HF Matematik B 1. juni 2010 - Vejledende besvarelse

Opgave nr. 1 (uden hjæ lpemidler). 5a − 10a + 3a = 5a − 7a m m 6x = −24 m x = −4 Opgave nr. 2 (uden hjæ lpemidler). Figuren viser grafen for et tredjegradspolynomium f (a) f (x ) er differentialkvotienten til f i punktet x og er lig med hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet (x , f(x Den viste graf er påtegnet vandrette tangenter, hvor grafen for f har ekstrema, hvilket betyder, at f (x) = 0 i de viste punkter. Løsningerne til ligningen kan således aflæses af grafen: f (x) = 0 m Lokale ekstrema kan således også aflæses, hvor der er vandret tangent til grafen for f: • f har lokalt maksimum i punktet (1, 6) • f har lokalt minimum i punktet (3, 2) Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler). (a) Det årlige antal enheder f (målt i stk.), som fabrikken fremstiller, kan som en funktion af tiden x (målt i år efter 2005) beskrives med den eksponentielle vækstmodel:60 f(x) = b · a hvor r er vækstraten, som her er negativ, da produktionen er aftagende r = b er det producerede antal enheder i 2005 og x er antal år efter 2005.

Dermed kan følgende formel, der beskriver udviklingen i antallet af producerede enheder pr. år i årene efter 2005, opstilles: = b · p[%] Forskriften for udviklingen i produktionen er således: En fast årlig procentvis ændring er kendetegnende for eksponentiel vækst. I dette specifikke tilfælde er der tale om en negativ vækst, idet antallet af producerede enheder aftager med 3% om året. g : x −b 2a Det kan dermed konkluderes, at den blå parabel (til venstre) er grafen for f, da x-værdien for toppunktet til parabel f er negativ. Metode 2: Denne metode er „i famillie med“ den foregående, da det for en parabel gælder: hvis fortegnene for a og b er ens, så ligger toppunktet i 2. eller 3. kvadrant. hvis fortegnene for a og b er forskellige, så ligger toppunktet i 1. eller 4. kvadrant. Da a > 0 og b > 0 for f, vil toppunktet være beliggende i 2. eller 3. kvadrant.

Derfor kan det konkluderes, at den blå parabel (til venstre) er grafen for f Metode 3: Det gælder for et andengradspolynomium (parabel), at fortegnet for b er lig med fortegnet for differentialkvotienten til funkionen, når x = 0.