HHX Matematik B 2015 15. december - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

1

HHX Matematik B

15. december 2015

Delprøven med hjælpemidler

hhx153-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Forklaringer er givet til hver af linjerne

1) Ligningen er skrevet op.

2) Nulreglen er anvendt (𝑎 · 𝑏 = 0 ⇔ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0)

3) Venstre ligning: 9 er trukket fra på begge sider, hvorefter begge sider er divideret med 2.

Højre ligning: 9 er lagt til på begge sider.

4) Højre ligning: Den naturlige logaritme er taget på begge sider. Her anvendes, at:

ln(𝑒^{𝑥}) = 𝑥 · ln ( 𝑒) = 𝑥 · 1 = 𝑥

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

2

Opgave 7 a)

Kendte størrelser defineres:

Månedlig indbetaling (ydelse): 𝑦 ≔ 2000

Månedlig rente: 𝑟 ≔ 0,0078

Antal ydelser: 𝑛 ≔ 10

Det opsparede beløb kan nu bestemmes vha. annuitetsformlen:

𝐴_{𝑛} = 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

≈ 20716,8

Det opsparede beløb på kontoen umiddelbart efter indbetaling nr. 10 er således 20.716,80 kr.

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

3

Opgave 8 a)

Data kopieres ind i WordMats regneark til statistik. Her foretages en optælling, hvorefter der tegnes et histogram med en intervallængde på 1000 (enheden antages at være kroner): b)

Der beregnes nu en række deskriptorer vha. WordMat:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre 8139,5

Median 11409

Øvre 14065

Obs. Fraktil

Middeltal

11380,48

Spredning

4138,667

Estimaterne for middelværdi (middeltal) og spredning kan nu aflæses:

Middelværdi: 11380

Spredning: 4139

000

Omsætning i 1000 kr.

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

4

Du kan bestemme et 95%-konfidensinterval vha. sandsynlighedslommeregneren i GeoGebra™. Vælg “T

estimat af middel” (da både spredning og middelværdi er estimater), og indtast Middel = 11380, s = 4139
og N = 89. Konfidensintervallets grænser aflæses ved ”Nedre grænse” og ”Øvre grænse”.

95%-konfidensintervallet for middelværdien:

[10508,12252] c)

Omsætningen 𝑋 i kroner er normalfordelt som 𝑋~𝑁(11380,4100).

Sandsynligheden 𝑃(9500 ≤ 𝑋 ≤ 13250) kan bestemmes som arealet under grafen for frekvensfunktionen

i intervallet [9500,13250]. Dette areal kan bestemmes i WordMat:

Normalfordeling

Middelværdi: 11380

Spredning: 4100

Grafvindue

X X min maks

0 10

Areal under frekvensfuntion

X X min maks

9500 13250 35,3%

Sandsynligheden for, at koncertstedet en tilfældigt udvalgt dag har en omsætning på mellem 9500 kr. og

13250 kr. er således 35,3%.

d)

Fordelingen af omsætning over de 89 udvalgte dage er som på histogrammet herunder:

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

5

Den gennemsnitlige omsætning over de 89 dage var på 11380 kr., og med udgangspunkt i, at omsætningen er normalfordelt med god tilnærmelse, kan vi ud fra data over de 89 dage generalisere og sige, at den gennemsnitlige omsætning med 95% sandsynlighed ligger mellem 10.508 kr. og 12.252 kr.

På cirka 35% af alle dage vil omsætningen ligge mellem 9.500 kr. og 13.250 kr.

000

Omsætning i 1000 kr.

Histogram

Et tern er 4%

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

6

Opgave 9 a)

Omkostningsfunktionen defineres:

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,025𝑥^{3} − 2,5𝑥^{2} + 100𝑥 + 1000

Funktionen differentieres:

𝐶^{′} ( 𝑥) = 0,075 · 𝑥^{2} − 5 · 𝑥 + 100

Funktionen for grænseomkostninger har således forskriften:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) ≔ 0,075𝑥^{2} − 5𝑥 + 100

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑥 ≤ 100

b)

Stationære punkter bestemmes ved at løse:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 33,33333

Der er kun et stationært punkt i definitionsmængden, hvorfor dette må være det lokale minimum, der ses på grafen i opgaveteksten. Af samme årsag må dette lokale minimum desuden være globalt minimum.

Da 𝑥 kun kan antage heltallige værdier (𝑥 er en diskret variabel), og grafen er en parabel med symmetri

omkring toppunktet, vil den mindst mulige funktionsværdi findes ved nedrunding til 𝑥 = 33

Den produktion, som giver de mindste grænseomkostninger er således 33 stk.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

7

Opgave 10 a) 𝑎 angiver funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1, mens 𝑏 angiver funktionstilvæksten, når 𝑦 vokser med

1. Vi lader 𝑥 angive antallet af leveringer til Aalborg, mens 𝑦 angiver antallet af leveringer til København. 𝑓 angiver det samlede dækningsbidrag i 1000 kr.

Forskriften bliver da (funktionen defineres):

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 45𝑥 + 25𝑦

b)

Fælgende begrænsninger afgrænser sammen kapacitetsområdet for kriteriefunktionen 𝑓:

Pakning og læsning:

3𝑥 + 3𝑦 ≤ 90

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 30 − 𝑥

Papirarbejde:

0,9𝑥 + 0,3𝑦 ≤ 15

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 50,0 − 3 · 𝑥

Transporttid:

4𝑥 + 1,5𝑦 ≤ 80

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 53,33333333333333 − 2,666666666666667 · 𝑥

Desuden må der selvfølgelig gælde, at:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Kapacitetsområdet indtegnes nu:

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

8

Hjørnepunkternes koordinater er A(0;30), B(10;20), C(16,67;0) og D(0;0).

Du kan fx tegne kapacitetsområdet i GeoGebra. Du kan bestemme hjørnepunkternes koordinater i GeoGebra med skæringsværktøjet.

Den største funktionsværdi skal findes i et af det polygonformede kapacitetsområdes hjørnepunkter. Vi undersøger de mulige værdier:

𝑓 ( 0; 30) = 750

𝑓 ( 10; 20) = 950

𝑓 ( 16,67; 0) ≈ 750,15

𝑓 ( 0; 0) = 0

Det størst mulige dækningsbidrag opnås således ved 10 ugentlige leveringer til Aalborg og 20 ugentlige leveringer til København.

c)

I alt er der 80 timer til rådighed til transport. Den anvendte transporttid kan beregnes som:

𝑡 = 4𝑥 + 1,5𝑦
= 4 · 10 + 1,5 · 20

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

9

= 70

Der er således 10 timer til rådighed til transport, som ikke anvendes.

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

10

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 11A a)

Data optælles vha. en pivottabel i Excel og opstilles i et skema som det angivne: kvinde mand Total dagligvarer 38 32 70

elektronik | 38 | 83 | 121
handler ikke på internettet | 90 | 66 | 156
møbler og husholdningsartikler | 82 | 84 | 166

rejser | 126 | 124 | 250
tøj, sport og fritid | 124 | 110 | 234
Total | 498 | 499 | 997

b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen forskel på, hvad mænd og kvinder køber på nettet.

Hypotesen testes i WordMat vha. tabellens data i en 𝜒^{2} -uafhængighedstest på et 5%-signifikansniveau:

χ²-test

Observationer I alt

38 | 32

70

38 | 83

121

90 | 66

156

82 | 84

166

126 124

250

124 110

234

I alt 498 499 997

P-værdi: 0,06% sammenhæng

Der er en

Signifikans niveau: 5%

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

11

Da 𝑝 = 0,06% < 5%, forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der er således forskel på, hvad

mænd og kvinder køber på nettet.

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

12

Opgave 11B a)

Funktionen defineres:

𝑔 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{2} + 2 · 𝑒^{𝑥}

Røringspunktets førstekoordinat defineres:

𝑥_{0} ≔ 0

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑔 i et punkt (𝑥 , 𝑔 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes som:
                                                    0    0

𝑦 = 𝑔^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑔 ( 𝑥_{0}) = 2 · 𝑥 + 2

Det vil sige, at tangenten 𝑡 kan beskrives ved ligningen: 𝑡: 2𝑥 + 2.

b)

Røringspunktets andenkoordinat bestemmes, hvorefter røringspunktet samt graferne for 𝑔 og 𝑡 indtegnes i samme koordinatsystem:

𝑔 ( 0) = 2

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

13

Opgave 11C a)

Tabellens data kopieres ind i Word, og der foretages lineær regression vha. WordMat

År efter Procentdel fossil

2000 energi

0 | 96,7
1 | 90,9
2 | 88,3
3 | 88,3

4 88

5 | 89,7
6 | 85,5
7 | 82,2
8 | 86,7
9 | 82,1

10 | 80,3
11 | 79,7
12 | 78,3
13 | 74,9
14 | 70,6

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,897287

𝑦 = −1,429286𝑥 + 94,15167

Vi kan nu aflæse regressionsligningen og opstille en model (funktionen defineres):

𝐸 ( 𝑡) ≔ −1,429𝑥 + 94,15

b)

Tallet 𝑎 = −1,429 angiver, at andelen af fossil energi falder med -1,429 procentpoint om året.

Tallet 𝑏 = 94,15 angiver, at andelen af fossil energi i år 2000 var på 94,15%. Dette er dog en smule ved

                                                                                2
siden af den korrekte værdi på 96,7%. Afvigelsen skyldes, at modellen kun har en forklaringsgrad, R , på

89,7%.

Vi løser nu:

𝐸 ( 𝑡) < 60

⇕ Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

14 𝑥 > 23,89783

Ifølge modellen vil andelen af fossil energi nå under 60% hen mod slutningen af år 2023. Forudsigelsen er dog højst usikker dels på grund af den lave forklaringsgrad og dels fordi vi ikke ved, om den lineære sammenhæng vil fortsætte.