HHX Matematik B 2017 17. august - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

1

HHX Matematik B

17. august 2017

hhx172-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi bestemmer det gennemsnitlige antal af tilmeldte ved:

𝑥̂ =

4 + 3 + 1 + 9 + 12 + 4 + 17 + 5 + 14 + 11

10

=

80

10

= 8

Det gennemsnitlige antal af tilmeldte er bestemt til 8.

Opgave 2 a)

Vi tegner en graf for en funktion f, der opfylder betingelserne i tekten.

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

3

Opgave 3 a)

−𝑥 + 3 = −6 + √ 𝑥 − 3

Vi undersøger om x = 7 er en løsning til ligningen:

−7 + 3 = −6 + √ 7 − 3

⇕

−4 = −6 + √ 4

⇕

−4 = −6 + 2

⇕

−4 = −4

Vi kan konkludere, at x = 7 er en løsning til ligningen.

Opgave 4 a)

Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel model:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Vi indfører passende variable: f(x) betegner antallet af dollarmillionærer i et land til tiden x antal år efter år 2016.

x betegner x antal år efter år 2016.

b betegner antallet af dollarmillionærer i år 2016, dvs. b er lig 45600.

a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r = 4,5 % bestemmer vi fremskrivningsfaktoren a:

𝑎 = 1 + 𝑟
= 0,045 + 1
= 1,045

Vi opstiller en eksponentiel model:

𝑓 ( 𝑥) = 45600 · 1,045^{𝑥}

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

4

En eksponentiel model, der beskriver udviklingen i antallet af dollarmillionærer i et land efter år 2016 er bestemt til udtrykket herover.

Opgave 5 a)

𝑑 ( 𝑥) = −0,15𝑥 + 300, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1500

𝑠 ( 𝑥) = 0,10𝑥 + 50, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1500

Vi bestemmer ligevægtsmængden ved at løse for x i d(x) = s(x):

𝑑 ( 𝑥) = 𝑠 ( 𝑥)

⇕

−0,15𝑥 + 300 = 0,10𝑥 + 50

⇕

300 = 0,25𝑥 + 50

⇕

250 = 0,25𝑥

⇕

𝑥 =

250

0,25

= 1000

Ligevægtsmængden for varen er bestemt til 1000.

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

5

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Vi giver en forklaring til linjerne.

2𝑒^{𝑥} + 3 = 13

Linje 1: Ligningen er skrevet op.

2𝑒^{𝑥} = 10

Linje 2: Der er blevet trukket 3 fra på begge sider af lighedstegnet.

𝑒^{𝑥} = 5

Linje 3: Der er blevet divideret igennem med 2 på begge sider af lighedstegnet.

𝑥 = 1,609

Linje 4: den naturlige logaritme ln er blevet taget på begge sider af lighedstegnet, således at x = 1,609. Vi kan
konkludere, at x = 1,609 er en løsning til ligningen.

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

6

Opgave 7 a)

Vi definerer forskriften for hhv. C(x) og R(x) samt definitionsmængden for x:

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,02𝑥^{3} − 4,2𝑥^{2} + 480𝑥 + 11890

𝑅 ( 𝑥) ≔ 600𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 ≥ 0

Vi bestemmer produktionsmængderne, hvor omkostninger og omsætning er lige store, ved at løse for x i C(x)

= R(x):

𝐶 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 44,487659 ∨ 𝑥 = 224,92453

Omkostninger og omsætning er lige store ved en produktionsmængde på hhv. 44,5 liter pr. uge (afrundet til

1 decimal) og 225 liter pr. uge (afrundet til hel liter).

b)

Vi bestemmer et udtryk for overskuddet. Overskuddet er givet ved:

𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑 = 𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟

Dvs.:

𝑂 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑂 ( 𝑥) = 120 · 𝑥 − 0,02 · 𝑥^{3} + 4,2 · 𝑥^{2} − 11890

Vi definerer forskriften for overskuddet som funktion af x:

𝑂 ( 𝑥) ≔ 120 · 𝑥 − 0,02 · 𝑥^{3} + 4,2 · 𝑥^{2} − 11890

Vi bestemmer overskuddet ved en produktionsmængde på 150 liter ved at bestemme O(150):

𝑂 ( 150) = 33110

Overskuddet er bestemt til 33110 kr.

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

7 c)

Vi bestemmer det største ugentlige overskud ved at optimere O(x). Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion O’(x):

𝑂^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 153,06624

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion O’:

𝑂^{′} ( 150) = 30

𝑂^{′} ( 160) = −72

Vi har at, at x = 153,06624 er et maksimum.

Vi kan konkludere, at virksomheden opnår størst ugentligt overskud ved en produktion på 153,1 liter af kemikaliet pr. uge (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

8

Opgave 8 a)

Vi bestemmer sandsynligheden for, at få et udbytte på mindst 10 tons hvede pr. hektar på en tilfældigt udvalgt mark i Danmark vha. GeoGebras sandsynligheds lommeregner for normalfordeling, resultatet kopieres herefter ind i besvareselen.

Vi har størrelserne:

𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑣æ𝑟𝑑𝑖 = 𝑥̅
= 8,1

𝑠𝑝𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑛𝑔 = 𝜎
= 1,4

Og vi skal bestemme:

𝑃 ( 10 ≤ 𝑋)

Resultat fra Normalfordeling.

Vi aflæser sandsynligheden for, at udbyttet er mindst 10 tons hvede pr. hektar til:

𝑃 = 0,0874
= 8,74%

Sandsynligheden for at få et udbytter på mindst 10 tons hvede pr. hektar er bestemt til 9 % (afrundet til helt tal).

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

9 b)

Vi bestemmer 10%-fraktilen for udbyttet med GeoGebras sandsynligheds lommeregner for normalfordeling, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Vi har størrelserne:

𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑣æ𝑟𝑑𝑖 = 𝑥̅
= 8,1

𝑠𝑝𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑛𝑔 = 𝜎
= 1,4

Og vi skal bestemme, X, når P = 0,10, dvs. 10 % - fraktilen. Resultat fra normalfordeling:

Vi aflæser 10% - fraktilen for udbyttet til:

𝑋 = 6,3058

10% - fraktilen er bestemt til 6,3 tons hvede pr. hektar (afrundet til 1 decimal).

10%-fraktilen fortæller, at i 10 % af tilfældene vil en tilfældigt udvalgt hvedemark i Danmark give et udbytte på 6,3 tons pr. hektar eller derunder.

c)

Vi bestemmer gennemsnit og spredning for de små landbrug i Excel med data fra filen hvede, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen. Vi benytter følgende kommandoer i Excel:

For gennemsnit: =MIDDEL(”MATRIX”)

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

10

For spredning: =(STDAFV.P(”MATRIX”)

Resultat fra Excel:

Gennemsnit 7,966667

Spredning 1,439687

Gennemsnittet for udbyttet er bestemt til 8 tons hvede pr. hektar (afrundet til helt tal), og spredningen er bestemt til 1,44 tons hvede pr. hektar (afrundet til 2 decimaler).

d)

Da udbyttet antages at være normalfordelt, så bestemmer vi et konfidensinterval for middelværdien ved at bestemme et ’t interval af middel’ med GeoGebras sandsynlighedslommeregner.

Vi har størrelserne:

𝑥̅ = 7,966667

𝑠 = 1,439687

𝑁 = 42

Resultat fra GeoGebra:

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

11

Vi aflæser 95%-konfidensintervallet for middelværdien til:

[ 7,52; 8,42]

Det gennemsnitlige udbytte for landbrugene i sammenslutningen af små landbrug ligger med 95% sandsynlighed mellem 7,52 tons pr. hektar og 8,42 tons pr. hektar.

Vi skal vurdere, om de små landbrug får samme gennemsnitlige udbytte pr. hektar som hele landet. Vi opstiller derfor hypoteserne:

H: µ = 8,1

0

H: µ ≠ 8,1

1

Konfidensniveauet er 95%, så signifikansniveauet er 5%:

100% - 95% = 5%

Da middelværdien for hele landet på 8,1 ligger i 95%-konfidensintervallet

[

7,52; 8,42

]

, så kan vi ikke forkaste

H. Vi kan således ikke afvise på et 5%-signifikansniveau, at de små landbrug får det samme gennemsnitlige

0 udbytte som hele landet.

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

12

Opgave 9 a)

Vi bestemmer (og definerer til senere brug) en forskrift for det samlede ugentlige dækningsbidrag:

𝑓 ( 𝑥; 𝑦) ≔ 100 · 𝑥 + 200 · 𝑦

En forskrift for det samlede ugentlige dækningsbidrag er bestemt til udtrykket herover.

b)

Vi opstiller begrænsninger for produktionen af de to højtalermodeller GIGABOOM og MEGABOOST:

Samleafdeling:

1600 ≥ 1𝑥 + 4𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −0,25 · ( 𝑥 − 1600)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑦 ≤ −0,25 · 𝑥 + 400

Testafdeling:

5500 ≥ 10𝑥 + 10𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −𝑥 + 550

Pakkeafdeling:

3000 ≥ 6𝑥 + 4𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −0,5 · ( 3 · 𝑥 − 1500)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑦 ≤ −1,5 · 𝑥 + 750

Der må desuden selvfølgelig gælde:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Vi indtegner begrænsningerne i GeoGebra og bestemmer koordinatenerne til polygonområdets hjørnepunkter, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

13

Vi aflæser koordinaterne til hjørnepunkterne til A(0, 400), B(0, 0), C(500, 0) D(400, 150) og (200, 350). Vi undersøger dækningsbidraget, i hvert af de 5 hjørnepunkter:

𝑓 ( 0; 400) = 80000
𝑓 ( 0; 0) = 0
𝑓 ( 500; 0) = 50000
𝑓 ( 400; 150) = 70000
𝑓 ( 200; 350) = 90000

Vi kan konkludere, at det størst mulige ugentlige dækningsbidrag opnås ved en produktion af 200 stk.

GIGABOOM og 350 stk. MEGABOOST.

c)

Vi undersøger produktionstiden i hver af afdelingerne med den nuværende produktion på 200 stk.

GIGABOOM og 350 stk. MEGABOOST dvs. x = 200 og y = 350.

Samleafdeling:

𝑃_{𝑡𝑖𝑑} = 1𝑥 + 4𝑦
= 1 · 200 + 4 · 350
= 1600

Der er ikke overskud af tid i samleafdelingen.

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

14

Testafdeling:

𝑃_{𝑡𝑖𝑑} = 10𝑥 + 10𝑦
= 10 · 200 + 10 · 350
= 5500

Der er ikke overskud af tid i testafdelingen.

Pakkeafdeling:

𝑃_{𝑡𝑖𝑑} = 6𝑥 + 4𝑦
= 6 · 200 + 4 · 350
= 2600

Vi kan konkludere, at der er overskudstid i pakkeafdelingen. Vi bestemmer overskudstiden ved:

𝑃_{𝑡𝑖𝑑𝑂} = 3000 − 2600
= 400

Overskudstiden i pakkeafdelingen er bestemt til 400 min.

Side 15

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

15

Kun én af besvarelse af opgaverne 10A, 10B og 10C skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 10A a)

Vi konstruerer et skema som i opgaveformuleringen i Excel med en Pivot-tabel med data fra filen frokost, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Kvinde Mand Total

A Smørrebrød | 371 | 329 | 700
B Sandwich | 71 | 50 | 121
C Salat | 74 | 63 | 137
D Pasta | 26 | 19 | 45
E Varm ret | 80 | 94 | 174
F Spiser ikke frokost | 47 | 39 | 86
G Andet | 55 | 22 | 77
Total | 724 | 616 | 1340

Et skema som i opgaveformuleringen er bestemt til skemaet herover.

b)

Vi opstiller en nulhypotese til at teste om der sammenhæng mellem svar og køn.

Nulhypotese H: Der er ikke sammenhæng mellem danskernes svar på spørgsmålet og deres køn.

0

Vi tester nulhypotesen H med WordMats skabelon for X^{2} -uafhængigheds test. Testen foretages på et 5 -

0 signifikansniveau, og resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Side 16

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

16

Resultat fra test:

Vi forkaster nulhypotesen H på et 5 % signifikansniveau da p-værdien på 1,64% er mindre end

0 signifikansniveauet. Vi kan således konkludere, at der er en sammenhæng mellem danskernes svar og deres køn.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 17

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

17

Opgave 10B a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔ 500000

𝑟 ≔ 0,0033 𝑦 ≔ 4000

Vi bestemmer løbetiden n ved at løse for n i udtrykket herunder for nutidsværdien af en annuitet:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 161,44126

Kunden har 161 måneders løbetid (afrundet ned til helt måned).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer nye kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔ 500000

𝑟 ≔ 0.0033 𝑦 ≔ 4000 𝑡 ≔ 161

Vi har 161 hele ydelser. Vi bestemmer restgælden efter 161 måneder:

𝑅_{161} = 𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

𝑟

≈ 1760,846

Den sidste ydelse er givet ved:

𝑌𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑔æ𝑙𝑑 + 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
= 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑔æ𝑙𝑑 + ( 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑔æ𝑙𝑑) · 𝑟

⇕

Side 18

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

18

𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒 = 1760,846 + ( 1760,846 · 0,0033)

≈ 1766,6568

Den sidste ydelse er bestemt til 1766,7 kr. (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 19

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

19

Opgave 10C a)

Vi bestemmer et xy-plot og opstiller en lineær regressionsmodel, der beskriver sammenhængen mellem alder x og beløb y, i Excel med data fra filen bar, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Et xy - plot der beskriver sammenhængen mellem alder og beløb er bestemt til plottet herover.

Vi aflæser regressionsmodellen fra plottet her over til:

𝐵 ( 𝑥) = 20,653𝑥 − 190,46

En lineær regressionsmodel, der beskriver sammenhængen mellem alder og beløb er bestemt til udtrykket herover.

b)

Vi definerer regressionsmodellen.

𝐵 ( 𝑥) ≔ 20,653𝑥 − 190,46

Vi bestemmer den gennemsnitlige alder på en kunde, der brugte 250 kr. i baren ved at løse for x, når B(x) =

250:

𝐵 ( 𝑥) = 250

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 21,326684

Ifølge modellen var kunden 21 år gammel (afrundet ned til helt år).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

y = 20,653x - 190,46
R² = 0,5181

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

37 42

Beløb (kr.)

Alder (år) xy - plot