HHX Matematik B 2015 17. august - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

1

HHX Matematik B

17. August 2015

Delprøven med hjælpemidler

hhx152-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Forklaringer til linjerne findes herunder:

1) Formlen for den gennemsnitlige rente er skrevet op

2) Der er indsat, at: 𝑟_{1} = 0,04, 𝑟_{2} = 0,07 og 𝑟 = 0,05. Herefter er der lagt 1 til på begge sider.

3) Begge sider er opløftet i tredje potens.

4) Begge sider er divideret med 1,1128.

5) 1 er trukket fra på begge sider, hvorefter der er omregnet til procent og afrundet til 2 decimaler.

b)

Vi isolerer 𝑟 vha. WordMat:
         3

𝑟 = √^{3} ( 1 + 𝑟_{1}) · ( 1 + 𝑟_{2}) · (1 + 𝑟_{3})

⇕ Ligningen løses for r_3 vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

2

𝑟_{3} = −

( 𝑟_{1} + 1) · 𝑟_{2} + 𝑟_{1} − 𝑟^{3} + 1
( 𝑟_{1} + 1) · 𝑟_{2} + 𝑟_{1} + 1

                 ( 𝑟 +1
                   1
Vi har nu, at: 𝑟 = −           .
            3
                   ( 𝑟
                    1

) ·𝑟_{2} +𝑟_{1} −𝑟^{3} +1
+1) ·𝑟_{2} +𝑟_{1} +1

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

3

Opgave 7 a)

Et 𝑥𝑦-plot foretages i Excel og indsættes herunder: b)

Data indsættes i en tabel herunder, og der udføres eksponentiel regression i WordMat:

Antal år efter 1996 Entréindtægter i mio.

kr.

0 | 64,9
1 | 71,2

2 84

3 | 91,7

4 | 100,7

5 103

6 | 105,1
7 | 115,5
8 | 139,6

9 147

10 | 157,1
11 | 159,3
12 | 163,3
13 | 165,4
14 | 177,2
15 | 172,1
16 | 182,6

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

2 14 16 18

Entréindtægter i mio. kr.

Antal år efter 1996

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

4

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9406755

𝑦 = 73,74021 · 1,066241^{𝑥}

Vi kan nu definere vores model: 𝑓(𝑥) ≔ 73,74021 · 1,066241^{𝑥}

Modellen er af typen 𝑓(𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Om vækstraten 𝑟 gælder så, at:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,066241 − 1
= 0,066241

≈ 6,62%

Målsætningen om en årlig 5%-stigning er således opfyldt.

c)

Vi løser nu:

𝑓 ( 𝑥) = 250

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 19,03531

Da 𝑓 er en voksende funktion (𝑟 > 0), kan vi konkludere, at 𝑓 ( 19) < 250 og 𝑓 ( 20) > 250.

𝑓(20) svarer til entréindtægterne i år 1996 + 20 = 2016. Ifølge modellen vil entréindtægterne således

overstige 250 mio. kr. i år 2016.

d)

Tivolis entréindtægter har været stigende hvert år i perioden 1996-2013. Indtægterne er med nogenlunde

tilnærmelse (𝑅^{2} = 0,94) steget eksponentielt med en årlig vækstrate på ca. 6,62%. Målsætningen om 5%

årlig vækst er således opnået med en fin margin. Hvis den hidtidige udvikling kan fremskrives, må det forventes, at entréindtægterne overstiger 250 mio. kr. i år 2016.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

5

Opgave 8 a)

Data optælles i Excel vha. en pivottabel, og resultatet indsættes i et skema:

18-29 år 30-49 år Total

Betinget dom | 75 | 97 | 172
Bøde | 33 | 40 | 73
Samfundstjeneste | 52 | 24 | 76
Ubetinget 1-5 år | 52 | 67 | 119
Ubetinget 2mdr-11mdr | 59 | 106 | 165
Total | 271 | 334 | 605

b)

Vi opstiller nu en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem de to variable ’alder’ og ’holdning til straf’.

Nulhypotesen kan testes vha. en 𝜒^{2} -uafhængighedstest. Dette gøres i WordMat med et signifikansniveau

på 5%. VI får følgende resultat: χ²-test

Observationer I alt Forventede I alt

75 | 97

172 | 77,04463 | 94,95537 | 172

33 | 40

73 32,69917 40,30083 73

52 | 24

76 34,04298 41,95702 76

52 | 67

119 | 53,30413 | 65,69587 | 119

59 106

165 | 73,90909 | 91,09091 | 165

I alt 271 334 605 271 334 605

P-værdi: 0,01% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,01% < 5%, forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Alder har således betydning for

holdningen til straf.

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

6

Opgave 9 a)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑉𝐸 ( 𝑥) = 0,015𝑥^{2} − 0,6𝑥 + 45, 𝑥 ≥ 0

Nu bestemmes:

𝑉𝐸 ( 100) = 135

De variable enhedsomkostninger ved en produktionsmængde på 100 liter er således 135 kr.

b)

Funktionen er et andengradspolynomium på formen 𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 (dog med begrænset

definitionsmængde). Da 𝑎 > 0, har funktionen globalt minimum i:

𝑥 = −

𝑏

2𝑎

= −

−0,6
2 · 0,015
= 20

Den produktionsmængde, som giver de mindste variable enhedsomkostninger er 20 liter.

c)

Forskriften bestemmes vha. WordMat:

𝐶 ( 𝑥) = 𝑉𝐸 ( 𝑥) · 𝑥 + 50000 = 𝑥 · ( 0,015 · 𝑥^{2} − 0,6 · 𝑥 + 45) + 50000

Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.

0,015 · 𝑥^{3} − 0,6 · 𝑥^{2} + 45 · 𝑥 + 50000

Forskriften for de samlede produktionsomkostninger kan nu defineres:

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,015𝑥^{3} − 0,6𝑥^{2} + 45𝑥 + 50000

Der gælder stadig, at 𝑥 ≥ 0

Vi løser nu:

𝐶 ( 𝑥) = 63500

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 100

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

7

En produktionsmængde på 100 liter svarer således til samlede produktionsomkostninger på 63.500 kr.

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

8

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 10A a)

Vi anvender WordMats regneark til normalfordelinger og indtaster de angivne kriterier. Sandsynligheden

kan bestemmes som arealet under frekvensfunktionen i intervallet ] − ∞, 48]:

Normalfordeling

Middelværdi: 50

Spredning: 1,2

Grafvindue

X_{min} X_{maks}

45 55

Areal under frekvensfuntion

X_{min} X_{maks}

48 4,78% b)

Et 95%-konfidensinterval for stikprøven bestemmes i GeoGebra i WordMat vha. dens sandsynlighedslommeregner:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

53 55

Frekvensfunktion

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

9

Et 95%-konfidensinterval for middelværdien af indholdet ud fra stikprøven er således [49,51;50,09].

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

10

Opgave 10B a)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 𝑥 + 1 − ln ( 𝑥), 𝑥 > 0

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 1 −

1 𝑥

For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for 𝑓ʼ. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af [nulpunktet/alle nulpunkterne]:

𝑓^{′} ( 0,9) ≈ −0,1111111

𝑓^{′} ( 1,1) ≈ 0,09090909

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:

1 ekstremumspunkt 𝑥 1

𝑓^{′} ( 𝑥) - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↘ ↗

Vi kan dermed konkludere:

f er voksende i intervallet [1,∞[

f er aftagende i intervallet [0,1]

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

11 b)

Hældningen af en tangent til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt (𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) er givet ved 𝑎_{𝑡} = 𝑓′(𝑥_{0}).

Punktets førstekoordinat bestemmes nu ved at løse

𝑓^{′} ( 𝑥) =

1

2

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2

Andenkoordinaten bestemmes som: 𝑓 ( 2) ≈ 2,306853

Vi har nu bestemt koordinatsættet til røringspunktet for den beskrevne tangent (her afrundet):

𝑅(2; 2,307).

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015

12

Opgave 10C a)

Kristians kapital kan fremskrives 12 terminer vha. formlen for kapitalfremskrivning. Indgående størrelser defineres:

Startkapital: 𝐾 ≔ 15000
            0

Rente: 𝑟 ≔ 0,0015

𝐾_{12} er slutkapitalen

𝐾_{12} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{12} = 15272,238

Umiddelbart efter den 1/1-2016 vil der således stå 15.272,24 kr. på kontoen.

b)

Den samlede slutkapital efter 24 måneder er en sum af to størrelser. Beløbet 15.000 kr. skal fremskrives over 24 terminer, og fremskrivningen af den kapital, som udgøres af de løbende overførsler, kan foretages vha. formlen for fremskrivning af en annuitet.

Der sker 13 overførsler (ydelser) af 800 kr. hver.

Ydelsen defineres: 𝑦 ≔ 800

Vi definerer nu de to størrelser, som tilsammen udgør slutkapitalen:

𝐴_{13} ≔ 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{13} − 1

𝑟

𝐾_{24} ≔ 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{24}

Slutkapitalen kan nu beregnes som:

𝐾_{𝑠𝑙𝑢𝑡} = 𝐾_{24} + 𝐴_{13} ≈ 26043,54

Den 1/1 2017 vil der stå 26.043,54 kr. på kontoen.