HHX Matematik B 2016 17. august - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

1

HHX Matematik B

17. august 2016

Delprøven med hjælpemidler

hhx162-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Funktionerne og definitionsmængden defineres:

𝑅 ( 𝑥) ≔ −25𝑥^{2} + 32400𝑥

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,03𝑥^{3} − 48𝑥^{2} + 27600𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1200

Side 2

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

2

Graferne tegnes: b)

Dækningsbidraget er givet ved:

𝑑æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑏𝑖𝑑𝑟𝑎𝑔 = 𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟

⇕

𝐷𝐵 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶(𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝐷𝐵 ( 𝑥) = −0,03 · 𝑥^{3} + 23 · 𝑥^{2} + 4800 · 𝑥

Ovenstående udtryk stemmer overens med dækningsbidraget oplyst i opgaveteksten.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

1) Dækningsbidraget differentieres og sættes lig nul. Dækningsbidraget skal optimeres. Den maksimale værdi for dækningsbidraget findes ved at differentiere og sætte udtrykket lig 0.

2) Dækningsbidraget differentieret er et andengradspolynomium.

3) Ligningen løses som et andengradspolynomium dvs. ved at finde rødderne.

4) Ligningen har 2 løsninger, hvoraf kun 𝑥 = 600 ligger indenfor definitionsmængden.

5) Det konkluderes at, 𝑥 = 600 er maksimum, hvilket stemmer overens med at dækningsbidraget

differentieret er et konkavt andengradspolynomium.

6) Funktionsværdien 𝐷𝐵(600) er beregnet dvs. det størst mulige dækningsbidrag er beregnet til 4680000.

Side 3

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

3

Opgave 7 a)

Data optælles i Excel vha. en pivottabel og opskrives i et skema som det i opgaven angivne:

Begrundelse bil cykel gående kollektiv trafik Hovedtotal afstand 104 152 30 29 315 infrastruktur

36 44 8 12 100 parkeringsforhold

56 158 20 14 248 velkendt butik

37 88 20 12 157

Hovedtotal 233 442 78 67 820 b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem begrundelse og valg af transportmiddel.

                                            2
Hypotesen testes på et 5%-signifikansniveau vha. en 𝜒

-uafhængighedstest ved indsættelse af ovenstående

skema i WordMats regneark til 𝜒^{2} -test:

Testen kopierer ind i Word: χ²-test

Observationer I alt

104 | 152 | 30 | 29

315

36 | 44 | 8 | 12

100

56 | 158 | 20 | 14

248

37 | 88 | 20 | 12

157

I alt 233 442 78 67 820

P-værdi: 0,50% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,50% < 5%, forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Med et signifikansniveau på 5%

kan vi således konkludere, at der er en statistisk signifikant sammenhæng mellem begrundelse og valg af transportform.

Side 4

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

4

Opgave 8 a)

Kendte størrelser defineres:

Antal terminer: 𝑛 ≔ 16

Kvartårlig rente: 𝑟 ≔ 0,02

Hovedstol: 𝐴_{0} ≔ 300000

Den kvartårlige ydelse bestemmes ved annuitetesformlen:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 22095,04

Den kvartårlige ydelse er bestemt til 22095 kr. (afrundet).

b)

Der afdrages med en ydelse på 22095 kr. 16 gange over de 4 år. Det svarer til:

22095 · 16 = 353520

Størrelsen af den samlede renteudgift over de 4 år beregnes ved:

353520 − 300000 = 53520

Størrelsen af den samlede renteudgift over de 4 år er således 53520 kr.

c)

De samlede renteudgifter til lånet fra bank B er:

16 · 20719,50 − 300000 = 31512

De samlede udgifter til lånet fra bank B er:

31512 + 4 · 3000 = 43512

De samlede udgifter til lånet fra bank B er 43512 kr.

Det står klart at lånet fra bank A er dyrere end lånet fra bank B. Med en kvartårlig rente på 1,2 % mod bank A’s 2,0 %, er den kvartårlige ydelse altså mindre for tilbuddet fra bank B. På trods af et årligt gebyr på 3000 kr. er de samlede udgifter på tilbuddet fra bank B stadig mindre end lånet fra bank A.

Side 5

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

5

Opgave 9 a)

Antallet af forsinkede fly (succeser) er binomialfordelt med 𝑛 = 14 og 𝑝 = 0,15. Dvs. 𝑋~𝑏 ( 14; 0,15) Vi
søger 𝑃 ( 𝑋 = 0) vha. WordMats regneark til binomialfordeling. Vi får da:

Sandsynligheden for, at der er 0 aflyste fly beregnes med WordMats skabelon for binomialfordeling:

Binomialfordeling

P(X= 0)= 0,1028
p= 0,15
n= 14

Det aflæses fra binomialfordelingen at 𝑃 ( 𝑋 = 0) = 0,1028 · 100% = 10,28%

Ifølge fordelingen er sandsynligheden, for at 0 fly mellem Ålborg og København er forsinkede, ca. 10,28%.

b)

Den grafiske præsentation af stikprøven over antal forsinkede fly på en 70 dages periode, foretages ved et pindediagram:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

13 14

P(X=r)

r

Binomialfordeling

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6

Hyppighed

Antal forsinkede fly pr. dag

Fordeling af forsinkede fly

Side 6

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

6

Andelen af 0. forsinkede fly pr. dag bestemmes ved:

Det aflæses fra tabellen, at der er 7 dage, hvor der er 0 forsinkede fly. Der er i alt 70 dage dvs.:

𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙% = · 100% = 10%

7

70

Andelen af dage, hvor der er 0 forsinkede fly, er 10 %.

c)

Et 95%-konfidensinterval for andelen af dage med 0 forsinkede fly bestemmes i GeoGebra i WordMat vha.

sandsynlighedslommeregneren. Vi har 7 succeser (dage med 0 forsinkede fly) ud af 70 binomialforsøg. Da får vi:

Et 95%-konfidensinterval for andelen af dage med 0 forsinkede fly aflæses og opskrives afrundet (nedre / øvre grænse):

[ 0,030; 0,170]

Side 7

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

7

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 10A a)

Vi opskriver funktionen:

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 800 · 𝑥 + 1000 · 𝑦

b)

Vi opskriver betingelserne:

Lodning:

50 · 𝑥 + 100 · 𝑦 ≤ 21250

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −0,5 · ( 𝑥 − 425)

Samling:

50 · 𝑥 + 30 · 𝑦 ≤ 10750

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −0,3333333 · ( 5 · 𝑥 − 1075)

Desuden må der selvfølgelig gælde, at:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Kapacitetsområdet indtegnes nu i GeoGebra, og hjørnepunkternes koordinatsæt bestemmes vha.

GeoGebras skæringsværktøj:

Side 8

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

8

Den største funktionsværdi skal findes i et af det polygonformede kapacitetsområdes hjørnepunkter. Vi undersøger de mulige værdier:

𝑓 ( 0; 212,5) = 212500

𝑓 ( 125; 150) = 250000

𝑓 ( 215; 0) = 172000

𝑓 ( 0; 0) = 0

Det størst mulige dækningsbidrag opnås således ved månedlig produktion af 125 MT-ADV2 og 150 MT- UM1.

Side 9

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

9

Opgave 10B a)

Funktionen og definitionsmængden defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 ≥ 0

𝑓 ( 𝑥) ≔ 4𝑥 − 20 𝑥
√

Ekstremum bestemmes:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 6,25

Punktet markeres på grafen 𝑓: b)

Først bestemmes førstekoordinaten til røringspunktet mellem tangenten og grafen 𝑓:

𝑓^{′} ( 𝑥) = −6

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1

Tangentens ligning bestemmes:

𝑦_{𝑡} = 𝑓 ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})
= 𝑓^{′} ( 1) · ( 𝑥 − 1) + 𝑓 ( 1)
= −6𝑥 − 10

Det udgår fra tangentens ligning at tangenten med en hældning på -6 skærer 𝑦-aksen -10.

Side 10

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

10

Opgave 10C a)

Et xy- med tendensline laves i Excel vha. data fra filen bilpriser:

Tendenslinjen aflæses og regressionsmodellen opskrives afrundet og defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,4149𝑥 + 19846

b)

Vi løser ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 180000:

𝑓 ( 𝑥) = 180000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 386006,3

Nyprisen på en bil, der har et værditab over 4 år på 180000, er ifølge modellen 386006 kr. (afrundet til 1 decimal).

y = 0,4149x + 19.846,3529
R² = 0,7926

90000

110000

130000

150000

170000

190000

210000

350000

Værditab over 4 år

Nypris