HHX Matematik B 2014 23. maj - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

1

HHX Matematik B

23. maj 2014

Delprøven med hjælpemidler

hhx141-MAT/B-230514

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Ligningen løses vha. WordMat:

4 · 𝑎· 𝑥^{−2} = 1

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2 · 𝑎 ∨ 𝑥 = 2 · 𝑎
√ √

Vi kan heraf konkludere, at 𝑥 = 2 · 𝑎 er en løsning til ligningen.
√

b)

Forklaringer til hver linje er givet herunder:

1) Ligningen er skrevet op.

2) 10𝑥 er trukket fra på begge sider.

3) 𝑥 er sat udenfor en parentes

4) Nulreglen (𝑎 · 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎 = 0 ⋁ 𝑏 = 0) anvendes.

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

2

5) Den ene løsning er 𝑥 = 0. Den anden løsning findes ved at lægge 10 til på begge sider og derefter
tage den naturlige logaritme af begge sider. Derpå udregnes og afrundes værdien af 𝑥 = ln (10).

(𝐼)

( 𝐼): Nedenstående forklaring er kun en hjælp til forståelsen og således ikke nødvendig i en eksamensbesvarelse. Følgende trin udføres for at nå punkt 5:

𝑒^{𝑥} − 10 = 0

⇕

𝑒^{𝑥} = 10

⇕

ln ( 𝑒^{𝑥}) = ln ( 10)

⇕ I dette trin anvendes en generel logaritmeregel på venstre side

𝑥 · ln ( 𝑒) = ln ( 10)
⇕ ln ( 𝑒) = 1
𝑥 = ln ( 10)

≈ 2,302585

≈ 2,30

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

3

Opgave 7 a)

Udbudspriserne omregnes til mio. kr. og kopieres ind i WordMats regneark til rå data, hvorefter et histogram med intervallængden 0,1 mio. tegnes: b)

En række deskriptorer beregnes nu i WordMats ark til ugrupperede observationer:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre 1,14

Median 1,53

Øvre 2

Obs. Fraktil

Middeltal

1,62

Spredning

0,68

Fordelingen af udbudspris kan (bl.a.) beskrives ved følgende tre deskriptorer (enheden er mio. kr.):

Kvartilsæt: (1,14;1,53;2)

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5

Udbudspriser i mio. kr.

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

4

Gennemsnit (middeltal): 1,62

Standardafvigelse (spredning): 0,68 c)

Et XY-plot med tendenslinje foretages i Excel:

Tendenslinjens ligning aflæses, og vi opskriver vores regressionsmodel, som har forklaringsgraden

R^{2} =56,77%:

𝑈 ( 𝑥) = 14395 · 𝑥 + 270512

d)

En undersøgelse af data fra 100 fritidshuse til salg på Rømø i år 2013 har vist, at udbudspriserne er fordelt som vist på følgende histogram:

y = 14395x + 270512
R² = 0,5677

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

0 200 250

Pris i kroner

Størrelse i kvadratmeter

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

5

Undersøgelsen viste desuden, at gennemsnitprisen er 1,62 mio. kr. Som det fremgår af histogrammet er der dog en vis variation i huspriserne. Den billigste fjerdedel af husene koster under 1,14 mio. kr., mens den dyreste fjerdedel koster mere end 2 mio. kr. Der er lige mange huse, som koster under og over 1,53 mio. kr.

Cirka 57 procent af variationen i udbudspriser kan forklares ved følgende sammenhæng: En grund koster ca. 270 tusinde kroner, hvortil man skal lægge ca. 14.500 kroner for hver kvadratmeter bolig.

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5

Udbudspriser i mio. kr.

Histogram

Et tern er 4%

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

6

Opgave 8 a)

Vi anvender, at:

𝑈𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑔æ𝑙𝑑 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑔æ𝑙𝑑 − 𝑎𝑓𝑑𝑟𝑎𝑔

𝑅𝑒𝑛𝑡𝑒𝑏𝑒𝑙ø𝑏 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑔æ𝑙𝑑 · 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐴𝑓𝑑𝑟𝑎𝑔 = 𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒− 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑏𝑒𝑙ø𝑏

Vi laver en tabel i Excel som den angivne (𝐼):

Termin Primo Ydelse Rentebeløb Afdrag Ultimo restgæld restgæld

1 40000,00 1173,00 832,00 341,00 39659,00

2 39659,00 1173,00 824,91 348,09 39310,91

Vi konkluderer således, at:

I første termin rentebeløbet 832 kr., mens afdraget er 341 kr.

Ultimo restgæld efter 2. termin er 39.310,91 kr.

( 𝐼): I Excel er formlerne indtastet på følgende måde:

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

7

Opgave 9 a)

Funktionerne for hhv. omsætning og omkostninger defineres:

𝑅 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{2} + 30𝑥

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,04𝑥^{3} − 1,2𝑥^{2} + 20𝑥 + 50

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0 ≤ 𝑥 ≤ 30

Overskuddet kan nu findes vha. WordMat som omsætningen minus omkostningerne:

𝑃 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥) = −0,04𝑥^{3} + 0,2𝑥^{2} + 10𝑥− 50

Funktionen defineres:

𝑃 ( 𝑥) ≔ −0,04𝑥^{3} + 0,2𝑥^{2} + 10𝑥 − 50

Overskuddet bestemmes:

𝑃 ( 12) ≈ 29,68

Overskuddet ved en afsætning på 12 ton er således 29,68 mio. kr.

b)

Stationære punkter bestemmes ved at løse:

𝑃^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 10,94627

Fortegnet for 𝑃′ undersøges nu på begge sider af nulpunktet:

𝑃^{′} ( 10) = 2

𝑃^{′} ( 11) ≈ −0,12

Da funktionen går fra at være voksende (𝑓^{′} > 0) til at være aftagende (𝑓^{′} < 0), er der tale om et lokalt

maksimum. Da punktet er det eneste ekstremum i definitionsmængden, er der desuden tale om et globalt maksimum. Den afsætning, som giver maksimalt overskud er altså omkring 10,95 tons

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

8

Opgave 10 a)

Data fra undersøgelsen optælles vha. en pivottabel i WordMat og opskrives i et skema som det i opgaven angivne:

Hovedstadsområdet Nordjylland Sjælland Total

Ja 323 105 631 1059

Nej 110 19 302 431

Total 433 124 933 1490 b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem brugernes svar på spørgsmålet og den landsdel, de kommer fra.

                                               2
Hypotesen kan testes på et 5%-signifikansniveau vha. en 𝜒

-uafhængighedstest. Dette gøres i WordMat med følgende resultat: χ²-test

Observationer I alt

323 105 631 1059

110 19 302 431

I alt 433 124 933 1490

P-værdi: 0,01% sammenhæng

Der er en

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,01% < 5%, forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau.

På et 5%-signifikansniveau kan vi således konkludere, at der er en sammenhæng mellem brugernes svar på spørgsmålet og den landsdel, de kommer fra.

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

9

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 11A a)

Sandsynligheden kan bestemmes som arealet under grafen for normalfordelingens frekvensfunktion i

intervallet ] − ∞,10]. Dette bestemmes i WordMat:

Normalfordeling

Middelværdi: 10,75

Spredning: 1

Grafvindue

X_{min} X_{maks}

5,75 15,75

Areal under frekvensfuntion

X_{min} X_{maks}

10 23%

Sandsynligheden aflæses til 𝑝 = 23%.

b)

Et 95%-konfidensinterval for middelværdien 𝜇 bestemmes i GeoGebras sandsynlighedslommeregner vha.

de opgivne oplysninger (vi anvender et T-estimat, da vi kun har et estimat af

spredningen/standardafvigelsen):

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

10

Intervallet aflæses (nedre/øvre grænse) og opskrives:

[10,70;11,02]

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

11

Opgave 11B a) f defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = −0,05𝑥^{3} + 𝑥^{2} − 6

For at undersøge monotoniforholdene for 𝑓 bestemmes først nulpunkter for 𝑓ʼ. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 =

40

3

Vi udregner nu fortegnet for f’ for passende værdier af 𝑥:

𝑓^{′} ( −1) = −2,15

𝑓^{′} ( 1) = 1,85

𝑓^{′} () ≈ −0,6833333

41

3

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:

𝑥 0 40/3
𝑓^{′} ( 𝑥) - 0 + 0 -

𝑓 ( 𝑥) ↘ ↗ ↘

Vi kan dermed konkludere:

                        40
f er voksende i intervallet [0, ]
                        3

f er aftagende i intervallerne ] − ∞,0] og [^{40}_{3},∞[

b)

For at finde de punkter, hvor tangenthældningen er 5, løser vi ligningen:

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

12

𝑓^{′} ( 𝑥) = 5

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3,333333 ∨ 𝑥 = 10

Et røringspunkt er derfor:

𝑃(10,𝑓 ( 10))

Hvor: 𝑓 ( 10) = 44

Vi kan således konkludere, at røringspunktet til den ene tangent har koordinatsættet 𝑃(10,44)

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

13

Opgave 11C a) 𝑎 angiver funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1, mens 𝑏 angiver funktionstilvæksten, når 𝑦 vokser med 1.

Funktionsforskriften for det samlede dækningsbidrag i kroner bliver da (funktionen defineres):

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 800 · 𝑥+ 140 · 𝑦

b)

Ulighederne opskrives og omskrives evt. (så én variabel er isoleret):

80𝑥 + 60𝑦 ≤ 12000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −

4 · 𝑥− 600

3

140000𝑥 + 15000𝑦 ≤ 12000000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −

28 · 𝑥− 2400

3

En yderligere ulighed må være opfyldt (da der ikke kan være negative pladser til campingvogne):

𝑦 ≥ 0

Ulighederne afgrænser sammen et polygonformet kapacitetsområde, som tegnes i GeoGebra.

Polygonområdets hjørnepunkter bestemmes vha. skæringsværktøjet i GeoGebra:

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

14

Funktionsværdien (og dermed dækningsbidraget) vil antage sin største værdi i et af polygonområdets hjørnepunkter. Hjørnepunkternes koordinater aflæses, og funktionsværdien undersøges i hvert af hjørnepunkterne:

𝑓 ( 20;173,33) = 40266,2

𝑓 ( 75;100) = 74000

𝑓 ( 85,71;0) = 68568

𝑓 ( 20;0) = 16000

Vi kan nu konkludere, at 𝑓 antager sin største værdi i 𝐵(75,100). Der skal således anlægges 75 campinghytter og 100 pladser til campingvogne, for at det samlede daglige dækningsbidrag bliver størst muligt.