HHX Matematik B 2013 16. december - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

1

HHX Matematik B

12. marts 2016

Delprøven med hjælpemidler

hhx133-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a) 𝑥 isoleres vha. WordMat:

𝑃 ≔ 1000

𝑃 = 100 · 𝑥^{0,6} · 𝑦^{0,4}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 46,41589 · 𝑦^{−0,6666667}

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne (𝐼):

1) Ligningen er skrevet op.

2) Anden kvadratsætning er anvendt på højre side.

3) 𝑥 er trukket fra på begge sider

4) Andengradsligningen er løst, og løsningerne er skrevet op.

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

2

Opgave 7 a)

Data fra filen pension optælles vha. en pivottabel i Excel og opskrives i et skema:

Ikke pension Pension Total

Offentligt ansat 25 38 63

Privat ansat 16 35 51

Total 41 73 114 b)

Hypotesen er ikke opstillet som en nulhypotese, der evt. kan forkastes med en 𝜒^{2} -test. Vi kan i stedet

opstille en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ikke forskel på, om man er privat eller offentligt ansat og har en privat pensionsopsparing.

Nu foretages en 𝜒^{2} -uafhængighedstest i WordMat på baggrund af tabellens data:

χ²-test

Observationer I alt

25 38 63

16 35 51

I alt 41 73 114

P-værdi: 35,79%

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 35,79% > 5%, kan vi ikke afvise, at nulhypotesen er sand. På baggrund af denne undersøgelse kan

vi altså ikke påvise en forskel.

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

3

Opgave 8 a)

Funktionen for omsætning defineres:

𝑅 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{2} + 502𝑥

Funktionen har forskrift som et andengradspolynomium (𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0), og da 𝑎 < 0, vil

grafen være en parabel med benene nedad. Funktionen har ét maksimum, og dette findes når:

𝑥_{𝑚𝑎𝑥} = −

𝑏

2𝑎

= −

502

2 · (−1)
= 251

Da denne værdi ligger indenfor funktionens definitionsmængde, kan vi nu bestemme den største omsætning som:

𝑅_{𝑚𝑎𝑥} = 𝑅 ( 251)
= 63001

Den størst mulige omsætning er altså på 63.001 kroner.

b)

Funktionen for variable omkostninger defineres:

𝐶 ( 𝑥) ≔ 50𝑥

Dækningsbidraget kan nu bestemmes som:

𝐷𝐵 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)
= 452 · 𝑥 − 𝑥^{2}

Vi kan nu opskrive og definere en forskrift for dækningsbidraget:

𝐷𝐵 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{2} + 452𝑥

Vi løser nu:

𝐷𝐵 ( 𝑥) > 0

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 > 0 ∧ 𝑥 < 452

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

4

Funktionen vil være positiv i det interval, som udgøres af fællesmængden af ovenstående løsning samt funktionens definitionsmængde. Det vil sige når: 𝑥 ∈ ]0,452[ ∩

[

25,475

]

. Vi kan nu konkludere, at dækningsbidraget er positivt i intervallet [25,452[.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

5

Opgave 9 a)

Vi definerer kendte størrelser:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 25000
               0

Månedlig ydelse: 𝑦 ≔ 728

Antal ydelser: 𝑛 ≔ 60

Den månedlige rente, 𝑟, kan nu bestemmes ved at løse:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = −1,932239 ∨ 𝑟 = 0,02050388

Renten er selvfølgelig positiv, så vi forkaster den første løsning og konkluderer, at den månedlige rente er på 2,05%.

På et år vil der tilskrives renter af 12 omgange. Dvs.: 𝑛 ≔ 12 𝑟 ≔ 2,05%

Den effektive rente, 𝑖, kan da bestemmes vha. formlen:

𝑖 = ( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

≈ 0,2757222

≈ 27,57%

Den årlige effektive rente er således på 27,57%

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi beregner først, hvor meget familien skal betale samlet set hos Lån og Spar Bank (mulighed 2)

𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒 · 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟
= 967,29 · 36
= 34822,44

Denne størrelse defineres som 𝑀_{2} ≔ 34822,44

Den samlede betaling hos L’easy kan tilsvarende beregnes som:

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

6

𝑀_{1} = 728 · 60
= 43680

Denne størrelse defineres som 𝑀_{1} ≔ 43680

Den samlede besparelse ved at vælge Lån og Spar Bank er givet ved:

𝐵 = 𝑀_{1} − 𝑀_{2}

≈ 8857,56

Til familien Hansen:

I har to muligheder for at låne de 25.000 kr.:

Hos L’easy er der mulighed for at afbetale lånet med en månedlig ydelse på 728 kr. over 60 måneder - her har I en månedlig rente på 2,05%, og I skal samlet set betale 43.680 kr. (lån og rentebeløb tilsammen).

Hos Lån og Spar Bank er der mulighed for at afbetale lånet med en månedlig ydelse på 967,29 kr. om måneden over 36 måneder - her har I en månedlig rente på 1,91% og I skal samlet set betale 34.822,44 kr.

Der er således en besparelse på 8857,56 kr. ved at vælge mulighed 2, men der er den månedlige ydelse til gengæld lidt højere.

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

7

Opgave 10 a)

Der må gælde, at:

𝑓^{′} > 0 i de intervaller, hvor 𝑓 er voksende

𝑓^{′} < 0 i de intervaller, hvor 𝑓 er aftagende

𝑓^{′} = 0, når 𝑓 har lokalt ekstremum

Vi ser nu, at ovenstående forhold kun er gældende, hvis 𝐴 er grafen for 𝑓, og 𝐵 er grafen for 𝑓′.

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

8

Opgave 11 a)

                                                                2
Et 𝑥𝑦-plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og forklaringsgrad R foretages i Excel:

Den lineære regressionsmodel kan nu aflæses og defineres:

𝑝 ( 𝑥) ≔ −0,0384 · 𝑥 + 2180,5

b)

Mængden bestemmes ved at løse:

𝑝 ( 𝑥) = 925

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 32695,31

Den mængde af varen, som efterspørges ved en pris på 925 kr. er altså ca. 32.700 stk.

Mængde i stk. y = -0,0384x + 2180,5
R² = 0,9982

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

00 40000

Pris i kr.

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

9

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12A a)

Antallet af defekte varer er en stokastisk binomialfordelt variabel. Dvs. Vi 𝑋~𝑏(𝑛, 𝑝)

Hvor 𝑛 ≔ 60 og 𝑝 ≔ 0,05

Det forventede antal defekte varer beregnes som:

𝐸(𝑋) = 𝑛 · 𝑝
= 0,05 · 1500
= 75

Der vil altså forventes at være 75 defekte varer i en stikprøve på 1500 tilfældigt udvalgte varer.

b)

Vi søger at bestemme 𝑃(𝑋 ≤ 65), hvor 𝑋~𝑏(1500; 0,05). Dette gøres i WordMat:

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,05 P(X≤ 65)= 0,129
n= 1500 P( ≤X≤)=

µ = 75
σ = 8,441

Vi aflæser, at 𝑃 ( 𝑋 ≤ 65) = 0,129.

Sandsynligheden for, at der højst er 65 defekte varer i en stikprøve på 1500 tilfældigt udvalgte varer er således 12,9%.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0

108

216

324

432

540

648

756

864

972

1080

1188

1296

1404

P(X=r)

r

Binomialfordeling

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

10

Opgave 12B a)

Vi repræsenterer data som forbundne punkter I et koordinatsystem. 𝑥 angiver antal år efter 1991, mens 𝑦 angiver antal besøgende. På denne måde kan vi hurtigt overskue udvikling i antallet af besøgende fra år til år.

Vi laver nu et histogram i WordMat for bedre at kunne vurdere fordelingen af antal besøgende i perioden

:

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

21

Antal besøgende

Antal år efter 1991

420

Antal besøgende (i tusinder)

Histogram

Et tern er 4%

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

11 b)

De rå data kopieres ind i WordMats statistik-regneark, og vi bestemmer en række deskriptorer:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre 300426

Median 330253,5

Øvre 361302

Obs. Fraktil

423302 90%

Middeltal

341423,091

Spredning

58981,4773

Vi aflæser og konkluderer, at:

Gennemsnittet (middeltallet) er 341.423 besøgende

Medianen er 330.253,5 besøgende

90%-fraktilen er på 423.302 besøgende

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

12

Opgave 12C a) 𝑎 angiver funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1, mens 𝑏 angiver funktionstilvæksten, når 𝑦 vokser med

1. Udviklingen af de samlede daglige omkostninger i kroner kan således beskrives ved (funktionen defineres):

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 15𝑥 + 20𝑦

b)

Ulighederne afgrænser sammen et uendeligt kapacitetsområde, da der ikke er nogen begrænsninger opadtil for hverken 𝑥 eller 𝑦. Området skitseres i GeoGebra. Skæringspunkter angives mellem de linjer, hvis

ligninger fremkommer ved at erstatte ≥ med =

Kriteriefunktionen er på formen 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

Da både 𝑎 og 𝑏 er positive vil 𝑓 vokse i takt med, at 𝑥 og 𝑦 vokser. Kriteriefunktionens minimum skal således findes i et af de tre hjørner.

Vi aflæser koordinatsættene i hjørnerne og bestemmer nu funktionsværdierne i disse:

𝑓 ( 5; 10) = 275

𝑓 ( 7; 5) = 205
𝑓 ( 19; 2) = 325

Vi ser, at den mindste værdi er at finde i punktet 𝐵(7,5).

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

13

Der skal således bruges 7 kg oksekød og 5 kg lammekød for at få de mindst mulige samlede omkostninger til oksekød og lammekød.