HHX Matematik B 2013 16. august - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

1

HHX Matematik B

16. august 2013

Delprøven med hjælpemidler

Hhx132-MAT-B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Ligningen løses vha. WordMat:

𝑚^{−0,75} ·(800− 𝑚) = 0

2

5

0,25

⇕ Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑚 = 2000

b)

Forklaringer til hver af linjerne er givet herunder:

1) Ligningen er skrevet op.

2) Begge sider er ganget med 0,02 og divideret med 400.

3) 1 er trukket fra begge sider og beregninger er udført.

4) Den naturlige logaritme er taget på begge sider. Herefter er der anvendt, at: ln ( 𝑎^{𝑚}) = 𝑚·ln (𝑎)

5) Begge sider er divideret med ln (1,02), hvorefter beregninger og afrundinger er foretaget.

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

2

Opgave 7 a)

Funktionerne for hhv. omsætning og omkostninger defineres:

𝑅 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{2} +30𝑥

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,04𝑥^{3} −1,2𝑥^{2} +20𝑥+50

Forskriften for overskuddet kan nu bestemmes som:

𝑃 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) −𝐶 ( 𝑥)
= −0,04·𝑥^{3} +0,2·𝑥^{2} +10·𝑥 −50

Vi kan nu opskrive og definere forskriften:

𝑃 ( 𝑥) ≔ −0,04𝑥^{3} +0,2𝑥^{2} +10𝑥−50

Vi løser nu:

𝑃 ( 𝑥) > 0

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 < −15,8 ∨ ( 𝑥 > 5 ∧ 𝑥 < 15,8)

Den første løsningsmængde bortkastes, da 𝑥 < 0. Vi ser, at hele anden løsningsmængde ligger inden for funktionens definitionsmængde. Overskuddet er således positivt i hele intervallet ]5;15,8[.

b)

Vi søger et maksimum ved at finde nulpunkter for 𝑃′:

𝑃^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −7,61 ∨ 𝑥 = 10,9

Første løsning bortkastes, da 𝑥 < 0. Fortegnet for 𝑃^{′} undersøges nu på begge sider af nulpunktet.

𝑃^{′} ( 10) = 2

𝑃^{′} ( 11) ≈ −0,12

Da 𝑃 går fra at være voksende (𝑃^{′} > 0) til at være aftagende (𝑃^{′} < 0), er der tale om et lokalt maksimum.

Da dette er det eneste ekstremum i definitionsmængden er der desuden tale om et globalt maksimum. Den afsætning, som giver det største overskud er således 10,9 tons.

Overskuddet bestemmes nu som:

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

3

𝑃 ( 10,9) ≈ 31

Dvs. at det maksimale overskud er på 31.000 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

4

Opgave 8 a)

Der må gælde, at:

𝑓^{′} < 0 i de intervaller, hvor 𝑓 er aftagende.
𝑓^{′} > 0 i de intervaller, hvor 𝑓 er voksende.
𝑓^{′} = 0, når 𝑓 har et ekstremum.

Vi ser nu, at ovenstående kriterier kun er opfyldt, hvis 𝐵 er grafen for 𝑓 og 𝐴 er grafen for 𝑓′.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

5

Opgave 9 a)

Data fra filen ost optælles i WordMat, og et histogram med intervallængden 10 gram tegnes: b)

Vi beregner en række deskriptorer vha. WordMat:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 792
Median | 800
Øvre | 808

Obs. Fraktil

Middeltal

800

Spredning

11,4

Vi aflæser nu, at:

Gennemsnittet (middeltallet) er 800 g.

Medianen er 800 g.

25%-fraktilen (nedre kvartil) er 792 g.

25 830

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

6 c)

Sandsynligheden kan bestemmes som arealet under grafen for normalfordelingens tæthedsfunktion i

intervallet: ]−∞,780]

Dette areal bestemmes i WordMat:

Normalfordeling Tæthedsfunktion

Middelværdi: 800

Spredning: 12

Grafvindue

X X min maks

750 850

Areal under frekvensfuntion

X X min maks

780 4,78%

Sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt ost vejer mindre end 780 gram er 4,78%.

d)

Der er foretaget en analyse af en stikprøve på 150 tilfældigt udvalgte oste i 800 grams indpakninger, og det har vist sig, at deres vægt fordeler sig som på histogrammet herunder:

Ostene vejer i gennemsnit 800 g. Der er desuden lige mange oste, der vejer over 800 g som oste, der vejer under 800 g. 25% af ostene vejer højst 792 g. Hvis antager, at ostenes vægt er normalfordelt med en middelværdi på 800 g og en spredning på 12 g, vil der være en sandsynlighed på under 5% for, at en tilfældigt udvalgt ost vejer mindre end 780 g.

25 830

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

50

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

7

Opgave 10 a)

Data fra filen kvittering optælles og opstilles i et skema:

Ikke Udsalg Total udsalg

Fejl 60 53 113

Ikke fejl 323 128 451

Total 383 181 564 b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Hvorvidt der er fejl på en kvittering eller ej er uafhængigt af, om varen er en udsalgsvare eller ikke en

udsalgsvare.

                                                   2
Vi tester nu nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau vha. en 𝜒 -uafhængighedstest:

χ²-test

Observationer I alt

60 53 113

323 128 451

I alt 383 181 564

P-værdi: 0,02%

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,02% < 5% forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. På et 5%-signifikansniveau må vi

således afvise dagligvarebutikkens påstand.

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

8

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 11A a)

Data fra filen pris-afsætning anvendes i Excel til at foretage et 𝑥𝑦-plot med tilhørende tendenslinje og regressionslinje:

Vi aflæser og definerer regressionslinjen som en funktion 𝑝(𝑥):

𝑝 ( 𝑥) ≔ −0,0135·𝑥+287,65

b)

Den angivne afsætning kan bestemmes ved at løse:

𝑝 ( 𝑥) = 150

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 10196,3

Afsætningen ved en pris på 150 kr. vil således være ca. 10.200 stk. ifølge modellen.

y = -0,0135x + 287,65
R² = 0,9913

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

Pris i kr.

Afsætning i stk.

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

9

Opgave 11B a)

Kendte størrelser defineres:

Rente: 𝑟 ≔ 0,007

Antal ydelser: 𝑛 ≔ 5· 12

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 60000
               0

Den månedlige ydelse kan nu bestemmes vha. formlen:

𝐴_{0} = 𝑦·

1− ( 1+𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 1228,102

Den månedlige ydelse er således på 1228,10 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Kendte størrelser defineres:

Rente: 𝑟 ≔ 0,008

Ydelse: 𝑦 ≔ 1000

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 60000
               0

Antallet af ydelser kan nu bestemmes vha. formlen:

𝐴_{0} = 𝑦·

1− ( 1+𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 82,06734

Sofie skal således tilbagebetale lånet over 82 faste ydelser á 1000 kr. og en enkelt afsluttende ydelse til afbetaling af en lille restgæld.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

10

Opgave 11C a) 𝑎 angiver funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1, mens 𝑏 angiver funktionstilvæksten, når 𝑦 vokser med

1. Funktionen for det samlede dækningsbidrag 𝑓 i kr. pr. dag bliver så (funktionen defineres):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) ≔ 10𝑥 +15𝑦

Polygonområdet (kriteriefunktionens kapacitetsområde) tegnes:

Hjørnepunkternes koordinater er A(0,0), B(20,0), C(0,24), D(16,16) og E(20,10).

Du kan fx tegne polygonområdet i GeoGebra™. Hjørnepunkternes koordinater kan bestemmes med skæringsværktøjet.

b)

Funktionens maksimum findes i et af hjørnepunkterne. Vi bestemmer funktionsværdierne i alle hjørnepunkterne:

𝑓 ( 0;0) = 0

𝑓 ( 20;0) = 200

𝑓 ( 0;24) = 360

𝑓 ( 16;16) = 400

𝑓 ( 20;10) = 350

Funktionens maksimum findes altså, når ( 𝑥,𝑦) = (16,16)

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

11

Virksomheden skal således producere og afsætte 16 RUBBER og 16 SKINLOOK pr. dag for at opnå det største samlede dækningsbidrag pr. dag.