HHX Matematik B 2016 25. maj - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

1

HHX Matematik B

25. maj 2016

Delprøven med hjælpemidler

hhx161-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Forklaringer til hver af linjerne er givet herunder:

1) Ligningerne skrives op.

2) 𝑦 isoleres i begge ligninger. I venstre ligning sker dette ved subtraktion af 10𝑥 efterfulgt af division

med 20. I højre ligning sker det ved subtraktion af 90𝑥 efterfulgt af division med −30.

3) De to udtryk for 𝑦 sættes lig med hinanden.

4) Der lægges 0,5𝑥 + 20 til på begge sider. Siderne byttes rundt.

5) Der divideres med 3,5 på begge sider af ligningerne.

6) 𝑥 = 20 indsættes i en af de to udtryk for 𝑦 i linje 2. Man får så uanset valg, at 𝑦 = 40.

Side 2

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

2

Opgave 7 a)

Vi definerer kendte størrelser:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 25000
               0

Månedlig ydelse: 𝑦 ≔ 567

Antal terminer: 𝑛 ≔ 60

Vi anvender så, at:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = −1,928445 ∨ 𝑟 = 0,01071427

Renten er selvfølgelig positiv, så 𝑟 = 0,0107 = 1,07%. Den månedlige rente er således på 1,07%.

25000 = 567 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−60}

𝑟

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = −1,928445 ∨ 𝑟 = 0,01071427

Side 3

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

3

Opgave 8 a)

Vi kopierer udbudspriserne og indsætter dem i WordMats statistikark til rå data. Her tegner vi et histogram med en intervalbredde på 20.000 kr.: b)

Vi udregner en række deskriptorer vha. WordMat:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 49900
Median | 80999
Øvre | 129995

Obs. Fraktil

Middeltal

94107,08

Spredning

60706,33

Vi beskriver nu fordelingen vha. 3 deskriptorer:

Gennemsnitsprisen er 94.107,08 𝑘𝑟.

Spredningen er på 60.706,33 𝑘𝑟.

000

Udbudspris i kr.

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

4

Kvartilsættet (enhed: kr.) er (49900;80999; 129995).

c)

Vi foretager et 𝑥𝑦-plot i Excel og tilføjer en lineær tendenslinje med tilhørende regressionsligning og

                       2
determinationskoefficient 𝑅 :

Vi aflæser tendenslinjens ligning og opstiller på den baggrund en lineær regressionsmodel:

𝑈 ( 𝑥) = 114,74𝑥 + 4644,6

Hvor:

𝑅^{2} = 0,6777

d)

Der er foretaget en undersøgelse af fordelingen af udbudsprisen for 50 motorcykler. Det viser sig, at priserne fordeler sig som vist på histogrammet herunder:

y = 114,74x + 4664,6
R² = 0,6777

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 2000

Udbudspris

Slagvolumen

Udbudspris som funktion af slagvolumen

Side 5

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

5

Den gennemsnitlige udbudspris ligger på 94.107,80 kr., og priserne er spredt omkring dette gennemsnit med en spredning på 60.706,33 kr. De billigste 25% af motorcyklerne koster hver især højst 49.900 kr., mens de dyreste 25% af motorcyklerne hver især koster mindst 129.995 kr. Der er lige mange motorcykler, der koster over som under 80.999 kr.

Desuden er sammenhængen mellem slagvolumen og udbudspris undersøgt. Vi har fundet en lineær sammenhæng, som siger, at der er en grundpris på ca. 4650 kr., som forøges med omkring 115 kr. pr.

kubikcentimeter slagvolumen. Denne model kan forklare omkring 68% af variationen.

000

Udbudspris i kr.

Histogram

Et tern er 4%

Side 6

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

6

Opgave 9 a)

Vi definerer omkostningsfunktionen og beregner funktionsværdien ved en daglig produktion på 𝑥 = 150.

𝐶 ( 𝑥) ≔ 80𝑥 + 40000

𝐶 ( 150) = 52000

Omkostningerne ved en daglig produktion på 150 stk. er på 52000.

b)

Vi definerer omsætningsfunktionen og tegner de to grafer i samme koordinatsystem i intervallet

0 ≤ 𝑥 ≤ 1300

𝑅 ( 𝑥) ≔ −0,25𝑥^{2} + 370𝑥

Vi bestemmer 𝑥-værdierne i skæringspunkterne ved at sætte de to funktioner lig med hinanden og løse ligningen:

𝐶 ( 𝑥) = 𝑅(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 160 ∨ 𝑥 = 1000

Side 7

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

7

Begge skæringspunkter ligger i definitionsmængden for begge funktioner. Vi bestemmer 𝑦-værdierne vha.

𝐶:

𝐶 ( 160) = 52800

𝐶 ( 1000) = 120000

De to skæringspunkter har således følgende koordinatsæt:

𝑆_{1} (160,52800)

𝑆_{2} (1000,120000)

c)

Overskuddet 𝑃(𝑥) defineres som omsætningen 𝑅(𝑥) minus omkostningerne 𝐶(𝑥).

𝑃 ( 𝑥) ≔ 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶(𝑥)

Vi søger evt. lokale maksima vha. nulpunkter for 𝑃′ ved at løse:

𝑃^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 580

Nulpunktet ligger inden for definitionsmængden. Vi undersøger nu, om der er tale om et maksimum ved at bestemme fortegnet for 𝑃′ på begge sider af nulpunktet:

𝑃^{′} ( 500) = 40

𝑃^{′} ( 600) = −10

𝑃 går fra at være voksende (𝑃^{′} > 0) til at være aftagende (𝑃^{′} < 0) i 𝑥 = 580, hvilket vil sige, at der er et
lokalt maksimum i 𝑥 = 580. Da der kun er et ekstremum, må dette maksimum desuden være et globalt

maksimum. Det størst mulige overskud kan nu bestemmes som 𝑃(580):

𝑃 ( 580) = 44100

Det størst mulige overskud er således på 44100.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

8

Opgave 10 a)

Vi lader 𝑓(𝑥, 𝑦) angive den samlede pris for betonblandingen i kr. Funktionsforskriften bliver så:

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) = 20𝑥 + 35𝑦

b)

Den mindste pris opnås i et af hjørnerne af polygonområdet. Vi kan aflæse følgende hjørnepunkter direkte:

(6000,6800)

(6000,10000)

(3000,10000)

De resterende to hjørnepunkter kan bestemmes som skæringspunkter mellem linjen 𝑙: 𝑥 + 𝑦 = 12000

og hhv. 𝑚: 𝑥 = 3000 og 𝑛: 𝑦 = 6800

Vi bestemmer 𝑦-koordinaten til skæringspunktet mellem 𝑙 og 𝑚:

3000 + 𝑦 = 12000

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 9000

Vi bestemmer 𝑥-koordinaten til skæringspunktet mellem 𝑙 og 𝑛:

𝑥 + 6800 = 12000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 5200

De sidste to hjørnepunkter har altså følgende koordinatsæt:

(3000,9000)

(5200,6800)

Vi definerer kriteriefunktionen:

𝑓 ( 𝑥, 𝑦) ≔ 20𝑥 + 35𝑦

Funktionsværdien bestemmes nu i alle hjørnepunkter:

𝑓 ( 6000; 6800) = 358000

Side 9

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

9

𝑓 ( 6000; 10000) = 470000

𝑓 ( 3000; 10000) = 410000

𝑓 ( 3000; 9000) = 375000

𝑓 ( 5200; 6800) = 342000

Vi ser, at den samlede pris er mindst mulig for ( 𝑥, 𝑦) = (5200,6800)

Den samlede pris er således mindst mulig, når betonblandingen indeholder 5200 kg støbesand og 6800 kg cement.

Side 10

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

10

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 11A a)

Vi lader 𝑋 angive antallet af personer i en stikprøve i februar 2015, som vil stemme på Socialdemokraterne.

𝑋 vil da være binomialfordelt. Det vil sige 𝑋~𝑏(𝑛, 𝑝).

Vi opfatter 22,0% som den sande sandsynlighed for, at en tilfældig person i februar 2015 ville stemme på

Socialdemokraterne. Det vil sige 𝑝 = 0,220. Stikprøvestørrelsen er 𝑛 = 200. Sandsynligheden for, at
𝑋 > 50 svarer til sandsynligheden for, at 𝑋 ≥ 51, da 𝑋 er en diskret variabel (antallet af personer skal være

et helt tal). 𝑋 er desuden begrænset opadtil af stikprøvens størrelse, så sandsynligheden kan bestemmes som:

𝑃(51 ≤ 𝑋 ≤ 200)

Vi bestemmer sandsynligheden i WordMats regneark til binomialfordeling:

Vi aflæser, at 𝑃 = 0,1343 = 13,43%

Sandsynligheden for, at der i en stikprøve på 200 personer i februar ville være mere end 50, der ville stemme på Socialdemokraterne, er således på 13,43%.

Side 11

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

11 b)

Vi opfatter 𝑝_{𝑓𝑒𝑏} = 0,220 som den sande værdi i februar. Vi ser, at estimatet for juni på 𝑝̅_{𝑗𝑢𝑛} ≔ 0,251 er

større end den sande værdi for februar. Vi opstiller så en nulhypotese om, at den sande værdi i juni, 𝑝 er
                                                                                  𝑗𝑢𝑛

lig med den sande værdi i februar. Nulhypotesen kan formuleres som:

𝐻_{0}: 𝑝_{𝑓𝑒𝑏} = 𝑝_{𝑗𝑢𝑛}

Vi bestemmer nu et 98%-konfidensinterval for den sande værdi i juni, 𝑝_{𝑗𝑢𝑛}. Der er kun 1% sandsynlighed

for, at 𝑝 ligger til venstre for konfidensintervallet, så hvis det viser sig, at 𝑝 ligger til venstre for
       𝑗𝑢𝑛                                                         𝑓𝑒𝑏

konfidensintervallet, kan vi forkaste nulhypotesen på et 1%-signifikansniveau.

Først skal vi bestemme antallet af personer i stikprøven, hvor 𝑛 ≔ 1737, som ville stemme på Socialdemokraterne (antal succeser). Dette gøres vha.:

𝑝̅_{𝑗𝑢𝑛} =

𝑋 𝑛

⇕ Ligningen løses for X vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑋 = 435,987

≈ 436

Konfidensintervallet bestemmes nu I GeoGebra vha. et ”Z estimat på proportion”:

Vi opskriver 98%-konfidensintervallet for 𝑝 :
                                   𝑗𝑢𝑛

[0,2268;0,2752]

Side 12

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

12

Da 𝑝   = 0,220 < 0,2268, ligger 𝑝 til venstre for konfidensintervallet for 𝑝 . Vi kan således forkaste
    𝑓𝑒𝑏                      𝑓𝑒𝑏                                 𝑗𝑢𝑛

nulhypotesen på et 1%-signifikansniveau. På et 1%-niveau er der altså sket en statistisk signifikant stigning mellem februar 2015 og juni 2015 i andelen af personer, som vil stemme på Socialdemokraterne.

Side 13

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

13

Opgave 11B a)

Data optælles vha. en pivottabel i Excel, hvorefter vi opstiller resultatet i et skema som det angivne:

Ja Måske Nej Total

18-34 | 107 | 117 | 59 | 283
35-54 | 122 | 165 | 118 | 405

55+ 49 121 147 317

Total | 278 | 403 | 324 | 1005

b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er uafhængighed mellem de variable ”aldersgruppe” og ”svar på spørgsmålet”

Nulhypotesen testes på et 5%-signifikansniveau ved at indsætte observationerne fra skemaet i en 𝜒^{2} -

uafhængighedstest i WordMat: χ²-test

Observationer I alt

107 | 117 | 59 | 283
122 | 165 | 118 | 405
49 | 121 | 147 | 317

I alt 278 403 324 1005

P-værdi: 0,00% sammenhæng

Der er en

Signifikans niveau: 5%

Vi ser, at 𝑝 = 0,00% < 5%, hvorfor nulhypotesen forkastes på et 5%-signifikansniveau. Vi konkluderer så,

at der er en statistisk signifikant sammenhæng mellem ”aldersgruppe” og ”svar på spørgsmålet” på et 5%- signifikansniveau.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016

14

Opgave 11C a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{3} + 12𝑥^{2} + 17

Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:

𝑥_{0} ≔ 7

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓(𝑥) med røringspunkt i ( 𝑥_{0}, 𝑓 ( 𝑥_{0})) er bestem ved:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 21 · 𝑥 + 115

Tangenten kan således beskrives ved:

𝑡: 𝑦 = 21𝑥 + 115

b)

Vi sætter 𝑦 = 𝑔(𝑥) og beskrive så tangenten som grafen for en funktion af 𝑥. Vi definerer funktionen:

𝑔 ( 𝑥) ≔ 21𝑥 + 115

Vi bestemmer skæringspunkter mellem graferne for 𝑓(𝑥) og 𝑔(𝑥):

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 7

𝑥 = 7 er førstekoordinaten i røringspunktet, så 𝑥 = −2 må være førstekoordinaten for 𝑃. Vi bestemmer

andenkoordinaten for 𝑃 som:

𝑓 ( −2) = 73

Vi konkluderer, at 𝑡 skærer grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(−2,73).