HHX Matematik B 2014 18. august - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

1

HHX Matematik B

18. august 2014

Delprøven med hjælpemidler

hhx142-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a) 𝑛 isoleres vha. WordMat:

𝐿=2· 𝑧 ·

𝜎

√

𝑛

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛=4 · 𝜎^{2} ·

𝑧^{2}
𝐿^{2}

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne:

1) Kapitalfremskrivningsformlen er opskrevet, og kendte værdier er indsat.

2) Begge sider er divideret med 50000.

3) Den 10. rod er taget på begge sider.

4) Der er trukket 1 fra begge sider.

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

2

Opgave 7 a)

Data optælles i Excel vha. en pivottabel og opskrives i et skema som det i opgaven angivne:

Kvinde Mand Total

Andet 40 30 70

Arbejdsløshed 122 106 228

Indvandring 44 40 84

Klimaforandringer | 82 | 68 | 150
Konkurrenceevne | 64 | 98 | 162
Velfærd | 56 | 44 | 100

Total 408 386 794 b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem køn og vurdering af største fremtidsudfordring.

                                            2
Hypotesen testes på et 5%-signifikansniveau vha. en 𝜒

-uafhængighedstest ved indsættelse af skemaets

data i WordMats regneark til 𝜒^{2} -test:

χ²-test

Observationer I alt

40 | 30

70

122 106

228

44 | 40

84

82 | 68

150

64 | 98

162

56 | 44

100

I alt 408 386 794

P-værdi: 3,45% sammenhæng

Der er en

Signifikans niveau: 5%

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

3

Da 𝑝=3,45%<5%, forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Med et signifikansniveau på 5%

kan vi således konkludere, at der er en sammenhæng mellem køn og vurdering af største fremtidsudfordring.

c)

Notat til WWF:

En analyse er foretaget på baggrund af 794 danskeres svar på spørgsmålet: ”Hvad ser du som den største udfordring for det danske samfund i fremtiden?”

Svarene fordeler sig på følgende vis:

Kvinde Mand Total

Andet 40 30 70

Arbejdsløshed 122 106 228

Indvandring 44 40 84

Klimaforandringer | 82 | 68 | 150
Konkurrenceevne | 64 | 98 | 162
Velfærd | 56 | 44 | 100

Total 408 386 794

Analysen viser, at der er en statistisk signifikant sammenhæng mellem køn og svar på spørgsmålet. Af skemaet ovenfor fremgår det for eksempel, at mændene i undersøgelsen i højere grad end kvinderne ser konkurrenceevne som den største udfordring.

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

4

Opgave 8 a)

Funktionerne defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0≤𝑥≤14000

𝑝 ( 𝑥) ≔−0,15𝑥+ 3000

𝑑𝑏 ( 𝑥) ≔−0,15𝑥^{2} + 1800𝑥

Vi bestemmer nu:

𝑑𝑏 ( 2800) =3864000

Dækningsbidraget ved en afsætning på 2800 stk. er således 3.864.000 kr.

b)

Grafen for dækningsbidraget er en parabel med ét eneste ekstremum, som er det globale maksimum.

Dette findes ved at løse:

𝑑𝑏^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=6000

Prisen bliver så:

𝑝 ( 6000) =2100

Den pris, som giver det størst mulige dækningsbidrag er 2100 kr. pr. styk.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

5

Opgave 9 a)

Niveaulinjernes ligninger bestemmes:

𝑁 ( 20): 20=2𝑥+ 4𝑦

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=−

𝑥 − 10

2

𝑁 ( 36):36=2𝑥+ 4𝑦

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=−

𝑥 − 18

2

Niveaulinjerne indtegnes nu i GeoGebra sammen med det angivne polygonområde. Hjørnepunkter er bestemt vha. GeoGebra skæringsværktøj.

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

6 b)

Niveauet (funktionsværdierne) vokser, når (𝑥,𝑦) bevæger sig i retning fra 𝑁(20) til 𝑁(36). Den største funktionsværdi skal således findes i hjørnepunktet 𝐴(1,11). Vi indsætter nu punktets koordinater i funktionsforskriften og får så:

𝑓 ( 1;11) =2 · 1 + 4 · 11
=46

Størsteværdien for 𝑓 inden for polygonområdet er altså 46.

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

7

Opgave 10 a)

Et xy-plot med tendenslinje laves i Excel vha. data fra filen campingvogn:

Tendenslinjens ligning aflæses og afrundes, og regressionsmodellen opskrives:

𝑦=0,1037 · 𝑥 − 1061

b)

Vi indsætter 𝑥=130000 i modellen:

𝑦=0,1037 · 130000− 1061
=12420

Kunden forventes således at bruge ca. 12.400 kr. på ekstraudstyr ifølge regressionsmodellen.

y = 0,1037x - 1060,9
R² = 0,9396

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0000

Ekstraudstyr

Salgspris

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

8

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 11A a)

Funktionen defineres og differentieres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =ln ( 𝑥) − 0,2𝑥+ 3 ,𝑥>0

𝑓^{′} ( 𝑥) = − 0,2

1 𝑥

Tallet 𝑓^{′} ( 1) =0,8 betyder, at tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (1,𝑓 ( 1)) har hældningskoefficienten 0,8.

Dette kan fortolkes som funktionens væksthastighed i det pågældende punkt.

b)

Eventuelle stationære punkter bestemmes ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=5

Vi ved, at 𝑓^{′} ( 1) =0,8

Nu bestemmes fortegnet for 𝑓′(𝑥) på højre side af nulpunktet:

𝑓^{′} ( 6) ≈−0,03333333

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje: 𝑥 5

𝑓^{′} ( 𝑥) 0

+ -

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘

Vi kan nu konkludere, at: 𝑓 er voksende i intervallet ]0,5]

𝑓 er aftagende i intervallet [5,∞[

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

9

Opgave 11B a)

De opgivne størrelser defineres:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔200000
               0

Månedlig rente: 𝑟≔0,0033

Antal ydelser: 𝑛≔4 · 12

Ydelsen 𝑦 kan nu bestemmes vha. formlen:

𝐴_{0} =𝑦·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=4512,232

Den månedlige ydelse på lånet er således 4512,23 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer igen de relevante størrelser:

Ydelse: 𝑦≔4512,23

Antal ydelser: 𝑛≔20

Lånets størrelse: 𝐴 ≔200000
               0

Rente: 𝑟≔0,0033

Restgælden umiddelbart efter 20 ydelser kan bestemmes som:

𝑅_{𝑛} =𝐾_{𝑛} − 𝐴_{𝑛}

=𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 𝑦 · ≈120491,6

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

Alle tidligere definitioner slettes.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Vi kan nu opfatte restgælden som et nyt lån med størrelsen 𝐴_{0}, som skal betales tilbage med følgende

betingelser.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

10

Restgæld (”nyt lån”) 𝐴_{0} ≔120491,6

Rente: 𝑟≔0,0049

Ydelse: 𝑦≔4512,23

Vi løser nu:

𝐴_{0} =𝑦·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛=28,68952

Der vil således skulle bruges yderligere 29 ydelser (hvoraf den sidste vil være mindre end resten) på at betale lånet tilbage.

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

11

Opgave 11C a)

Vi kan opfatte produktionen af én CPU som et binomialforsøg, hvor sandsynlighed for succes (fejl i CPU’erne) er 2%. Vi lader 𝑋 angive antallet af fejl i sendingen på 180 stk. 𝑋 vil da være binomialfordelt:

𝑋~𝑏(180;0,02)

Vi bestemmer nu 𝑃 ( 𝑋>5) =𝑃(6≤𝑋≤180) i WordMat:

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,02 P(X≤)=
n= 180 P( 6 ≤X≤ 180)= 0,153922

Sandsynligheden for, at der er mere end 5 CPU’ere med fejl i en sending på 180 er således på ca. 15,4%.

b)

Vi konstaterer, at 𝑛>30. Da 𝑝 er tæt på 0, skal vi tjekke om følgende ulighed er opfyldt (𝐼):

𝑛 · 𝑝>5

Vi indsætter 𝑛=300 og 𝑝=0,02:

300 · 0,02>5

⇕

6>5

Vi ser, at uligheden er opfyldt og bestemmer så i GeoGebras sandsynlighedslommeregner et konfidensinterval for den sande værdi af 𝑝 ud fra oplysningerne fra leverancen:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

156

169

P(X=r)

r

Binomialfordeling

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

12

Vi aflæser konfidensintervallet (nedre/øvre grænse):

[0,013;0,054]

Vi har, at: 𝑝_{𝑓ø𝑟} =0,02 samt at 𝑝̅_{𝑛𝑢} =0,0333. Det ser umiddelbart ud til, at andelen er steget. Vi vil nu

undersøge om denne stigning er statistisk signifikant. Hvis stigningen er signifikant, skal 𝑝 ligge til
                                                                        𝑓ø𝑟

venstre for konfidensintervallet. Dette efterlader en sandsynlighed på under 2,5% for, at 𝑝 =𝑝 . Vi ser
                                                                         𝑓ø𝑟   𝑛𝑢

nu, at dette ikke er tilfældet, da 𝑝
                           𝑓ø𝑟

ligger indenfor konfidensintervallet for 𝑝
                                 𝑛𝑢

. Vi kan således ikke på et

2,5% signifikansniveau afvise, at andelen af CPU’ere med fejl er uændret og dermed fortsat kan forventes at være 2%.

(𝐼): Det er vigtigt at kende betingelserne bag de formler, man bruger, men da det ikke ligger inden for HHX-pensum at kunne bestemme konfidensintervaller med andre metoder end den anvendte her i opgaven, vil man nok ikke opleve, at betingelserne ikke er opfyldt. Hvis man alligevel oplever meget små eller store værdier af 𝑝 eller værdier af 𝑛 som nærmer sig 30 eller kommer under 30, kan det dog være en god idé lige at efterprøve det. Herunder præsenteres betingelserne bag den anvendte metode:

For at bestemme et 95%-konfidensinterval benytter vi, at de skøn over 𝑝, vi kan bestemme ved at udtrække stikprøver af størrelsen 𝑛, er tilnærmelsesvist normalfordelt som:

𝑋 ~𝑁(𝜇=𝑝,𝜎=)

̅ √

𝑝 · ( 1 − 𝑝)

𝑛

Dette gælder hvis:

𝑋 er en binomialfordelt stokastisk variabel

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

13

𝑋~𝑏 ( 𝑛,𝑝)

En ny stokastisk variabel er defineret som

𝑋 =

̅

𝑋 𝑛

Stikprøvestørrelsen er mindst 30

𝑛≥30

Hvis 𝑝 er tæt på 0, skal der gælde, at

𝑛 · 𝑝>5

Hvis 𝑝 er tæt på 1, skal der gælde, at

𝑛 · ( 1 − 𝑝) >5