HHX Matematik B 2010 20. december - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

1

HHX Matematik B

20. december 2010

hhx103-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX B hhx103-MAT/B-

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-delseksamen, 2001.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vo-res løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave nr. 1 (uden hjælp emidler).

(a) At 90%-fraktilen for den summerede frekevens af salgsprisen er 158.000 kr. betyder at

90% af de brugte biler er blevet solgt for højst 158.000 kr.

Kvartilsættet (25%, 50%, 75%) bestemmes ved aflæsning på førsteaksen som projek-

tionen af skæringenspunkterne mellem de rette linier 𝑦 = 0, 25, 𝑦 = 0, 50 og 𝑦 = 0, 75

og sumkurven.

Sættet bestående af disse tre værdierne aflæses af grafen til som de til [70.000, 99.000, 124.000].

Er der vedlagt bilag med sumkurven er det altid lettest at indtegne i hånden.

Opgave nr. 2 (uden hjælp emidler).

(a) Givet er punkterne

(100, 4000) og (150, 4500).

Da det oplyses at forskriften for 𝑓 kan skrives på formen 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 for passende

𝑎, 𝑏 bestemmes først hældningskoefficienten (jf. formel 19).

𝑎 = = = 10.

4500 − 4000 500
150 − 100 50

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX B hhx103-MAT/B-

Nu bestemmes linien gennem punktet (100, 4000) med hældningskoefficienten 10 ved hjælp af formlen (jf. formel 22)

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑦_{𝑦} = 10(𝑥 − 100) + 4000 = 10𝑥 − 1000 + 4000 = 10𝑥 + 3000

Forskriften for 𝑓 er altså

𝑓(𝑥) = 10𝑥 + 3000.

Når man løser ligninger er det en god ide bagefter at kontrollere sine udregninger ved at indsætte de tal man er kommet frem til i ligningen. I forehavende tilfælde kan man krontrollere ved at se at punkterne (100, 4000) og (150, 4500) ligger på grafen for

𝑓(𝑥) = 10 · 𝑥 + 3000.

Opgave nr. 3 (uden hjælp emidler).

(a) Det bemærkes først, at da 𝑓 er et polynomium er 𝑓 differentiabel.

Ved hjælp af regnereglerne for differentation af polynomier bestemmes 𝑓^{′}.
𝑓^{′} (𝑥) = (−𝑥^{2} + 7𝑥 + 2)^{′}

(jf. formel 106)

= (−𝑥^{2})^{′} + (7𝑥)^{′} + (2)^{′}

(jf. formel 105)

= −2𝑥 + 7 + 0
= −2𝑥 + 7

Nu bestemmes 𝑓^{′} (2).
𝑓^{′} (2) = −2 · (2) + 7 = −4 + 7 = 3.

Det ses således at 𝑓^{′} (2) = 3. Det betyder at i en snæver omegn af 𝑥 = 2 vil tilvæksten

i funktionsværdien være 3 gange så stor som variablens tilvækst.

Opgave nr. 4 (uden hjælp emidler).

(a) Arealet af en trekant (jf. formel 34) er givet ved

    1
T =   · 𝑎 · 𝑐 · sin B
    2

Indsættes værdierne fås

    1
T =   · 4 · 5 · 0, 75 = 7, 5.
    2

Arealet af trekanten er altså 7, 5.

Tip: Til delprøven uden hjælpemidler skal man kunne huske alle formlerne om tre-kanter på side 12 og side 13 i Undervisningsministeriets Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen.

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX B hhx103-MAT/B-

Opgave nr. 5 (uden hjælp emidler).

(a) Ifølge nulreglen gælder

(𝑥 − 1) · (3𝑥 + 6) = 0 ⇔ 𝑥 − 1 = 0 ∨ 3𝑥 + 6 = 0.

Da 1−1 = 0 er 𝑥 = 1 en løsning til ligningen. Den anden løsning findes hvor 3𝑥+6 = 0.

3𝑥 + 6 = 0

⇕

3𝑥 = −6

⇕

𝑥 = −6/2 = −2.

Det ses således at den anden løsning er 𝑥 = −2.

Man kunne også gange parenteserne ud og løse ligningen som en almindelig anden-gradsligning. Dette er dog betydeligt mere besværligt, og risikoen for fejl er tilsvarende større. Kan man løse en ligning med nulreglen bør man altid gøre det.

4

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

5

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Inden vi tegner et diagram, sorterer vi datet i Excel med en Pivot-tabel, derefter tegner vi et trappediagram til at beskrive fordelingen at antal kunder i tøjbutikken mellem kl. 15.00 og kl. 16.00. Resultatet kopieres ind i besvarelsen: b)

Vi vælger at beskrive fordelingen med de 3 statistiske deskriptorer: Median, Typetal og Gennemsnit.

Median: Medianen bestemmes med WordMats skabelon for u grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Median 7

Typetal: Typetallet kan let aflæses fra trappediagrammet til 6.

Gennemsnit: Gennemsnittet bestemmes med WordMats skabelon for u grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Gennemsnit 7,45

0%

25%

50%

75%

100%

11

Kumm. Frek.

Antal kunder

Trappediagram

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

6

Opgave 2 a)

Lånets hovedstol svarer til restgælden inden første termin, dvs. at lånets hovedstol er 24 000 kr.

Ydelsen er konstant, og kan derfor beregnes til en tilfældig termin ved:

𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒=𝑎𝑓𝑑𝑟𝑎𝑔 + 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
=987,76 + 480
=1467,76

Ydelsen er bestemt til 1467,76 kr.

Renten er givet ved at dele renteudgiften med restgælden inden terminens ydelse falder dvs.:

𝑟=

480,00

24000,00

=0,02
=2%

Renten er bestemt til 2 %.

b)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔24000

𝑦≔1467,76 𝑟≔0,02 𝑡≔8

Vi bestemmer restgælden umiddelbart efter at den 8. ydelse er betalt:

𝑅_{𝑡} =𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 𝑦 ·

( 𝑟 + 1)^{𝑡} − 1

𝑟

≈15522,09

Ultimo restgæld, efter at den 8. ydelse er betalt, er bestemt til 15522,1 kr. (afrundet til 1 decimal).

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

7

Opgave 3 a)

Vi definerer forskrifterne for C(x) og O(x) samt definitionsmængden for x:

𝐶 ( 𝑥) ≔0,0004𝑥^{3} − 0,4𝑥^{2} + 160𝑥 + 170000

𝑂 ( 𝑥) ≔−0,4𝑥^{2} + 880𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤2200

Vi har at overskuddet er givet ved:

𝑂𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑=𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔

Dvs.:

𝑅 ( 𝑥) =𝑂 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑅 ( 𝑥) =−0,0004 · 𝑥^{3} + 720 · 𝑥− 170000

En forskrift for overskuddet er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi definerer forskriften for overskuddet:

𝑅 ( 𝑥) ≔−0,0004 · 𝑥^{3} + 720 · 𝑥− 170000

Vi bestemmer det maksimale overskud ved at optimerer R(x). Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion R’(x):

𝑅^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=774,5967

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑅^{′} ( 750) ≈45

𝑅^{′} ( 800) ≈−48

Vi kan konkludere at x = 774,5967 er et maksimum, dvs., at det maksimale overskud opnås ved en produktion

og salg af 774,60 tons (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer det maksimale overskud ved at bestemme R(774,5967):

𝑅 ( 774,5967) ≈201806,4

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

8

Det maksimale overskud er bestemt til 201806 kr. (afrundet til helt tal).

c)

Vi bestemmer tangenthældningen for O(x), når overskuddet er størst ved at bestemme O’(774,5967):

𝑂^{′} ( 774,5967) ≈260,3226

Vi bestemmer tangenthældningen for C(x), når overskuddet er størst ved at bestemme C’(774,5967):

𝐶′ ( 774,5967) ≈260,3226

Tangenthældningerne er identiske for det to grafer, når overskuddet er størst. Vi har dermed gjort rede.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

9

Opgave 4 a)

Vi har, at forskriften for f er en eksponentiel funktion:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥}

Tallet 1,03 er fremskrivningsfaktoren a. Med fremskrivningsfaktoren kan vi beregne vækstraten r:

𝑟=𝑎− 1
=1,03 + 1
=0,03
=3%

Ifølge modellen vokser antallet af boliger til salg med 3 % for hver måned efter år 2009.

Vi bestemmer det forventede antal af boliger til sag i august 2010 ved at bestemme f(8):

𝑓 ( 8) =33131 · 1,03^{8}

≈41969,36

Ifølge modellen er der 41969 (afrundet ned til hel bolig) boliger til salg i august 2009.

b)

Vi bestemmer fordoblingskonstanten ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,03)

=23,44977

Fordoblingskonstanten er bestemt til 23,45 måneder (afrundet til 2 decimaler), dvs. at antallet af boliger fordobles for hver 23,45 måned.

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

10

Opgave 5 a)

Vi bestemmer en forskrift for funktionen f(x, y):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =30 · 𝑥+ 20 · 𝑦

En forskrift for det samlede dækningsbidrag pr. dag er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi bestemmer niveaulinjen N(200):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =200

⇕

30𝑥+ 20𝑦=200

⇕

20𝑦=200 − 30𝑥

⇕

𝑦=− 𝑥 +

30 200

20 20

⇕

𝑦=−1,5𝑥+ 10

Niveaulinjen N(200) er bestemt til ovenstående udtryk.

Da -2 < -1,5 < -4/3 betegner punktet, der beskriver det størst mulige samlede dækningsbidrag pr. dag,

skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne:

𝑦=− 𝑥 + 20

4

3

𝑦=−2𝑥+ 28

Vi beregner skæringspunktet mellem to ovenstående ligninger ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=4 ∧ 𝑥=12

Vi kan konkludere, for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag, skal der produceres 12 planglas pr. dag og 4 spejle pr. dag.

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

11

Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 6A a)

Vi bestemmer størrelsen af vinkel A med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: c = 8 , b = 13 , a = 9

B C = 37,35685°
B = 99,59407°
A = 43,04908°

c = 8
b = 13
a = 9

Vinkel C og B findes vha. cosinusrelationer.

𝐶=cos^{−1} ()

𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 𝑐^{2}
2 · 𝑏· 𝑎

=cos^{−1} ()

9^{2} + 13^{2} − 8^{2}
2 · 13 · 9
=37,35685°

𝐵=cos^{−1} ()

𝑎^{2} + 𝑐^{2} − 𝑏^{2}
2 · 𝑐· 𝑎

=cos^{−1} ()

9^{2} + 8^{2} − 13^{2}
2 · 8 · 9
=99,59407°
Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant.
𝐴=180° − 𝐶− 𝐵
=180° − 37,35685° −99,59407°
=43,04908°

Vinkel A er bestemt til 43,05° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi beregner længden af højden h b, som modstående katete til vinkel A i den retvinklede trekant som hjørnerne A, B og røringspunktet for højden h b på siden B danner med hinanden:

sin ( 𝐴) =

ℎ_{𝑏}

𝑐

⇕

C b A a c

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

12

sin ( 43,04908) =

ℎ_{𝑏}

8

⇕ Ligningen løses for h_b vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ_{𝑏} =5,460997

Længden af højden h er bestemt til 5,46 (afrundet til 2 decimaler).

b

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

13

Opgave 6B a)

Vi definerer forskriften for p(x):

𝑝 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} − 4𝑥^{2} + 3𝑥

Vi vælger at beskrive polynomiet med de to analysepunkter: Nulpunkter og fortegnsvariation.

Vi bestemmer nulpunkter til grafen for p(x):

𝑝 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥 =1 ∨ 𝑥=3

Grafen for p(x) har nulpunkter i x = 0, x = 1 og x = 3.

Vi undersøger fortegnet for funktionsværdien på begge sider af nulpunkterne til grafen for p:

𝑝 ( −1) =−8

𝑝()=0,625

1

2

𝑝 ( 2) =−2

𝑝 ( 4) =12

p er negativ i intervallet ]-∞; 0] og [1; 3]

p er positiv i intervallet [0; 1] og [3; ∞[

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 20. december 2010

14 b)

Vi tegner grafen for p, markeringer er foretaget i Paint, og resultatet er derefter kopieret tilbage i besvarelsen:

Nulpunkter er markeret med grøn. Grafens negative interval er markeret med blå, og grafens positive interval er markeret med rød.