HHX Matematik B 2014 15. december - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

1

HHX Matematik B

15. december 2014

Delprøven med hjælpemidler hhx143-MAT-B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Forklaringer er givet til hver af linjerne (𝐼):

1) Formlen er skrevet op.

2) Kendte værdier er indsat.

3) Begge sider er ganget med^{0,004}_{2500}.
4) Udtrykket 1,004^{−𝑛} er isoleret, og den naturlige logaritme er taget på begge sider. Derefter er 𝑛

isoleret.

5) Værdien af højre side er udregnet og afrundet.

(𝐼):

Beregningerne foretages og forklares mere dybdegående herunder af hensyn til forståelsen. Forklaringer med en detaljeringsgrad som i besvarelsen ovenfor er tilstrækkeligt til eksamen. Når et skridt i beregningerne passer med en af linjerne, indsættes et nummer fra 1-5:

Formlen er skrevet op:

𝐴_{0} = 𝑦 · (1)

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

2

Vi indsætter nu, at 𝐴_{0} = 200000, 𝑟 = 0,004 og 𝑦 = 2500:

200000 = 2500 ·

1 − ( 1 + 0,004)^{−𝑛}

0,004

⇕

200000 = 2500 · (2)

1 − 1,004^{−𝑛}

0,004

⇕ Vi ganger med^{0,004}_{2500}

200000 · = 1 − 1,004^{−𝑛}

0,004

2500

⇕ Beregninger udføres

0,32 = 1 − 1,004^{−𝑛} (3)

⇕ Vi adderer udtrykket: 1,004^{−𝑛} − 0,32. Derpå tages den naturlige logaritme

ln ( 1,004^{−𝑛}) = ln (1 − 0,32)

⇕ Vi anvender, at ln ( 𝑎^{𝑛}) = 𝑛 · ln (𝑎)

−𝑛 · ln ( 1,004) = ln (0,68)

⇕ Vi dividerer med −ln (1,004)

𝑛 = −

ln (0,68) ln (1,004)

⇕ Beregningen udføres og resultatet afrundes:

𝑛 = 96,6

b) 𝑛 isoleres vha. WordMat:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = −

ln()

𝑦 − 𝑟 · 𝐴_{0}

𝑦

ln ( 𝑟 + 1)

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

3

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

4

Opgave 7 a)

Data fra filen avis optælles vha. en pivottabel i Excel og opstilles i et skema som det i opgaven angivne:

Indland Lokal Sport Udland Total

By | 47 | 39 | 38 | 40 | 164
Forstad | 37 | 35 | 21 | 10 | 103
Provins | 59 | 35 | 36 | 24 | 154

Total 143 109 95 74 421 b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem de to variable ’bopæl’ og ’først læste sektion’.

                                                                                  2
Hypotesen testes på et 5% signifikansniveau ved at indsætte tabellens data i WordMats regneark til 𝜒 -

test: χ²-test

Observationer I alt

47 | 39 | 38 | 40 | 164
37 | 35 | 21 | 10 | 103
59 | 35 | 36 | 24 | 154

I alt 143 109 95 74 421

P-værdi: 2,54% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 2,54% < 5%, forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. På et 5% signifikansniveau kan vi

således konkludere, at der er en sammenhæng mellem, hvor man bor, og hvilken sektion af avisen man læser først.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

5

Opgave 8 a)

Månedslønningerne kopieres ind i WordMats regneark til rå data, hvorefter de optælles og repræsenteres ved et histogram med intervallængder på 10.000 kr.: b)

Data kopieres nu til WordMats ark for ugrupperede observationer, hvorefter vi får en række deskriptorer.

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 29450
Median | 36600
Øvre | 45400

Obs. Fraktil

52300 90%

Middeltal

37582

Spredning

10407,4

Vi kan således konkludere, at:

Middelværdien er 37.852 kr.

90%-fraktilen er 52.300 kr.

Medianen er 36.600 kr.

0

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

6 c)

                                                             2
Et xy-plot foretages i Excel, hvorefter en tendenslinje med forklaringsgrad R tilføjes:

Vi aflæser og afrunder ligningen for tendenslinjen og har nu en lineær regressionsmodel:

𝑀 ( 𝑥) = 1774 · 𝑥 + 21385

𝑥 angiver anciennitet i år

𝑀 angiver månedsløn i kr.

d)

I en stikprøve på 245 ansatte kan vi se, at den gennemsnitlige månedsløn er på 37.852 kr. Halvdelen af de ansatte tjener mere end 36.600 kr., og 10% af de ansatte tjener mere end 52.300 kr. En generel model er fundet for sammenhængen mellem anciennitet og månedsløn: startlønnen er omkring 21.400 kr. og lønnen stiger herefter ca. med 1800 kr. om året. Denne model forklarer 85% af variationen i månedsløn.

y = 1774,7x + 21385
70000 R² = 0,8511

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

80000

25 30

Månedsløn i kr.

Anciennitet i år

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

7

Opgave 9 a)

Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑝 ( 𝑥) = −0,8𝑥 + 110 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 130

Vi løser nu:

𝑝 ( 𝑥) = 55

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 68,75

Ved en salgspris på 55 kr. er den daglige afsætning på ca. 69 stk.

b)

Funktionerne defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑅 ( 𝑥) = −0,8𝑥^{2} + 110𝑥 ,𝐶 ( 𝑥) = 0,032𝑥^{3} − 3𝑥^{2} + 95𝑥 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 130

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

8

Forskriften bestemmes som:

𝐷𝐵 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)
= −0,032 · 𝑥^{3} + 2,2 · 𝑥^{2} + 15 · 𝑥

Vi kan således konkludere, at:

𝐷𝐵 ( 𝑥) ≔ −0,032𝑥^{3} + 2,2𝑥^{2} + 15𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0 ≤ 𝑥 ≤ 130

Vi løser nu:

𝐷𝐵(𝑥) > 0

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

( 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 < 75)

Dvs. at dækningsbidraget er positivt for: 𝑥 ∈]0,75[ c)

Stationære punkter søges ved at løse:

𝐷𝐵^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 49,02076

Vi undersøger nu fortegnet for 𝐷𝐵′ på begge sider af nulpunktet:

𝐷𝐵^{′} ( 48) ≈ 5,016

𝐷𝐵^{′} ( 50) ≈ −5

Da funktionen går fra at være voksende (𝐷𝐵^{′} > 0) til at være aftagende (𝐷𝐵^{′} < 0), er der tale om et lokalt

maksimum. Da der ikke er andre ekstrema i definitionsmængden, må det også være et globalt maksimum.

Vi bestemmer nu maksimumsværdien:

𝐷𝐵 ( 49,02076) ≈ 2252,433

Det størst mulige dækningsbidrag er således 2252,43 kr.

Salgsprisen, som skal fastsættes for at opnå dette, bestemmes som: 𝑝 ( 49,02076) ≈ 70,78339

Salgsprisen skal således fastsættes til 70,78 kr. for at opnå det størst mulige dækningsbidrag.

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

9

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 10A a) 𝑎 angiver funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. 𝑏 angiver funktionstilvæksten, når 𝑦 vokser med 1. Det samlede årlige dækningsbidrag i kr. kan altså bestemmes ved (funktionen defineres):

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 320 · 𝑥 + 205 · 𝑦

b)

Produktionen er underlagt en række begrænsninger:

0,25𝑥 + 0,5𝑦 ≤ 1200

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 2400,0 − 0,5 · 𝑥

Og

4𝑥 + 3𝑦 ≤ 9000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −

4 · 𝑥 − 9000

3

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Begrænsningerne giver et polygonformet kapacitetsområde, som skitseres i GeoGebra i WordMat.

Hjørnepunkter findes vha. GeoGebras skæringsværktøj:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

10

Den største funktionsværdi (og dermed dækningsbidrag) findes i et af hjørnepunkterne. Vi afløser hjørnepunkterne og undersøger funktionsværdien i disse:

𝑓 ( 0;2400) = 492000

𝑓 ( 0;0) = 0

𝑓 ( 2250;0) = 720000

𝑓 ( 720;2040) = 648600

Det største dækningsbidrag opnås således ved at nedlægge produktionen af Mahogny (dvs. der skal opdrættes 0) og producere 2250 Safir pr. år. Dækningsbidraget vil i så fald være 720.000 kr. ifølge modellen.

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

11

Opgave 10B a)

Det opsparede beløb kan bestemmes vha. formlen for fremskrivning af en annuitet. Vi definerer indgående størrelser:

Månedlig rente: 𝑟 ≔ 0,0068

Månedlig ydelse: 𝑦 ≔ 2500

Beløbet bestemmes:

𝐴_{12} = 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{12} − 1

𝑟

≈ 31147,83

Efter 12 indbetalinger vil Camilla således have opsparet 31.147,83 kr.

b)

Efter en indbetaling mere, vil de 47.697,78 kr. være fremskrevet ved at gange med (1 + 𝑟) én gang. Den

næste indbetaling når ikke at blive fremskrevet og skal derfor blot lægges oveni uden rente. dvs.

𝑆𝑙𝑢𝑡𝑏𝑒𝑙ø𝑏 = 47697,78 · ( 1 + 𝑟) + 𝑦

≈ 50522,12

Der vil således stå 50.522,12 kr. umiddelbart efter den næste indbetaling

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

12

Opgave 10C a)

Kundernes kendskab til produktet kan opfattes som binomialfordelt, hvor kendskab er succes og

manglende kendskab er fiasko. Vi får således, at 𝑝 = 0,35. Man undersøger en gruppe på 60 dvs. 𝑛 = 60.

Hvis 𝑋 angiver det antal, der kender til produktet, har vi, at: 𝑋~𝑏(60;0,35).

Vi skal nu bestemme 𝑃 ( 𝑋 ≥ 25) = 𝑃(25 ≤ 𝑋 ≤ 60), hvilket gøres i WordMat:

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,35 P(X≤)=
n= 60 P( 25 ≤X≤ 60)= 0,8

Vi får nu, at: 𝑃 ( 25 ≤ 𝑋 ≤ 60) = 0,17

Sandsynligheden for at mindst 25 kunder ud af en gruppe på 60 kender til produktet er således 17%.

b)

Data fra filen marketing optælles vha. en pivottabel og ser, at 118 af de 264 adspurgte kender til produktet.

Dette svarer til en andel på^{188}_{264} = 71,2%.

Et 90%-konfidensinterval for sandsynligheden for succes (kendskab til produktet) efter reklamekampagnen bestemmes nu vha. GeoGebras sandsynlighedslommeregner:

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

2 56 60

P(X=r)

r

Binomialfordeling

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

13

Vi aflæser og opskriver nu det beregnede konfidensinterval (nedre/øvre grænse):

[0,397;0,497]

Da den tidligere opgivne sandsynlighed for succes, 𝑝 = 0,35, ligger til venstre for for 90%-
                                          𝑓ø𝑟

konfidensintervallet for 𝑝 , er der under 5% sandsynlighed for, at 𝑝 = 𝑝 . På et 5%-
                    𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟                                 𝑓ø𝑟   𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟

signifikansniveau kan vi således konkludere, at reklamekampagnen har øget kendskabet til produktet.