HHX Matematik B 2011 Efterår - Vejledende sæt 1 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

1

HHX Matematik B

Efterår 2011

Delprøven med hjælpemidler

Vejledende opgave 1

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Udtrykket reduceres vha. WordMat:

( 𝑎 + 𝑏)^{4} − (𝑎^{4} + 𝑏^{4})

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

4 𝑎^{3} · 𝑏 + 4 𝑎 · 𝑏^{3} + 6 𝑎^{2} · 𝑏^{2}

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne (𝐼):

1) Ligningen er skrevet op.

2) Der er trukket 3x fra på begge sider af lighedstegnet.

3) 𝑥 er sat udenfor parentes.

4) Nulreglen (𝑎 · 𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0) er anvendt.

5) Der er lagt 3 til på begge sider af højre lighedstegn.

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

2

Opgave 7 a)

Fordelingen af antal kundebesøg kopieres ind i WordMats statistikregneark. Data optælles, og der tegnes et pindegram over antallet af kundebesøg: b)

Vi udregner en række deskriptorer i WordMat:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 2
Median | 3
Øvre | 4

Obs. Fraktil

Middeltal

2,94

Spredning

1,11

Vi aflæser nu tre udvalgte deskriptorer:

Gennemsnit (middeltal): 2,94 kundebesøg.

Typetal: 3

Kvartilsæt: (2,3,4)

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5 6

Hyppighed

Antal kundebesøg

Pindediagram

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

3 c)

Antallet af kundebesøg pr. sælger fordeler sig som på pindediagrammet herunder:

Som det også fremgår af pindediagrammet, er det typiske antal kundebesøg på 3 pr. sælger. I gennemsnit foretager sælgerne 2,94 kundebesøg hver. De 25% mindst besøgende sælgere foretager højst 2 besøg, mens de 25% mest besøgende sælgere foretager mindst 4 besøg. 50% foretager højst 3 besøg.

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5 6

Hyppighed

Antal kundebesøg

Pindediagram

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

4

Opgave 8 a)

Data fra filen indenlandsk salg anvendes i Excel til at foretage et 𝑥𝑦-plot med tilhørende tendenslinje og regressionsligning: b)

Regressionsligningen aflæses og en lineær model opstilles. 𝑖 angiver det indenlandske salg i mio. kr., mens 𝑥 angiver antal år efter 1969.

𝑖 ( 𝑥) = 54388 · 𝑥 + 64888

Da 𝑅^{2} = 0,9789 er der en høj forklaringsgrad, og ovenstående model kan således anvendes med god

tilnærmelse.

y = 54388x + 64888
R² = 0,9789

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

45

Indenlandsk salg i mio. kr.

Antal år efter 1969

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

5

Opgave 9 a)

Data fra filen mediemonitor optælles vha. en pivottabel i Excel og opskrives i et skema:

Aviser eller Internet eller Radio eller Total blade mobil tv

Kvinde 233 22 388 643

Mand 141 25 191 357

Total 374 47 579 1000 b)

Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:

𝐻_{0}: Der er uafhængighed mellem de to variable, ’køn’ og ’foretrukket nyhedsmedie’.
𝐻_{𝐴}: Der er en korrelation mellem de to variable, ’køn’ og ’foretrukket nyhedsmedie’.

Vi bestemmer en tabel med forventede værdier ved at indsætte den ovenstående tabels data i en 𝜒^{2} -

uafhængighedstest i WordMat (de forventede værdier er afrundet til nærmeste hele tal, men der er anvendt decimaltal i de videre udregninger):

Forventede Aviser eller blade Internet eller mobil Radio eller Total tv

Kvinde 240 30 372 643

Mand 134 17 207 357

Total 374 47 579 1000 c)

Nulhypotesen testes nu i WordMat som beskrevet: χ²-test

Observationer I alt

233 22 388

643

141 25 191

357

I alt 374 47 579 1000

P-værdi: 1,25%

Signifikans niveau: 5%

Q-værdi: 8,5

𝜒^{2} -teststørrelsen aflæses som Q-værdien. Dvs. 𝑄 = 8,77.

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

6

Da 𝑝 = 1,25% < 5% forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der er således ikke uafhængighed

mellem køn og foretrukket nyhedsmedie.

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

7

Opgave 10 a)

Funktionerne for hhv. omkostninger og omsætning defineres:

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,025𝑥^{3} − 1,3𝑥^{2} + 28𝑥 + 200

𝑅 ( 𝑥) ≔ 25𝑥

Desuden gælder for begge funktioner, at 𝑥 ≥ 0

Overskuddet kan nu bestemmes som:

𝑃 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)
= −3 𝑥 − 0,025 𝑥^{3} + 1,3 𝑥^{2} − 200

Vi kan nu opskrive (og definere) funktionsforskriften for overskuddet:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑃 ( 𝑥) = −0,025𝑥^{3} + 1,3𝑥^{2} − 3𝑥 − 200 , 𝑥 ≥ 0

Stationære punkter bestemmes ved at løse:

𝑃^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1,195042 ∨ 𝑥 = 33,47162

Af ovenstående stationære punkter samt grafen kan vi se, at overskuddet er størst ved en afsætning på

33,5 kg.

b)

Vi løser uligheden:

𝑃 ( 𝑥) > 0

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 < −10,40184453227931 ∨ ( 𝑥 > 16,90395480225989 ∧ 𝑥 < 45,49789029535865)

Første løsning forkastes, da den ligger uden for funktionens definitionsmængde.

Vi afrunder den tilbageværende løsning og konkluderer, at overskuddet er positivt i afsætningsintervallet

]16,9; 45,5[.

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

8

Opgave 11 a)

Der må gælde, at:

𝑓^{′} < 0 i intervaller, hvor 𝑓 er aftagende

𝑓^{′} > 0 i intervaller, hvor 𝑓 er voksende

𝑓^{′} = 0 når 𝑓 har en vandret tangent

Vi ser, at ovenstående kriterier kun er opfyldt, hvis Graf 1 er grafen for 𝑓′.

Vi kan hermed konkludere, at Graf 1 viser grafen for den afledede funktion 𝑓′.

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

9

Til eksamen skal du kun udvælge én af opgaverne 12A og 12B. Her bringes løsninger på både 12A og 12B, så du kan øve begge opgavetyper.

Opgave 12A a)

Kendte størrelser defineres:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 1500000
               0

Rente: 𝑟 ≔ 0,005

Antal ydelser: 𝑛 ≔ 10 · 12

Ydelsen 𝑦 kan nu bestemmes ved at løse ligningen:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 16653,08

Den månedlige ydelse er således på 16.653,08 kr.

b)

Ydelsen defineres: 𝑦 ≔ 16653,08

Antal ydelser omdefineres: 𝑛 ≔ 65

Restgælden efter 𝑛 ydelser kan bestemmes som:

𝑅_{𝑛} = 𝐾_{𝑛} − 𝐴_{𝑛}
= 𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

= 799038,3

Umiddelbart efter ydelse nr. 65 er der således en restgæld på 799.038,30 kr.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011

10

Opgave 12B a)

Andelen 𝑝 estimeres som antallet af personer med aviser eller blade som foretrukket medie (374 personer - aflæst af tabellen i opgave 9) divideret med stikprøvestørrelsen (1000 personer).

𝑝̂ =

374

1000

= 0,374

Dvs. 𝑝̂ = 0,374

b)

Vi bestemmer et 95%-konfidensinterval for den sande værdi af 𝑝 i 2006. Dette gøres i GeoGebras sandsynlighedslommeregner:

Vi aflæser nu 95%-konfidensintervallet for 𝑝 (øvre/nedre grænse):
                                    2006

[0,344; 0,404]

I 2003 har vi, at 𝑝_{2003} = 0,31. Der er kun 2,5% sandsynlighed for, at 𝑝_{2006} ligger til venstre for

konfidensintervallet. Da 𝑝 ligger til venstre for 95%-konfidensintervallet for 𝑝-værdien i 2006, kan vi på
                     2003

et 2,5%-signifikansniveau konkludere, at andelen, som har aviser eller blade som foretrukket medie, er faldet mellem 2003 og 2006.