HHX Matematik B 2013 27. maj - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

1

HHX Matematik B

27. maj 2013

Delprøven med hjælpemidler

hhx131-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a) 𝑎 isoleres vha. WordMat:

𝑇 =

ln ( 2) ln ( 𝑎)

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 𝑒

ln ( 2)

𝑇 b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne:

1) Ligningen er skrevet op

2) Anden kvadratsætning er anvendt på venstre side

3) 𝑥 + 1 er trukket fra på begge sider

4) 𝑥 er trukket udenfor en parentes

5) Nulreglen er anvendt (𝑎 · 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎 = 0 ⋁ 𝑏 = 0)

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

2

Opgave 7 a)

Observationerne af daglig omsætning kopieres ind I WordMats regneark til rå data, hvorefter et histogram med en intervallængde på 2000 tegnes: b)

Data kopieres til WordMats ark for ugrupperede observationer, og vi får følgende deskriptorer:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 2195
Median | 3733
Øvre | 7381

Obs. Fraktil

Middeltal

5428

Spredning

4863

Vi aflæser og konkluderer nu, at gennemsnittet (middeltallet) er 5428, medianen er 3733 og 25%-fraktilen

(nedre kvartil) er 2195.

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

3 c)

                                                                            2
Vi laver et 𝑥𝑦-plot i Excel med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og forklaringsgrad R .

Vi kan nu aflæse, afrunde og opskrive vores lineære regressionsmodel:

𝑦 = 76,8 · 𝑥 + 259

d)

Sammenhængen mellem antal solgte billetter og den daglige omsætning er blevet undersøgt gennem 242 dage i år 2011. Omsætningen fordeler sig som på histogrammet herunder:

Den gennemsnitlige omsætning var på 5428 kr. Der var lige mange dage, hvor omsætningen var over 3733 kr. som dage, hvor omsætningen var under 3733 kr. I den dårligste fjerdedel af dagene var omsætningen alle dage på under 2195 kr. Variationen i daglig omsætning kan med god tilnærmelse forklares med følgende sammenhæng: Omsætningen stiger med ca. 77 kr. pr. solgt billet.

y = 76,794x + 259,24
R² = 0,8967

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

450

Daglig omsætning

Antal solgte billetter

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

4

Opgave 8 a)

Data optælles i Excel vha. en pivottabel og indsættes i et skema:

Kvinde Mand Total

København

271 442 713

Køge

161 235 396

Solrød 130 180 310

Total 562 857 1419 b)

Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:

𝐻_{0}: Der er ikke forskel på fordelingen af mænd og kvinder i de forskellige Fitnessdk centre.

𝐻_{𝐴}: Der er forskel på fordelingen af mænd og kvinder i de forskellige Fitnessdk centre.

De forventede værdier bestemmes i WordMat ved indsættelse af tabellens data i WordMats regneark til

𝜒^{2} -uafhængighedstest:

Kvinde Mand

København | 282 | 431
Køge | 157 | 239
Solrød | 123 | 187

c)

Nulhypotesen testes på et 5%-signifikansniveau i WordMat: χ²-test

Observationer I alt

271 | 442

713

161 | 235

396

130 | 180

310

I alt 562 857 1419

P-værdi: 43,89%

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 43,89% > 5% kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5%-signifikansniveau.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

5

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

6

Opgave 9 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,01𝑥^{3} − 1,5𝑥^{2} − 75𝑥 + 6000

Nulpunkter bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −71,63249 ∨ 𝑥 = 48,33302 ∨ 𝑥 = 173,2995

Funktionen har således tre nulpunkter med koordinatsæt:

𝑁_{1} ( −71,63249; 0), 𝑁_{2} (48,33302; 0) og 𝑁_{3} (173,2995; 0)

Nulpunkterne deler 𝑥-aksen i 4 intervaller. Fortegnet for 𝑓 undersøges nu i hvert af disse:

𝑓 ( −100) = −11500

𝑓 ( 0) = 6000

𝑓 ( 100) ≈ −100,01

𝑓 ( 200) = 11000

Vi kan nu konkludere, at:

𝑓 < 0 for 𝑥 ∈ ] − ∞; −71,63249[ ∪ ]48,33302; 173,2995[

𝑓 > 0 for 𝑥 ∈ ] − 71,63249; 48,3302[ ∪ ]173,2995; ∞[

b)

Grafen og nulpunkterne tegnes i WordMat:

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

7

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

8

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 10A a)

Funktionen defineres:

𝑠 ( 𝑥) ≔ 360𝑥 + 1000

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 1 ≤ 𝑥 ≤ 20

Prisen ved et udbud på 4,8 tons bestemmes:

𝑠 ( 4,8) = 2728

Den udbudte mængde ved en pris på 2.800 kr. bestemmes ved at løse:

𝑠 ( 𝑥) = 2800

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 5

Prisen ved et udbud på 4,8 tons er 2728 kr., og udbuddet er 5 tons, når prisen er 2800 kr.

b)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑑 ( 𝑥) = −𝑥^{3} + 75𝑥^{2} − 1875𝑥 + 16000

I skæringspunktet mellem de to funktioner findes ligevægtsmængde og pris. Vi løser derfor:

𝑑 ( 𝑥) = 𝑠(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 9,206596

Ligevægtsmængden er ca. 9,2 tons.

Ligevægtsprisen kan bestemmes som: 𝑠 ( 9,206596) ≈ 4314,375

Ligevægtsprisen er ca. 4300 kroner.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

9

Opgave 10B a)

De opgivne data opskrives i 2 ligninger med 2 ubekendte ved anvendelse af forskriften

𝑚 ( 𝑥) ≔ 𝑏 · 𝑥^{𝑎}

𝑚 ( 4) = 1017594

𝑚 ( 9) = 2080341

⇕ Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 = 0,8818155 ∧ 𝑏 = 299687,6

Konstanterne kan nu anvendes til at opskrive en ny funktionsforskrift:

𝑚 ( 𝑥) ≔ 299688 · 𝑥^{0,8818}

b)

Vi løser nu ligningen:

𝑚 ( 𝑥) = 2500000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 11,08566

Da funktionen er voksende, vil antallet af bredbåndsabonnementer ifølge modellen først nå og dernæst overstige 2.500.000 i år 2011.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

10

Opgave 10C a)

Vi definerer kendte størrelser:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 25000
               0

Månedlig ydelse: 𝑦 ≔ 728

Antal ydelser: 𝑛 ≔ 60

Renten kan nu bestemmes vha. følgende formel:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = −1,932239 ∨ 𝑟 = 0,02050388

Da renten selvfølgelig ikke er negativ, kan vi konkludere, at 𝑟 = 0,0205. Det vil sige, at den er på 2,05%

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Den effektive rente pro anno (dvs. pr. år) kan bestemmes som:

𝑖 = ( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1
= ( 1 + 0,0205)^{12} − 1

≈ 0,2757222

= 27,57%

Den effektive rente p.a. er således på 27,57%