HF Matematik B 26. maj 2011 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

hfe111-MAT/B-

1

Vejledende besvarelse

HF Matematik B – 26. maj 2011

Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende.

Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

Tips til TI-nSpire findes i slutningen af dokumentet.

Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat.

Opgave 7 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 63° , BC = 6,8 , AB = 4,3

A = 63°
B = 82,70662°
C = 34,29338°

BC = 6,8
AC = 7,57007
AB = 4,3

Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐶^{2} =𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2𝐴𝐶· 𝐴𝐵 · cos ( 𝐴)

63° 7,57 34,3°

82,7°

4,3 6,8

Side 2

hfe111-MAT/B-

2

2. gradsligningen løses for AC

𝐴𝐶 =𝐴𝐵· cos ( 𝐴) + √ 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐵^{2} · sin ( 𝐴)^{2} =7,57007

2. gradsligningen har to løsninger:

𝐴𝐶_{2} =𝐴𝐵· cos ( 𝐴) − √ 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐵^{2} · sin ( 𝐴)^{2} =−3,665752

Men den anden løsninger er negativ, og vi kan jo ikke have negative sidelængder.

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =82,70662°

𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2} 6,8^{2} + 4,3^{2} − 7,57007^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵 2 · 6,8 · 4,3
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 63° − 82,70662°=34,29338°

Af ovenstående udregninger, har vi dermed bestemt vinkel C til 34,3° afrundet til en decimal.

b)

Af udregningerne i a) kan vi bestemme | 𝐴𝐶 | =7,6 afrundet til en decimal.

c)

For din egen skyld, er det altid en god idé at lave en skitse.

Da M deler linjestykket AC i to lige store stykker gælder der at:

𝐴𝑀= 𝐴𝐶= ⋅ 7,57007=3,785035

1 1

2 2

Da vi nu kender en vinkel og to sider i trekanten ABM, kan de resterende vinkler og sider beregnes:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 63° , AM = 3,785035 , AB = 4,3

Side 3

hfe111-MAT/B-

3

A = 63°
B = 52,56607°
M = 64,43393°

BM = 4,247177
AM = 3,785035
AB = 4,3

Længden af siden BM findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝑀= √ 𝐴𝑀^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝑀· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴) = √ 3,785035^{2} + 4,3^{2} − 2 · 3,785035· 4,3· cos ( 63°)
=4,247177

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =52,56607°

𝐵𝑀^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝑀^{2} 4,247177^{2} + 4,3^{2} − 3,785035^{2}
2 · 𝐵𝑀· 𝐴𝐵 2 · 4,247177· 4,3
Vinkel M findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝑀=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 63° − 52,56607°=64,43393°

Af udregningerne i kan vi bestemme | 𝐵𝑀 | =4,2 afrundet til en decimal.

63° 3,79 64,4°

52,6°

4,3 4,25

Side 4

hfe111-MAT/B-

4

Opgave 8 a)

Først defineres sammenhængen mellem dyrets vægt x og vægten af hjernen y, som en funktion f af dyrets vægt:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓(𝑥)=0,0635 · 𝑥^{0,822}

Hjernens vægt, når dyret vejer 100 g beregnes ved at indsætte 𝑥=100 i modellen:

𝑓 ( 100) ≈2,797523

Hjernen vejer altså 2,8 gram afrundet til en decimal når dyret vejer 100 g.

Dyrets vægt, for at hjernen vejer mere end 75 g kan bestemmes ved at løse ligningen

𝑓 ( 𝑥) =75

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=5464,823

Når dyret vejer mere end 5464,8 gram afrundet til en decimal, vejer hjernen mere end 75 gram.

OBS. I det oprindelige eksamenssæt er modellen defineret til 𝑓(𝑥)=0,635 · 𝑥^{0,822}.

I så fald bliver løsningerne

28,0 gram

331,9 gram b)

Da der er tale om en potensfunktion med 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑎=0,822 ved vi at når x ganges med tallet 1 + 𝑟_{𝑥} så
ganges 𝑓 ( 𝑥) med tallet 1 + 𝑟_{𝑦} (jf. A:formel 108, B: formel 68)

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

Vi indsætter 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑟_{𝑥} =25% og løser ligningen:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =0,2013237=20,13237 %

Dermed vejer det største dyrs hjerne ifølge modellen 20,1 % mere end det mindste dyrs hjerne.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

hfe111-MAT/B-

5

Opgave 9 a)

For at bestemme facadens bredde beregnes grafens skæringer med x-aksen, da facadens bredde så kan bestemmes som afstanden mellem skæringspunkterne. Vi bestemmer x-koordinaterne til

skæringspunkterne ved at løse ligningen 𝑓(𝑥)=0

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =− 𝑥^{2} + 35

1

35

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−35 ∨ 𝑥=35

Da begge skæringspunkter ligger på x-aksen, kan afstanden mellem skæringspunkterne bestemmes som

𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒=35 − ( −35) =70

Dermed er bygningen 70 m bred.

Bygningens højde findes som den største værdi f antager. Da f er et andengradspolynomium kan dette beregnes som y-koordinaten til parablens toppunkt.

y-koordinaten for en parabels toppunkt er givet ved (jf. formel 37)

𝑇_{𝑦} = = =35

− ( 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐)

4𝑎

−(0^{2} − 4 ⋅ (−) ⋅ 35)

1

35

4(−)

1

35

Bygningens højde er dermed 35 m.

b)

Tværsnittets areal kan bestemmes som arealet af den punktmængde, der afgrænses af x-aksen og grafen for f.

Arealet af denne punktmængde kan bestemmes som (formel 96)

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ≈1633,333

35

−35

4900

3

Tværsnitsarealet er dermed 1633,3 𝑚^{2} afrundet til en decimal.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Tip: Husk enheden i angivelse af facit. Er der enheder i opgaveteksten, skal resultatet også have enheder.

Side 6

hfe111-MAT/B-

6

Opgave 10 a)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =

2200

1 + 200 · 𝑒^{−0,10·}^{(}

𝑥−25)

𝑓 ( 70) bestemmes: 𝑓 ( 70) ≈682,8482

Dette tal angiver at egetræet ifølge modellen producerer 683 agern om året (afrundet til et helt tal) når det er 70 år gammelt.

b)

Træets alder, når den årlige produktion er 1000 agern om året bestemmes ved at løse ligningen:

𝑓 ( 𝑥) =1000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=ln() · −10 + 25≈76,15996

3

500

Når træet er 77 år gammelt, rundet op til et helt tal, producerer det over 1000 agern årligt.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

hfe111-MAT/B-

7

Opgave 11 a)

Da der er tale om en lineær model, bestemmes a og b ved en lineær regression:

Distance 2300 2500 2700 2900 3100 3300 3500 3700

(meter)

Kondital 40 45 49 54 58 62 67 71

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9992409

𝑦=0,02202381𝑥 − 10,32143

Ud fra regressionen kan vi aflæse 𝑎=0,022 og 𝑏=10,321 begge afrundet til 3 decimaler.

b)

Sammenhængen mellem distancen x og konditallet y, som en funktion f af distancen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =0,02202381𝑥 − 10,32143

Vi definerer den distance manden løber ved første test som 𝑡_{1} og distancen som løbes ved næste test til 𝑡_{2}.

Der gælder at:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑡_{2} =𝑡_{1} + 450

Forskellen i kondital før og efter træning beregnes som:

𝑓 ( 𝑡_{2}) − 𝑓 ( 𝑡_{1}) ≈9,910715

Efter et par måneders træning har manden altså forbedret sit kondital med 9,9 afrundet til en decimal.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

hfe111-MAT/B-

8

Opgave 12 a) f defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =0,25𝑥^{4} − 𝑥^{3} + 𝑥^{2}

For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=1 ∨ 𝑥=2

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af alle nulpunkterne:

𝑓^{′} ( −1) =−6

𝑓^{′} ( 0,5) =0,375

𝑓^{′} ( 1,5) =−0,375

𝑓^{′} ( 2,5) =1,875

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje 𝑥 0 1 2

𝑓^{′} ( 𝑥) - 0 + 0 - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↘ ↗ ↘ ↗

Vi kan dermed konkludere:

f er voksende i intervallerne [ 0,1] og [2,∞[

f er aftagende i intervallerne ] − ∞,0] og [1,2]

f har lokalt minimum for 𝑥=0 og 𝑥=2

f har lokalt maksimum for 𝑥=1

Side 9

hfe111-MAT/B-

9 b)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥_{0} =3

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet (𝑥 ,𝑓(𝑥 )) er givet ved (formel 119)
                                         0    0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0})( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0}) =6 · 𝑥− 15,75

c)

Førstekoordinaten til hvert af de punkter på grafen for f, hvor tangenthældningen er 0,375 kan bestemmes ved at løse ligningen

𝑓^{′} ( 𝑥) =0,375

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0,3486122 ∨ 𝑥 =0,5 ∨ 𝑥=2,151388