HHX Matematik B 2012 17. december - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

1

HHX Matematik B

17. december 2012

Delprøven med hjælpemidler hhx123-MAT-B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Udtrykket reduceres vha. WordMat:

𝑥^{4} − 𝑦^{4}
𝑥^{2} − 𝑦^{2}

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦^{2} + 𝑥^{2}

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne (𝐼):

1) Forskrifterne sættes lig hinanden.

2) Begge sider divideres med 3𝑥^{3}.

3) Begge sider reduceres.

4) Den tredje rod tages på begge sider.

5) 𝑦 findes som enten 𝑓(3) eller 𝑔(3).

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

2

Opgave 7 a)

Data kopieres ind i WordMats statistik-regneark, og fordelingen af beløb repræsenteres af et histogram med en intervallængde på 1000: b)

Vi foretager en ugrupperet optælling i WordMat og bestemmer i samme ombæring en række deskriptorer:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 1599
Median | 2688
Øvre | 4000

Obs. Fraktil

Middeltal

3273

Spredning

2679

Vi udvælger og aflæser nu 3 deskriptorer:

Kvartilsæt: (1599, 2688, 4000)

Gennemsnit (middeltal): 3273

00 20000

Beløb

Histogram

Et tern er 4%

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

3

Standardafvigelse (spredning): 2679 c)

                                                                2
Et 𝑥𝑦-plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og forklaringsgrad R foretages nu i Excel:

Vi aflæser regressionsligningen og opstiller en model:

𝐵 ( 𝑥) = 92,96 · 𝑥 + 60,19

Hvor,

𝐵 angiver det beløb, kunden har købt for (i kr. må det formodes) 𝑥 angiver kundens alder (i år må det formodes) d)

Fordelingen af de beløb, som kunderne bruger, fremgår af nedenstående histogram:

y = 92,96x + 60,19
R² = 0,2813

0

5000

10000

15000

20000

25000

0

Beløb

Alder

00 20000

Beløb

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

4

Undersøgelsen har vist, at de 234 kunder i gennemsnit købte for ca. 3270 kr. De 25% mindst forbrugende købte alle for under 1600 kr., mens de 25% mest forbrugende alle købte for over 4000 kr. Der var lige mange der købte for over og under 2700 kr. Ca. 30% af variationen i beløbsstørrelser kan forklares ved kundens alder gennem følgende model: Alle forbruger et basisbeløb på 60 kr., som vokser med ca. 90 kr.

for hvert år, personen har levet.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

5

Opgave 8 a)

Data fra filen bilforsikring optælles vha. en pivottabel i Excel og opskrives i et skema som det i opgaven angivne:

Ingen skade anmeldt Skade anmeldt Total

18 til 25 | 197 | 83 | 280
25 til 40 | 344 | 48 | 392
40 til 55 | 392 | 60 | 452
55 og ældre | 240 | 40 | 280

Total 1173 231 1404 b)

Vi opstiller nu en nulhypotese og en alternativ hypotese:

𝐻_{0}: Der er uafhængighed mellem alder og skadesstatus.

𝐻_{𝐴}: Der er en sammenhæng mellem alder og skadesstatus

De forventede værdier bestemmes i WordMats ark til 𝜒^{2} -uahængighedstest og afrundes til nærmeste hele

tal:

Ingen skade anmeldt Skade anmeldt Total

18 til 25

234 | 46 | 280

25 til 40

328 | 64 | 392

40 til 55

378 | 74 | 452

55 og ældre

234 | 46 | 280

Total

1173 231 1404 c)

Der udføres χ² - test for sammenhæng vha. CAS-værktøjet WordMat

P-værdi: 0,1037249 = 0,37249%

Da 𝑝 = 0,00% < 5% forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Det kan således ikke antages, at

der er uafhængighed mellem den enkelte kundes alder og skadesstatus.

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

6

Opgave 9 a)

Funktionen defineres:

ℎ ( 𝑡) ≔ 0,033𝑡^{3} − 2,388𝑡^{2} + 51,311𝑡

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑡 ≤ 40

På dag 40 får vi:

ℎ ( 40) = 343,6400000000003

Afsætningen på dag 40 er på 343,64 ifølge modellen.

b)

Funktionen differentieres:

ℎ^{′} ( 𝑡) = 0,099 · 𝑡^{2} − 4,776 · 𝑡 + 51,311

Af grafen ses det, at der er to ekstrema for ℎ - et maksimum og et minimum. Hvis 𝑡_{𝑚𝑖𝑛} og 𝑡_{𝑚𝑎𝑥} er 𝑡-

værdierne i hhv. minimum og maksimum, kan vi desuden aflæse på grafen, at:

𝑡_{𝑚𝑎𝑥} < 𝑡_{𝑚𝑖𝑛}

De to ekstrema findes ved at løse:

ℎ^{′} ( 𝑡) = 0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 = 16,15002 ∨ 𝑡 = 32,09241

Jf. ovenstående argumentation må der være et lokalt maksimum i 𝑡 = 16,15. Vi bestemmer nu

afsætningen:

ℎ ( 16,15) = 344,8338713750001

Vi ser, at denne afsætning er større end i begge intervalendepunkter (ℎ ( 0) = 0 𝑜𝑔 ℎ ( 40) = 343,64).

Vi kan nu konkludere, at afsætningen er størst efter ca. 16 dage. Afsætningen er dog næsten lige så stor efter 40 dage.

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

7

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 10A a)

Antallet af biler uden fejl, 𝑋 er binomialfordelt som 𝑋~𝑏(𝑛, 𝑝). 𝑛 er antallet af biler i en given stikprøve og 𝑝 er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt 4 år gammel Audi A6 er uden fejl. Det vil sige:

𝑛 = 20

𝑝 = 1 − 0,15 = 0,85

Det forventede antal biler med fejl (i det vi antager, at alle bilerne er 4 år gamle) kan da bestemmes som:

𝐸 ( 𝑋) = 𝑛 · 𝑝
= 20 · 0,85
= 17

Applus Bilsyn forventer således, at 17 biler er uden fejl.

b)

Sandsynligheden for, at der højst er 5 Audi A6 uden fejl kan bestemmes som 𝑃(𝑋 ≤ 5)

Dette gøres i WordMats regneark til binomialfordeling:

Binomialfordeling

P(X=)=
p= 0,85 P(X≤ 5)= 3,19E-09
n= 20 P( ≤X≤)=

Vi aflæser, at 𝑃 ( 𝑋 ≤ 5) = 3,19 · 10^{−9}

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0

P(X=r)

r

Binomialfordeling

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

8

Sandsynligheden for, at højst 5 Audi A6 er uden fejl er således 𝑝 = 3,19 · 10^{−9}. Denne sandsynlighed er så

forsvindende lille, at Applus Bilsyn lige så godt kan opfatte den som værende lig med 0.

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

9

Opgave 10B a)

Da der ikke afdrages på lånet, kan gælden fremskrives vha. kapitalfremskrivningsformlen. Kendte størrelser defineres:

Lånets størrelse (startkapital): 𝐾 ≔ 2000000
                          0

Kvartårlig rente: 𝑟 ≔ 0,01

Antal terminer: 𝑛 ≔ 4

Gældens størrelse efter 4 terminer bestemmes:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}
= 2081208,02

Det vil sige, at byggelånet er vokset til 2.081.208,02 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Teksten er noget upræcis, så vi antager, at renten fortsætter med at være 1% pr. kvartal i perioden fra 1.

januar 2012 til 1. januar 2013. Desuden antager vi, at virksomheden heller ikke afdrager på lånet i denne periode.

Gælden vil således kunne fremskrives med samme formel og betingelser (dog med 𝑛 = 8) som før:

𝐾_{8} = 2000000 · ( 1 + 0,01)^{8}

≈ 2165713

Denne gæld kan nu opfattes som et nyt lån, der afdrages gennem årlige ydelser. Vi definerer kendte størrelser:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 2165713
               0

Årlig rente: 𝑟 ≔ 0,04

Antal ydelser: 𝑛 ≔ 10

Ydelsen 𝑦 bestemmes nu ved at løse ligningen:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 267012,8

Den årlige ydelse vil således have størrelsen 267.012,80 kr.

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

10

Opgave 10C a) 𝑎 angiver funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. 𝑏 angiver funktionstilvæksten, når 𝑦 vokser med 1.

Forskriften for det samlede dækningsbidrag i kr. bliver så (funktionen defineres):

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 30𝑥 + 50𝑦

b)

Polygonområdet tegnes I GeoGebra. Funktionen vil have maksimum i et af polygonområdets hjørner. De 4 hjørnepunkter bestemmes vha. GeoGebras skæringsværktøj:

Koordinatsættene i hjørnepunkterne aflæses, og funktionsværdierne bestemmes i hvert af punkterne:

𝑓 ( 0; 800) = 40000

𝑓 ( 1250; 0) = 37500

𝑓 ( 0; 0) = 0

𝑓 ( 500; 600) = 45000

Vi ser og konkluderer nu, at det størst mulige samlede dækningsbidrag opnås ved at producere og afsætte

500 stk. af produkt A og 600 stk. af produkt B.