HTX Matematik B 12. december 2011 Gokartkørsel - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

1

HTX Matematik B 12. december 2011

htx113-MAT/B-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Det blå område.

Arealet af det blå område kan beregnes som arealet af de tre cirkeludsnit med radius på 50cm trukket fra arealet af trekanten.

Arealet af cirkeludsnittene bestemmes vha. følgende formel:

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑢𝑑𝑠𝑛𝑖𝑡} =𝜋· 𝑟^{2} ·

𝑣

360

Vi kender radius:

𝑟_{1} ≔50

Og centervinklen:

𝑣_{1} ≔60

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑢𝑑𝑠𝑛𝑖𝑡} =𝜋· 𝑟_{1}^{2} ·

𝑣_{1}

360

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑢𝑑𝑠𝑛𝑖𝑡} ≔1308,997

Vi bestemmer arealet af trekanten:

𝐴_{𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡} = · 𝑎· 𝑏· sin ( 𝐶)

1

2

Da trekanten er ligesidet er længden af a og b ens. Vi bestemmer sidelængden:

𝑎=50 · 3

Side 2

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

2

=150

                          o
Trekantens vinkler er alle lig 60 . Vi bestemmer arealet:

𝐴_{𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡} = · 150 · 150 · sin ( 60)

1

2

𝐴_{𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡} ≔9742,786

Arealet af det blå område er derved:

𝐴_{𝑏𝑙å} =𝐴_{𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡} − 3 · 𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑢𝑑𝑠𝑛𝑖𝑡}
𝐴_{𝑏𝑙å} ≔5815,795

Arealet af det blå område er 5815,8 cm^{2}.

Det røde område.

Vi bestemmer arealet af cirkelafsnittet vha. følgende formel:

𝐴= · 𝑟^{2} · ( − sin ( 𝑣))

1 𝑣· 𝜋

2 180

Hvor r er cirklens radius og v er centervinklen.

Vi bestemmer radius:

𝑟_{2} =

260

2

𝑟_{2} ≔130

Vi bestemmer størrelsen af centervinklen ved at danne en trekant med radius og cirkelkorden som sider. Vi kender alle sidelængder i trekanten og kan derved bestemme alle vinkler vha. WordMat:

WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 50, b = 130, c = 130

B A = 22,17498°
B = 78,91251°
C = 78,91251°

a = 50
b = 130
c = 130

Vinkel A findes vha. cosinusrelationer

A b C c a

Side 3

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

3

𝐴=cos^{−1} ()

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2}
2 · 𝑏 · 𝑐

=cos^{−1} ()

130^{2} + 130^{2} − 50^{2}
2 · 130 · 130
=22,17498°

Vi definerer centervinklen:

𝑣_{2} ≔22,17498

Vi bestemmer arealet af cirkelafsnittet:

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡} = · 𝑟_{2}^{2} · ( − sin ( 𝑣_{2}))

1 𝑣_{2} · 𝜋

2 180

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡} ≔81,03527

Arealet af det røde område er 81,04 cm^{2}.

Det gule område.

Arealet af det gule rektangel bestemmes:

𝐴_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙} =𝑙· 𝑏

Hvor l er længden og b er bredden. Vi kender bredden: 𝑏≔50

Længden l bestemmes. Vi opstiller en retvinklet i den store trekant og bestemmer længden af den korte katete:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 90°, C = 30°, b = 75

Længden af siden c findes vha. tangens

𝑐=𝑏· tan ( 𝐶)

A b C

B c a

Side 4

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

4

=75 · tan ( 30)

𝑐≔43,30127

Vi bestemmer pilhøjden i cirkelafsnittet:

𝑝=𝑟_{2} · (1 − cos())

𝑣_{2}

2 𝑝≔2,426492

Længden af rektanglet bestemmes:

𝑙=𝑟_{2} − 𝑝 − 𝑐

𝑙≔84,27224

Arealet af rektanglet bestemmes:

𝐴_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙} =𝑙· 𝑏
𝐴_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙} ≔4213,612

Arealet af det gule område er 4213,6 cm^{2}.

b)

Arealet cirkelringen bestemmes:

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑟𝑖𝑛𝑔} =𝜋· ( 𝑅^{2} − 𝑟^{2})

Hvor R er radius af den yderste cirkel og r er radius i den inderste cirkel.

𝑅=

280

2

=140

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑟𝑖𝑛𝑔} =𝜋· ( 140^{2} − 130^{2})

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑟𝑖𝑛𝑔} ≔8482,3

Det samlede areal af aluminiumpladen bestemmes:

𝐴_{𝑎𝑙𝑢} =𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑟𝑖𝑛𝑔} + 3 · ( 𝐴_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙} + 𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡}) + 𝐴_{𝑏𝑙å}

≈27182,04

Det samlede areal af aluminiumpladen er 27182,04 cm^{2}.

Side 5

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

5 c)

Forskriften for ligningen afhænger af, hvor vi placerer centrum i koordinatsystemet. Vi placerer centrum i

(0,0):

Cirklens ligning bestemmes på følgende form:

( 𝑥− 𝑎)^{2} + ( 𝑦 − 𝑏)^{2} =𝑟^{2}

Hvor (a,b) er centrums koordinater og r er radius.

Cirklens har følgende ligningen:

( 𝑥− 0)^{2} + ( 𝑦 − 0)^{2} =𝑟^{2}

⇕

𝑥^{2} + 𝑦^{2} =140^{2}

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: d)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔−0,0167𝑥^{3} + 0,3165𝑥^{2}

Grænseværdierne a og b er givet i opgaven: 𝑎≔0 𝑏≔17

Side 6

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

6

Vi bestemmer længden af banekurven:

𝐿=∫ √ 1 + 𝑓^{′} ( 𝑥)^{2} 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

≈30,75115

Banekurven er 30,8 meter lang.

e)

Vi sætter x=6,32:

𝑓 ( 6,32) ≈8,426089

P’s y-koordinat er 8,43. P har derved følgende koordinatsæt:

𝑃=(6,32;8,426089)

f)

Hældningskoefficienten for tangenten i p bestemmes ved at differentiere f i p:

𝑓^{′} ( 6,32) ≈1,999446

Tangents hældningskoefficient er lig 2,0.

g)

Vi har følgende sammenhæng mellem tangentens hældningskoefficient og vinklen mellem tangenten og x-aksen:

tan ( 𝑣) =𝑎

Hvor a er hældningskoefficienten og v er vinklen til vandret.

tan ( 𝑣) =1,999446

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=63,4286

Tangenten danner en vinkel på 63,43^{o} med vandret.

h)

Tangenten gennem punktet ( 𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) er givet ved:

Side 7

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

7

𝑦=𝑓 ( 𝑥_{0}) + 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0})

Vi indsætter p’s koordinater:

𝑦=𝑓 ( 6,32) + 𝑓^{′} ( 6,32) · ( 𝑥− 6,32)
≈1,999446 · 𝑥 − 4,210408

Tangentens ligning er følgende:

𝑦=1,999446 · 𝑥− 4,210408

i)

Vi bestemmer koordinaterne til det punkt, hvor gokarten rammer banden:

20,3=1,999446 · 𝑥− 4,210408

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=12,2586

Gokarten rammer banden i punktet A:

𝐴= ( 12,2586;20,3)

Vi bestemmer afstanden mellem punkt A og P vha. afstandsformlen:

𝐴𝑃= √ ( 𝑥_{1} − 𝑥_{2})^{2} + ( 𝑦_{1} − 𝑦_{2})^{2}

= ( 12,2586 − 6,32)^{2} + ( 20,3 − 𝑓 ( 6,32))^{2}

√

≈13,27617

Gokarten kører 13,3 meter før den ramme banden.

j)

Tid / s 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Hastighed 0,00 3,25 5,82 7,50 8,79 9,83 10,66 11,35 11,94 12,46

/ m/s

Side 8

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

8

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: k)

Vi foretager en regression af punktserien:

Den regression som passer bedst på sammenhængen er et 6.gradspolynomium, da den kvadrerede R-værdi giver 1. Vi opskriver forskriften for funktionen:

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Hastighed (m/s)

Tid (s)

2 y = 0,0088x^{6} - 0,1209x^{5} + 0,5928x^{4} - 1,0669x^{3} - 0,7834x^{2} + 7,1465x - 0,0042
R² = 1

0

4

6

8

10

12

14

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Hastighed (m/s)

Tid (s)

Side 9

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

9

𝑓 ( 𝑥) ≔0,0088𝑥^{6} − 0,1209𝑥^{5} + 0,5928𝑥^{4} − 1,0669𝑥^{3} − 0,7834𝑥^{2} + 7,1465𝑥 − 0,0042

Vi benytter følgende formel for arealet under funktionen afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Vi har følgende grænseværdier: 𝑎≔0 𝑏≔4,5

Vi bestemmer arealet:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

≈37,60097

Gokarten tilbagelægger en strækning på 37,6 meter.

l)

Vi definerer massen: 𝑚≔180

Vi definerer tyngdeaccelerationsvektoren: 𝑔⃗≔()

0

−9,82

Koordinaterne til tyngdekraften bestemmes:

𝐹_{𝑡} =𝑚·𝑔⃗

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐹_{𝑡} ≔()

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0

−1767,6

Størrelsen af tyngdekraften fås ved at bestemme længden af vektoren:

| 𝐹_{𝑡} | =1767,6 𝑁

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Tyngdekraften er 1767,6 N.

m)

Da centripetalkraften er lig summen af reaktionskraften og tyngdekraften, kan vi opstille følgende trekant:

Side 10

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

10

Vi bestemmer størrelsen af reaktionskraften vha. sinus:

sin ( 𝑣) =

|𝐹_{𝑡} |

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

|𝐹_{𝑟} |

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

sin ( 52) =

1767,6

|𝐹_{𝑟} |

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

⇕ Ligningen løses for |𝐹^{⎯}^{⎯}^{⎯}^{⃗}_{𝑟} | vha. CAS-værktøjet WordMat.
|𝐹_{𝑟} |=2243,117

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Reaktionskraften er 2243,1 N. Størrelsen af centripetalkraften bestemmes vha. Pythagoras:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} =𝑐^{2}

| 𝐹_{𝐶} | + | 𝐹_{𝑡} | = | 𝐹_{𝑟} |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗^{2} ⎯ ⎯ ⎯ ⃗^{2} ⎯ ⎯ ⎯ ⃗^{2}

| 𝐹_{𝐶} | + 1767,6^{2} =2243,117^{2}

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗^{2}

⇕ Ligningen løses for |𝐹 | vha. CAS-værktøjet WordMat.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝐶} ⃗
| 𝐹_{𝐶} | =−1381,001 ∨ | 𝐹_{𝐶} | =1381,001

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Centripetalkraften er positiv, da det er en længde på en vektor. da vi ved at alle vektorer er stedvektorer, kan vi bestemme koordinaterne til reaktionskraften og centripetalkraften ud fra vektorernes størrelse.

Reaktionskraften har følgende koordinater:

𝐹_{𝑟} =()

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1381,001

1767,6

Centripetalkraften har følgende koordinater:

𝐹_{𝐶} =()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1381,001

0

Side 11

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

11 n)

Arealet af området under de blå bander bestemmes.

𝐴_{𝑏𝑙å} = ( ∫ √ 2,6^{2} − ( 𝑥− 4,8)^{2} + 3𝑑𝑥) + ( ∫ 5,6 𝑑𝑥)

4,8 20

2,2 4,8

+ ( ∫ 0,0448𝑥^{3} − 2,864𝑥^{2} + 60,8𝑥− 423,2𝑑𝑥)

25

20

𝐴_{𝑏𝑙å} ≔125,896

Arealet af området under de røde bander bestemmes:

𝐴_{𝑟ø𝑑} = ( ∫ √ 0,8^{2} − ( 𝑥− 4,8)^{2} + 3𝑑𝑥) + ( ∫ 3,8𝑑𝑥)

4,8 20

4 4,8

+ ( ∫ 0,0384𝑥^{3} − 2,480𝑥^{2} + 53,12𝑥 − 373,8𝑑𝑥)

25

20

𝐴_{𝑟ø𝑑} ≔78,32932

Arealet af pitområdet beregnes:

𝐴_{𝑝𝑖𝑡} =𝐴_{𝑏𝑙å} − 𝐴_{𝑟ø𝑑}

≈47,56668

Arealet af pitområdet er lig 47,6.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

12

Opgave 2

Vi udvider pitområdet ved at flytte de røde bander, således at pitområdet afgrænset af tre nye funktioner.

Den første funktion opskrives:

𝑥=5

𝑦∈ [ 0;2]

Derudover bestemmer vi forskriften for en halvcirkel ud fra følgende radius og koordinater til centrum:

𝑟=1

𝐶= ( 6;2)

Cirkelbuen har følgende forskrift:

( 6 − 𝑥)^{2} + ( 2 − 𝑦)^{2} =1^{2}

Vi løser ligningen for y:

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=− ( 12 · 𝑥 − 𝑥^{2} − 35)^{0,5} + 2 ∨ 𝑦= ( 12 · 𝑥− 𝑥^{2} − 35)^{0,5} + 2

𝑥∈ [ 5;6]

Den sidste funktion er følgende rette linje:

𝑓 ( 𝑥) =3

𝑥∈[6;25]

Det nye pitområde ses på skitsen nedenfor:

Side 13

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

13

Arealet under de røde grafer bestemmes:

𝐴_{𝑟ø𝑑} = ( ∫ ( 12 · 𝑥− 𝑥^{2} − 35)^{0,5} + 2𝑑𝑥) + ( ∫ 3𝑑𝑥)

6 25

5 6

≈59,7854

Arealet af det nye pitområde er derved:

𝐴_{𝑝𝑖𝑡} =𝐴_{𝑏𝑙å} − 𝐴_{𝑟ø𝑑}

𝐴_{𝑝𝑖𝑡} =125,896 − 59,7854
=66,1106

Hvis vi antager, at målene er angivet i meter, er arealet af det nye pitområde 66m^{2}.

Vi beregner arealet af det område som en gokart fylder:

𝐴_{𝑔𝑜𝑘𝑎𝑟𝑡} =1,920𝑚 · 1,300𝑚
=2,496𝑚^{2}

Vi kan nu bestemmer antallet af gokarts der kan være i gamle pitområdet og sammenligne det med antallet af gokarts der kan være i det nye pitområde:

𝐴_{𝑝𝑖𝑡,𝑔𝑎𝑚𝑚𝑒𝑙} = 47,56668

47,56668

2,49

≈19,10308

Der kan være 19 gokart i det gamle pitområde.

𝐴_{𝑝𝑖𝑡,𝑛𝑦} =66,1106

Side 14

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011

14

66,1106

2,49

≈26,55044

Der kan være 26 gokart i det nye pitområde. Vi har derved gjort plads til 7 flere gokarts ved at udvide området.