HHX Matematik B 2009 21. december - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

1

HHX Matematik B

21. december 2009

HHX093-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009

Opgave 1 a

Vi finder 90 %-kvartilen ved at trække en streg fra 90 % til den rammer sumkurven. 90

%-kvartilen forklarer os at 10 % af alle mobiltelefoner er over 20,4 måneder gamle. Resten er yngre.

Vi bestemmer kvartilsættet ved at trække streger på grafen fra 25 %, 50 % og 75 %, således (de stiplede linjer):

Vi kan udfra dette bestemme kvartilsættet til [5,11,17]

Opgave 2 a

Vi differentierer funktionen da den afledede funktion angiver hældningen af tangenten.

𝑓^{′} (𝑥) = 𝑥^{3} + 4𝑥^{2} − 3𝑥

()_{′}

Formel 105 og 106

= 3𝑥^{2} + 8𝑥 − 3

Vi bestemmer nu 𝑓^{′} (1), der angiver hældningen af grafen 𝑓 i punktet.

𝑓^{′} (1) = 3 · 1^{2} + 8 · 1 − 3 = 8

Vi udregner nu y-koordinaten til punktet.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009

𝑓(1) = 1^{3} + 4 · 1^{2} − 3 · 1 = 2

Jvf. formel 103 er tangentens ligning:

𝑦 = 8(𝑥 − 1) + 2

= 8𝑥 − 8 + 2

= 8𝑥 − 6

Vi indtegner denne på bilaget:

Opgave 3 a

Vi regner venstre side ud, og viser at det er lig med højre siden. Til det bruger vi 1.

kvadratsætning der siger at:

(𝑎 + 𝑏)^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏

3

Side 4

Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009

Vi har da:

(𝑥 + 4)^{2} = 𝑥^{2} + 16 + 8𝑥

og dermede er der gjort rede for at udsagnet er sandt.

Opgave 4 a

Vi løser uligheden ved formel 44.

𝑓(𝑥) = 0

⇕

𝑥^{2} + 2𝑥 − 8 = 0

⇕

𝑥 =

−2 ± 2^{2} − 4 · 1 · (−8)

√

2 · 1

⇕

𝑥 =

−2 ± 36

√

2

⇕

𝑥 =

−2 ± 6

2

⇕

𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2

Vi kigger nu på fortegnsvariationen for funktionen.

𝑥 : −5 −4 0 2 3
𝑓(𝑥) : 7 0 −8 0 7
: + − +

Vi indtegner nu begrænsningerne.

4

Side 5

Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009

Opgave 5 a

Ligevægtsprisen findes hvor udbud og efterspørgsel er lige store, altså hvor d(x) = s(x).

Vi løser nu denne ligning.

𝑑(𝑥) = 𝑠(𝑥)

⇕

1_{2} 1_{2}

4 4

𝑥 − 5𝑥 + 24 = 𝑥 + 2𝑥 + 10

⇕

− 5𝑥 + 24 = 2𝑥 + 10

⇕

7𝑥 = 14

⇕

𝑥 = 2

Vi finder nu den pris der tilsvarer denne mængde ved at udregne 𝑆(2).

𝑠(2) = · 2^{2} + 2 · 2 + 10 = 1 + 4 + 10 = 15

1

4

Altså er ligevægtsprisen for varen A 15,00 kr.

5

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

6

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi fremskriver beløbet på 25000 kr. indsat på kontoen 1. januar 2006 til 1. juli 2009, dvs. n = 14.

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}
=25000 · ( 1 + 0,01)^{14}

≈28736,855

Den 1. juli indsættes der 12000 kr. på kontoen, dvs. at der den 1.juli 2009 samlet på kontoen står.

𝐾=28736,855 + 12000

≈40736,855

Saldoen umiddelbart efter indbetaling den 1. juli 2009 er bestemt til 40736,86 kr. (afrundet til 2 decimaler).

Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi antager, at beløbet mellem 1. juli og 1. august bliver forrentet med 1 % pr. kvartal. Vi bestemmer den månedlige rente ved:

( 1 + 𝑟)^{3} − 1=0,01

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟=0,0033222835

Vi fremskriver beløbet på kontoen til den 1. august 2009.

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}
=40736,855 · ( 1 + 0,0033222835)^{1}

≈40872,194

Vi definerer kendte størrelser.

𝐴_{0} ≔40872,194

𝑟≔0,001 𝑛≔60

Vi bestemmer den månedlige ydelse Carsten får udbetalt:

𝑦=𝐴_{0} ·

𝑟

1 − ( 𝑟 + 1)^{−𝑛}

≈702,18412

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

7

Carsten får udbetalt 702,2 kr. (afrundet til 1 decimal) for hver måned de næste 5 år.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

8

Opgave 2 a)

Vi definerer forskriften for f:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 3𝑥

Vi vælger at beskrive funktionen f vha. af de to analysepunkter: Nulpunkter og fortegnsvariation.

Vi bestemmer nulpunkter til grafen for f.

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−3 ∨ 𝑥=0 ∨ 𝑥=1

Grafen for f har nulpunkter i x = -3, x = 0 og x = 1.

Vi undersøger fortegnet for funktionsværdien på begge sider af nulpunkterne:

𝑓 ( −4) =−20

𝑓 ( −1) =4

𝑓()=−0,875

1

2

𝑓 ( 2) =10

Vi opskriver fortegnsvariation for f:

f er negativ i intervallet ]-∞; -3] og [0; 1]

f er positiv i intervallet [-3; 0] og [1; ∞[

b)

Vi tegner grafen, markeringer er foretaget i Paint, resultatet er derefter kopieret tilbage i besvarelsen:

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

9

Nulpunkter for f er markeret med grøn. Funktionens negative interval er markeret med blå, og funktionens positive interval er markeret med rød.

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

10

Opgave 3 a)

Inden vi tegner et diagram, sorterer vi dataet med en Pivot-tabel i Excel, derefter tegner vi et pindediagram til at beskrive fordelingen af solgte støvsugere pr. uge. Pindediagrammet tegnes i WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

b)

Vi vælger at beskrive fordelingen af antal solgte støvsugere pr. uge vha. af de 3 statistiske deskriptorer:

Typetal, Median og kvartilsæt.

Typetal: Typetallet kan aflæses fra diagrammet i opg a) til 2, dvs. at der typisk bliver solgt to støvsugere om ugen.

Median: Medianen bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Median 2

Medianen er bestemt til 2, dvs. at 50 % af gangene bliver der solgt under 2 støvsugere om ugen, og 50 % af gangene bliver der solgt over 2 støvsugere om ugen.

Kvartilsæt: Kvartilsættet bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Mindste | 0
Nedre | 1,5
Median | 2
Øvre | 3
Største | 4

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4

Antal observationer

Antal solgte støvsugere pr. uge

Pindediagram

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

11

Opgave 4 a)

Vi definerer forskriften for f samt definitionsværdien for x:

𝑓 ( 𝑥) ≔−10𝑥+ 2400

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 10≤𝑥 ≤200

Vi har, at omsætningen er givet ved:

𝑂 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥) · 𝑥

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑂 ( 𝑥) =2400 · 𝑥−10 · 𝑥^{2}

En forskrift for omsætningen er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi definerer forskriften for omsætningen:

𝑂 ( 𝑥) ≔2400 · 𝑥− 10 ·𝑥^{2}

Vi bestemmer den afsætning, der giver størst omsætning, ved at optimere O(x).

Vi bestemmer nulpunkter til den afledte funktion O’.

𝑂^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=120

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:

𝑂^{′} ( 110) =200

𝑂^{′} ( 130) =−200

Vi kan konkludere, at x = 120 er et maksimum.

En afsætning på 120 stk. giver den største omsætning.

b) f er injektiv, vi kan derfor bestemme den inverse funktion ved:

𝑓 ( 𝑥) =𝑦=−10𝑥+ 2400

𝑥=

𝑦 − 2400
−10

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

12

Dvs. den inverse funktion som funktion af x er givet ved:

𝑓^{−1} ( 𝑥) =

𝑥− 2400
−10
Vi bestemmer 𝑓^{−1} ( 1850):

𝑓^{−1} ( 1850) =

1850 − 2400
−10
=55

At 𝑓^{−1} ( 1850) er lig 55 betyder, at når stykprisen for varen er 1850 kr. afsættes der 55 varer.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

13

Opgave 5 a)

Vi bestemmer en forskrift for f(x, y):

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) =25 · 𝑥+ 100· 𝑦

En forskrift for den samlede indtægt i parkeringsafgift er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi indtegner niveaukurven N(1500) samt polygonområdet i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Polygonområdet er begrænset af følgende:

5𝑥 + 10𝑦≤350

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤−0,5 · ( 𝑥− 70)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑦≤−0,5 · 𝑥 + 35

Og:

2𝑥 + 10𝑦≤200

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤−0,2 · ( 𝑥− 100)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑦≤−0,2 · 𝑥 + 20

Samt:

𝑥≥0

𝑦≥0

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

14

Illustration fra GeoGebra: c)

Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑡

⇕

25 · 𝑥+ 100 · 𝑦=𝑡

⇕

100𝑦=𝑡 − 25𝑥

⇕

𝑦=− 𝑥+

25 𝑡

100 100

⇕

𝑦=− 𝑥+

1 𝑡

4 100

Vi aflæser niveaulinjernes hældning til -1/4. Da - 0,5 < -1/4 < -1/5 betegner punktet, der giver den størst

mulige samlede indtægt i parkeringsafgift, skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne:

𝑦=−0,2 · 𝑥+ 20

𝑦=−0,5 · 𝑥+ 35

Side 15

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

15

Vi bestemmer skæringspunktet mellem to ovenstående linjer ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=10 ∧ 𝑥=50

Den størst mulige samlede indtægt i parkeringsafgift opnås ved 50 parkeringspladser for biler og 10 parkeringspladser for busser.

Side 16

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

16

Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 6A a)

Vi bestemmer vinkel B med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 15 , AC = 10 , AB = 8

B A = 112,41113°
B = 38,047507°
C = 29,541361°

BC = 15
AC = 10
AB = 8

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation:

𝐵=cos^{−1} ()

𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐶^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵

=cos^{−1} ()

8^{2} + 15^{2} − 10^{2}
2 · 15 · 8
=38,047507°

Vinkel B er bestemt til 38,05° (afrundet til 2 decimaler). Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi bestemmer højden h med WordMats trekantsløser. Vi benytter at højden h svarer til modstående a A katetete til vinkel B i den retvinklede trekant som B udgør sammen med A og røringspunktet for højden h A på siden BC.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 38,047507° , HA = 90° , AB = 8

A AC C

AB BC

Side 17

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

17

A B = 38,047507°
A = 51,952493°
HA = 90°

h = 4,9305172

A

BC = 6,3
AB = 8

Længden af højden h findes vha. sinus:

A

ℎ_{𝐴} =𝐴𝐵· sin ( 𝐵)
=8 · sin ( 38,047507)
=4,9305172

Lænden af højden h er bestemt til 4,9 (afrundet til 1 decimal).

A

B BC HA

AB h A

Side 18

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009

18

Opgave 6B a)

Der er tale om en eksponentiel funktion, da omsætninger falder med 2 % om året:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 ·𝑎^{𝑥}

f(x) betegner omsætningen (målt i kr.) til året x år efter år 2000.

x betegner antal år efter år 2000.

b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. at omsætningen i år 2000 var 942000 kr.

a er fremskrivningsfaktoren med. Vi kender vækstraten r = -2 % og bestemmer fremskrivningsfaktoren:

𝑎= + 1

−2%

100%

=0,98

Vi opskriver (og definerer til senere brug) en forskrift, der beskriver omsætningen x år efter år 2000:

𝑓 ( 𝑥) ≔942000 · 0,98^{𝑥}

En forskrift for omsætningen til året x år efter år 2000 er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi bestemmer året, hvor det forventes at omsætningen kommer under 700000 kr., ved at løse uligheden f(x)

< 700000 for x. Da WordMat har problemer med at løse uligheder, hvori der indgår en eksponent, løser vi i

stedet for x i f(x) = 700000:

𝑓 ( 𝑥) =700000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=14,697285

Omsætningen forventes at komme under 700000 kr. 14,70 (afrundet til 2 decimaler) år efter år 2000 dvs. i

2014.