HHX Matematik B 2017 19. maj - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

1

HHX Matematik B

19. maj 2017

hhx171-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{3} − 2𝑥^{2} + 3𝑥 − 6

𝑥 = 2

a)

Vi bestemmer f(2):

𝑓 ( 2) = 2^{3} − 2 · 2^{2} + 3 · 2 − 6
= 8 − 8 + 6 − 6
= 0

Da f(2) = 0 er x = 2 en løsning til ligningen f(x) = 0, vi har dermed gjort rede.

Opgave 2 a)

Besvarelsen til alle punkter er aflæst fra bilag 1.

Definitionsmængden for f: f er defineret for x ∈ [-6; 10[

Nulpunkter:

f har nulpunkt i x = 0.

Ekstrema:

f har ekstremum x = 6.

Monotoniforhold: f er aftagende i intervallet [-6; 6] f er voksende i intervallet [6; 10[

Opgave 3 a)

𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥^{2} − 60𝑥 + 28

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

3

Vi bestemmer den afledede funktion f’ ved at differentiere f:

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 2𝑥^{2} − 60𝑥 + 28)^{′} (𝐼)
= 4𝑥 − 60

Den afledede funktion f’(x) er bestemt til udtrykket herover.

Vi løser ligningen f’(x) = 0 for x:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕

4𝑥 − 60 = 0

⇕

4𝑥 = 60

⇕

𝑥 = 15

En løsning til ligningen f’(x) = 0 er bestemt til x = 15.

(I): Differentialkvotienter 𝑓(𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑥^{𝑎} 𝑎𝑥

𝑎−1

𝑘𝑥 𝑘 𝑘 0

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

4

Opgave 4 a)

Medianen aflæses fra bilag 2 ved at bestemme x-værdien for y = 50 %:

Medianen er aflæst til ca. 37 år. Medianen fortæller at 50 % af dagpengemodtagerne i Danmark i år 2012 var under 37 år gammel, og 50 % af dagpengemodtagere i Danmark samme år var over 37 år gammel.

Opgave 5 a)

Produktion, x 100 120

Omkostning, C(x) 4200 4800

Sammenhængen kan beskrives med en lineær funktion:

𝐶 ( 𝑥) = 𝑎 · 𝑥 + 𝑏

Vi bestemmer tallet a ved:

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

4800 − 4200
120 − 100

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

5

=

600

20

= 30

Vi bestemmer tallet b ved:

𝑏 = 𝑦_{1} − 𝑎 · 𝑥_{1}
= 4200 − 30 · 100
= 4200 − 3000
= 1200

Vi opskriver en forskrift for C(x):

𝐶 ( 𝑥) = 30 · 𝑥 + 1200

En forskrift for C(x) er bestemt til udtrykket herover:

Når produktionen øges med 10 stk. så øges omkostningerne med a • 10 dvs.:

𝑎 · 10 = 30 · 10
= 300

Når produktionen øges med 10 stk. så øges omkostningerne med 300 kr.

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

6

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Vi definerer kendte størrelser, hvor n = 10 • 12 = 120:

𝑟 ≔ 0,0033 𝑦 ≔ 8000 𝑛 ≔ 120

Vi bestemmer saldoen på pensionsopsparingen efter 10 år, dvs. efter 120 måneder vha. formlen for fremtidsværdien af en annuitet:

𝐴_{𝑛} = 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

≈ 1175517,3

Efter 10 år står der 1175517 kr. på saldoen (afrundet op til helt tal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi giver forklaringer til udregninger.

Linje 1:

        ( 1+𝑟
𝐴  = 𝑦 ·      : Formlen for fremtidsværdien af en annuitet er skrevet op.
 𝑛

)^{𝑛} −1

𝑟

Linje 2:

                     𝑛
                1,0033
1250000 = 8000 ·       : Kendte værdier er blevet indsat i formlen, og det ses, at antal terminer n er
                  0,0033

−1

den eneste ukendte variabel.

Linje 3:

0,515625 = 1,0033^{𝑛} − 1: Der er blevet divideret igennem med y = 8000 på begge sider og herefter ganget
igennem med r = 0,0033 på begge sider.

Linje 4:

1,0033^{𝑛} = 1,515625: Der er blevet lagt 1 til på begge sider og ligningen er vendt om.

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

7

Linje 5:

𝑛 · ln ( 1,0033) = ln ( 1,515625): Den naturlige logaritme er blevet taget på begge sider, og logaritme
reglen ln ( 𝑎^{𝑥}) = 𝑥 · log ( 𝑎) er blevet benyttet på venstre side.

Linje 6:

𝑛 = 126,22: Der er blevet divideret igennem med ln(1,0033) på begge sider, og n er bestemt til 126,22.

Ib Pedersen skal spare op i 127 måneder.

c)

Vi definerer nye kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔ 1250000

𝑦 ≔ 15000 𝑟 ≔ 0,0033

Vi bestemmer antallet af måneder, hvor Ib kan få udbetalt 15000 kr. om måneder, vha. formlen for antallet af ydelser for nutidsværdien for en annuitet:

𝑛 = −

ln(1 −)

𝐴_{0} · 𝑟

𝑦

ln ( 1 + 𝑟)

≈ 97,610287

Ib kan få udbetalt 15000 kr. om måneden i 97 måneder (afrundet ned til hel måned).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 7 a)

Vi konstruerer et skema som nedenstående med data fra filen entrepreneur i Excel vha. en Pivot-tabel.

Resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen:

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

8

Antal af

Status Status

Alder | Eksisterende iværksætter | Potentiel iværksætter | Hovedtotal
< 20 år | 45 | 13 | 58
21-25 år | 65 | 24 | 89
26-30 år | 75 | 11 | 86
31-40 år | 158 | 32 | 190
41-50 år | 147 | 49 | 196
51-60 år | 61 | 10 | 71

60 år + 15 10 25

Hovedtotal | 566 | 149 | 715

Et skema som i opgaveformuleringen er bestemt til skemaet herover.

b)

Vi opstiller en nulhypotese til at teste, om der er forskel på aldersfordelingen mellem eksisterende og potentielle iværksættere:

Nulhypotese: H_{0}: Der er ikke forskel på aldersfordelingen mellem eksisterende og potentielle iværksættere.

Vi tester nulhypotesen på et 5 %-signifikansniveau vha. WordMats skabelon for X^{2} -uafhængighedstest,

resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Resultat: χ²-test

Observationer

Alder | Eksisterende iværksætter | Potentiel iværksætter | I alt
< 20 år | 45 | 13 | 58
21-25 år | 65 | 24 | 89
26-30 år | 75 | 11 | 86
31-40 år | 158 | 32 | 190
41-50 år | 147 | 49 | 196
51-60 år | 61 | 10 | 71

60 år + 15 10 25

I alt | 566 | 149 | 715

P-værdi: 0,96% sammenhæng

Der er en

Signifikans

niveau: | 5%
Frihedsgrader: | 6
Q-værdi: | 16,

0,4 0,2

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

9

Kritisk Q-værdi: 12,

Da p-værdien på 0,96 % er mindre end signifikansniveauet op 5 % forkaster vi nulhypotesen. Vi kan således konkludere, at der ifølge testen på et 5%-signifikansniveau er en sammenhæng for aldersfordelingen mellem eksisterende- og potentielle iværksættere.

c)

Blandt de 715 adspurgte personer har de 566 været eksisterende iværksættere og de resteredende 149 personer potentielle iværksættere. Det ses ydermere, at størstedelen af de adspurgte personer har været

mellem 31 - 50 år gamle. Med X^{2} -uafhængighedstesten kan vi konkludere, at der på et 5% -

signifikansniveau ifølge testen er en sammenhæng for aldersfordelingen mellem eksisterende- og potentielle iværksættere.

Opgave 8 a)

Vi definerer forskrifterne for hhv. R(x) og C(x) samt definitionsmængden for x:

𝑅 ( 𝑥) ≔ 250 · 𝑥 · 0,997^{𝑥}

𝐶 ( 𝑥) ≔ 55𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 > 0

Vi tegner graferne for R(x) og C(x) i samme koordinatsystem:

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

10

Vi bestemmer den afsætning, hvor omsætningen R(x) er lig de variable omkostninger C(x) ved at løse for x i

R(x) = C(x):

𝑅 ( 𝑥) = 𝐶 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 503,9518

Omsætningen og de variable omkostninger er lige store ved en afsætning på 504 stk. (afrundet op til hel stk.).

b)

Dækningsbidraget er givet ved:

𝑑æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑏𝑖𝑑𝑟𝑎𝑔 = 𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑒𝑟

Dvs.:

𝐷𝐵 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝐷𝐵 ( 𝑥) = 0,997^{𝑥} · 250 · 𝑥 − 55 · 𝑥

En forskrift for dækningsbidraget DB som funktion af afsætningen x er bestemt til udtrykket herover.

Vi definerer forskriften for dækningsbidraget DB(x):

𝐷𝐵 ( 𝑥) ≔ 0,997^{𝑥} · 250 · 𝑥 − 55 · 𝑥

Vi bestemmer det størst mulige dækningsbidrag ved at optimerer DB(x). Vi bestemmer førstekoordinaten til punktet, der betegner det største dækningsbidrag ved at bestemme nulpunkt til den afledede funktion DB’(x):

𝐷𝐵^{′} ( 𝑥) = 0(𝐼)

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 199,49405

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

(I): WordMat har problemer med løse ligningen, vi anbefaler derfor, at tjekke facit med et alternativt CAS-værktøj eller tegne grafen for f til at bestemme den grafiske løsning.

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion DB’:

𝐷𝐵^{′} ( 190) ≈ 5,6209043

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

11

𝐷𝐵^{′} ( 205) ≈ −3,1362115

Vi kan konkludere, at x = 199,49405 er et maksimum.

Vi bestemmer det største dækningsbidrag ved at bestemme DB(199,49405):

𝐷𝐵 ( 199,49405) ≈ 16415,921

Det største dækningsbidrag er bestemt til 16415,9 kr. (afrundet til 1 decimal).

Opgave 9 a)

Vi bestemmer sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt æg vejer mellem 63 og 72 gram vha. WordMats skabelon for normalfordeling, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Vi har:

𝜎 = 12

𝜇 = 70

Resultat fra normalfordeling:

Normalfordeling

Middelværdi: | 70
Spredning: | 12

Grafvindue

X_{min} X_{maks}

20 | 100

Areal under frekvensfuntion

X_{min} X_{maks}

63 72 29%

Sandsynligheden, for at et tilfældigt valgt æg vejer mellem 63 og 72 gram, er bestemt til 29 %.

b)

Vi bestemmer gennemsnit, spredning og kvartilsæt for stikprøven i Excel, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Følgende kommandoer er benyttet i Excel:

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

100

Frekvensfunktion

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

12

Gennemsnit: =MIDDEL(”MATRIX”)

Spredning: =STDAFV(”MATRIX”)

Nedre kvartil: =KVARTIL(”MATRIX”;1)

Median = KVARTIL(”MATRIX”;2)

Øvre kvartil =KVARTIL(”MATRIX”;3)

Resultat (afrundet til et passende antal decimaler):

Gennemsnit | 70
Spredning | 11,67
Nedre kvartil | 62,2
Median | 70
Øvre kvartil | 77,83

c)

Vi bestemmer et 95%-konfidensinterval for middelværdien med GeoGebras sandsynlighedslommeregner, med ”T estimat af middel”, da middelværdien og spredningen betragtes som et estimat bestemt vha.

stikprøven. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Vi har størrelserne:

𝜇̅ = 70

𝜎̅ = 11,67

𝑁 = 1000

Resultat fra GeoGebra:

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

13

Vi aflæser det 95% - konfidensinterval for middelværdien for vægten af æggene (målt i gram) (intervallet er afrundet til 2 decimaler):

[69,28;70,72]

Et 95 % - konfidensinterval for middelværdien for vægten af æggene er bestemt til intervallet herover

(afrundet til 2 decimaler).

Kun én af besvarelse af opgaverne 10A, 10B og 10C skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 10A a)

Vi opskriver (og definerer til senere brug) en formel for dækningsbidraget f(x; y):

𝑓 ( 𝑥;𝑦) ≔ 45𝑥 + 30𝑦

En forskrift f(x; y) for det samlede dækningsbidrag er givet ved udtrykket herover.

Vi opstiller begrænsninger for polygonområdet:

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

14

Solsikkekerner:

600 ≥ 2𝑥 + 1𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −2 · 𝑥 + 600

Majs:

375 ≥ 0,5𝑥 + 1𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −0,5 · 𝑥 + 375

Korn:

350 ≥ 0𝑥 + 1𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 350

Produktionen er desuden selvfølgelig begrænset ved:

𝑦 ≥ 0

𝑥 ≥ 0

Vi indtegner polygonområdet i GeoGebra:

Side 15

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

15

Polygonområdet ses indtegnet herover.

b)

Vi aflæser hjørnepunkterne til hhv. A(0; 350), B(50; 350), C(150; 300), D(300; 0) og E(0; 0). Vi undersøger hjørnepunkterne:

𝑓 ( 0;350) = 10500

𝑓 ( 50;350) = 12750

𝑓 ( 150;300) = 15750

𝑓 ( 300;0) = 13500

𝑓 ( 0;0) = 0

Vi kan konkludere, at virksomheden skal producere 300 stk. normal-blandinger og 150 stk. lux-blandinger pr. dag for at opnå det størst mulige daglige dækningsbidrag.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 10B a)

Vi definerer forskriften for f(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔ 4𝑥^{3} − 5𝑒^{𝑥} + 6

Vi bestemmer nulpunkter til grafen for f:

𝑓 ( 𝑥) = 0(𝐼)

⇕ Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ −1,0154996 ∨ 𝑥 ≈ 0,18664702 ∨ 𝑥 ≈ 1,8993397 ∨ 𝑥 ≈ 3,8375688

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Nulpunkter til grafen for f er bestemt til hhv. x = -1,02, x = 0,19, x = 1,90 og x = 3,84 (afrundet til 2

decimaler).

(I): WordMat har problemer med løse ligningen, vi anbefaler derfor, at tjekke facit med et alternativt CAS-værktøj eller tegne grafen for f til at bestemme den grafiske løsning.

Side 16

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

16

Vi tegner grafen for f: b)

Vi bestemmer den afledede funktion f’ ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 12 · 𝑥^{2} + 𝑒^{𝑥} · −5

Den afledede funktion f’ er bestemt til udtrykket herover.

Vi bestemmer monotoniforhold til grafen for f. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ −0,50216888 ∨ 𝑥 ≈ 1,1432915 ∨ 𝑥 ≈ 3,2047152

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion f’(x):

𝑓^{′} ( −1) ≈ 10,160603

𝑓^{′} ( 1) ≈ −1,5914091

𝑓^{′} ( 2) ≈ 11,05472

𝑓^{′} ( 4) ≈ −80,99075

Side 17

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

17

Vi opskriver monotoniforhold til grafen for f:

f er voksende i intervallerne ]-∞; -0,50] og [1,14; 3,20]

f er aftagende i intervallerne [-0,50; 1,14] og [3,20; ∞[

Opgave 10C a)

Det er oplyst, at sammenhængen for s(x) kan beskrives med en lineær funktion:

𝑠 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Vi bestemmer, derfor en forskrift for s(x) med lineær regression i Excel med data fra filen boligpriser:

Forskriften for s(x), der beskriver sammenhængen mellem kvadratmeterprisen (målt i kr.) på solgte fritidshuse i Jammerbug Kommune og x antal kvartaler efter 2. kvartal år 2009 aflæses fra diagrammet herover:

𝑠 ( 𝑥) = −119,75𝑥 + 17751

En forskrift s(x) er bestemt til udtrykket herover.

b)

Vi forklarer betydningen af parameteren a.

s(x) = ax + b y = -119,75x + 17751
R² = 0,4672

0

5000

10000

15000

20000

25000

25

Kvadratmeterprisen

Kvartaler efter 2. kvartal 2009

Side 18

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017

18

Parameteren a betegner hældningen for den lineære regressionsmodel s(x), dvs. for hvert kvartal efter 2.

kvartal år 2009 falder boligprisen pr. kvadratermeter for et fritidshus i Jammerbugt kommune i gennemsnit med 119,8 kr. (afrundet til 1 decimal).

Vi definerer forskriften for s(x):

𝑠 ( 𝑥) ≔ −119,75𝑥 + 17751

Vi har, at x = 27 betegner 1. kvartal år 2017, dvs. vi bestemmer den forventede kvadratmeterpris 1. kvartal

2017 ved at bestemme s(27):

𝑠 ( 27) = 14517,75

Den forventede kvadratmeterpris 1.kvartal år 2017 er bestemt til 14517,8 kr. (afrundet til 1 decimal).