen globalt maksimum i:

𝑥 = −

𝑏

2𝑎

≈ 840,1954

y = -0,2968x + 498,74
R² = 0,9998

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 1600

Salgspris i kr. pr. kg

Afsætning i kg

Lineær model

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

8

Den afsætning, der giver størst omsætning er altså 840,2 kg.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

9

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 11A a)

Konstanterne 𝑎 og 𝑏 angiver funktionstilvæksten for en stigning på 1 af hhv. 𝑥 og 𝑦. Vi angiver nu dækningsbidragene i tusinde kroner og definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) ≔ 2𝑥 + 1,5𝑦

b)

Produktionen er underlagt følgende begrænsninger:

Samling:

1 · 𝑥 + 2 · 𝑦 ≤ 1000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −

𝑥 − 1000

2

Kalibrering:

0,4 · 𝑥 + 0,2 · 𝑦 ≤ 190

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 950 − 2 · 𝑥

Test:

0,25 · 𝑥 + 0,25 · 𝑦 ≤ 150

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 600,0 − 𝑥

Desuden må der gælde, at: 𝑥 > 0 𝑦 > 0

Vha. ovenstående begrænsninger kan kapacitetsområdet nu indtegnes:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

10

Hjørnepunkternes koordinater er A(200,400), B(0,500), C(350,250), D(475,0) og E(0,0).

Du kan fx tegne polygonområdet i GeoGebra™. Hjørnepunkternes koordinater kan bestemmes vha.

skæringsværktøjet i GeoGebra.

Funktionens maksimum findes i et hjørnepunkt af polygonområdet. Vi beregner nu funktionsværdierne i de fem hjørnepunkter:

𝑓 ( 200;400) = 1000

𝑓 ( 0;500) = 750

𝑓 ( 350;250) = 1075

𝑓 ( 475;0) = 950

𝑓 ( 0;0) = 0

Vi konkluderer nu, at det største dækningsbidrag opnås ved 𝑥 = 350 og 𝑦 = 250. Virksomheden skal

således producere og sælge 350 DRAIN og 250 AWAY pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

11

Opgave 11B a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥 − 2 · ln ( 𝑥), 𝑥 > 0
√

I ekstremumspunktet er tangenten til grafen vandret. Ekstremum findes da ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 16

Vi bestemmer nu andenkoordinaten: 𝑓 ( 16) ≈ −1,545177

Ekstremumspunktet har således koordinatsættet (16;−1,545).

Punktet indtegnes i WordMat sammen med grafen for 𝑓: b)

En tangent er en ret linje, og kan således beskrives ved ligningen:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Hvor 𝑏 angiver skæringen med 𝑦-aksen, mens 𝑎 er hældningskoefficienten.

                                                                          3
                                                                 ′
For tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ), gælder at 𝑎 = 𝑓 ( 𝑥 ) = −
                                            0    0                  0
                                                                          2

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

12

Vi bestemmer nu tangentens røringspunkt: Førstekoordinaten findes ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) = −

3

2

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥_{0} = 1

Andenkoordinaten bliver så:

𝑓 ( 1) = 1

Vi indsætter nu hældningen samt røringspunktets koordinater i tangentens ligning og løser mht. 𝑏:

1 = − · 1 + 𝑏

3

2

⇕ Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏 =

5

2

                                                                  5
Tangentens skæringspunkt med 𝑦-aksen er således givet ved koordinatsættet: (0, ).
                                                                  2

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

13

Opgave 11C a)

Antallet af forsinkede leverancer (succeser) er binomialfordelt med 𝑛 = 60 og 𝑝 = 0,15. Dvs.
𝑋~𝑏(60;0,15) Vi søger nu 𝑃(𝑋 ≤ 9) vha. WordMats regneark til binomialfordeling. Vi får da:

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,15 P(X≤ 9)= 0,5877
n= 60 P( ≤X≤)=

Vi aflæser, at:

𝑃 ( 𝑥 ≤ 9) = 0,5877

Sandsynligheden for at få højst 9 forsinkede leverancer er således 58,77%.

b)

Du kan bestemme et 95%-konfidensinterval for andelen af forsinkede leverancer med

sandsynlighedslommeregneren i GeoGebra. Indtast Succeser = 12 (antallet af forsinkede leverancer) og N =

85. Konfidensintervallets grænser aflæses ud for ”Nedre grænse” og ”Øvre grænse”.

Intervallet:

[0,067;0,215]

Vi ser, at: 𝑝_{𝑓ø𝑟} = 0,15, mens 𝑝̅_{𝑛𝑢} = 0,1412. Det ser umiddelbart ud til, at andelen af fejlleverancer er

faldet. Vi vil nu undersøge, om dette fald er statistisk signifikant. Hvis dette er tilfældet, skal 𝑝 ligge til
                                                                            𝑓ø𝑟

venstre for konfidensintervallet for 𝑝
                              𝑛𝑢

. Dette efterlader en sandsynlighed på under 2,5% for, at

𝑝_{𝑓ø𝑟} = 𝑝_{𝑛𝑢}. Vi ser dog, at 𝑝_{𝑓ø𝑟} ligger inden for konfidensintervallet, og vi kan derfor på et 2,5%

signifikansniveau ikke afvise, at andelen af forsinkede leverancer er uændret efter ansættelsen af den nye logistikchef.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

P(X=r)

r

Binomialfordeling