HTX Matematik B 15. december 2010 Hus og have - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

1

HTX Matematik B 15. december 2010

htx103-MAT/B-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Centervinklen i en regulær polygon beregnes vha. følgende formel:

𝑣=

360 𝑛

Hvor n er antallet af sider.

𝑣_{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟} =

360

8

=45

Vi kan nu opstille følgende udtryk for u ud fra vinkelsummen i en trekant:

1 180 − 45

2 2

· 𝑢=

⇕ Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑢=135

Vinkel u er lig 135^{o}.

b)

Vi bestemmer arealet af rektanglet:

𝐴_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙} =16 · 10
=160

Vi bestemmer arealet af udestuen. Arealet af den manglende del af ottekanten opdeles i to trekanter:

Side 2

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

2

Længden AC bestemmes vha. WordMats trekantløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 135°, a = 2, c = 2.

C A = 22,5°
C = 22,5°
B = 135°

a = 2
c = 2
b = 3,695518

Længden af siden b findes vha. en cosinusrelation

𝑏= √ 𝑐^{2} + 𝑎^{2} − 2 · 𝑐· 𝑎· cos ( 𝐵)
= √ 2^{2} + 2^{2} − 2 · 2 · 2 · cos ( 135°)
=3,695518

Vinkel C findes vha.en cosinusrelation:

𝐶=cos^{−1} ()

𝑏^{2} + 𝑎^{2} − 𝑐^{2}
2 · 𝑏· 𝑎

=cos^{−1} ()

3,695518^{2} + 2^{2} − 2^{2}
2 · 3,695518 · 2
=22,5°
𝑉𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙 𝐴 𝑓𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑣ℎ𝑎.𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑠𝑢𝑚 = 180° 𝑖 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡:
𝐴=180° − 𝐵− 𝐶
=180° − 135° − 22,5°
=22,5°

Længden AC er lig 3,7m. Arealet af trekant ABC bestemmes:

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} = · 𝑏· 𝑐· sin ( 𝐴)

1

2

= · 3,695518 · 2 · sin ( 22,5)

1

2

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} ≔1,414214

Vinkel W bestemmes:

A c B b a

Side 3

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

3

𝑊=135 − 22,5
=112,5

Arealet af trekant ACD bestemmes:

𝐴_{𝐴𝐶𝐷} = · 2 · 3,695518 · sin ( 112,5)

1

2

𝐴_{𝐴𝐶𝐷} ≔3,414213

Arealet af udestuen beregnes:

𝐴_{𝑢𝑑𝑒𝑠𝑡𝑢𝑒} =( · 8 · 2^{2} ·) − ( 𝐴_{𝐴𝐵𝐶} + 𝐴_{𝐴𝐶𝐷})

1

4 cos()

180

8 sin()

180

8

≈14,48528

Grundplanens areal er derved:

𝐴=160 + 14,48528

≈174,4853

Arealet af grundplanen er 174,5 m^{2}.

c)

Vi danner en trekant på tagets endeflader:

Vi kan derved danne en retvinklet trekant, hvor vi kender længden af de to kateter:

3 + 1,7=4,7

Side 4

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

4

Vi benytter tangens til at bestemme v:

tan ( 𝑣) =

4,7

5

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=43,22853

Vinkel v er 43,23^{o}.

d)

For at bestemme arealet af det grønne område opstiller vi den retvinklet trekant ABC, som vist på skitsen nedenfor:

Vi bestemmer vinkel A:

𝐴=90 − 𝑣
=90 − 43,22853
=46,77147

Vi bestemmer længden AB vha. WordMats trekantløser:

G

Side 5

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

5

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,77147°, B = 90°, BC = 2,6

A B = 90°
C = 43,22853°
A = 46,77147°

AC = 3,568352
AB = 2,444
BC = 2,6

Længden af siden AB findes vha. tangens

𝑐=

𝐵𝐶 tan ( 𝐴)

=

2,6 tan ( 46,77147)

=2,444

Vi kan nu bestemme længden DB:

𝐷𝐵=2,444 − 1,3
=1,144

Vi danner en retvinklet trekant med kateterne DB og DE. Vi bestemmer længden af DE:

𝐷𝐸=

1,3

2

=0,65

Vi kan nu bestemme længden af hypotenusen BE vha. Pythagoras:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} =𝑐^{2}

𝐷𝐵^{2} + 𝐷𝐸^{2} =𝐵𝐸^{2}

1,144^{2} + 0,65^{2} =𝐵𝐸^{2}

⇕ Ligningen løses for BE vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐵𝐸=−1,315764 ∨ 𝐵𝐸=1,315764

En længde kan nu være positiv, så vi benytter det positive resultat.

B BC C

AB AC

Side 6

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

6

Vi bestemmer nu længden af EF ved at opstille den retvinklede trekant, som danner siden på tagudbygningen. Vi benytter WordMats trekantløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: E = 90°, G = 46,77147°, EG = 1,3

F E = 90°
F = 43,22853°
G = 46,77147°

FG = 1,89806
EG = 1,3
EF = 1,382979

Længden af siden EF findes vha. tangens

𝐸𝐹=𝐸𝐺· tan ( 𝐺)
=1,3 · tan ( 46,77147)
=1,382979

Vi kender nu alle størrelser, som skal benyttes til at beregne arealet af trapezen BCEF. Vi benytter følgende formel:

𝐴_{𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧} = · ( 𝑎 · 𝑐) · ℎ

1

2

Hvor a og c er de parallelle sider og h er højden imellem.

𝐴= · ( 𝐵𝐶· 𝐸𝐹) · 𝐵𝐸

1

2

= · ( 2,6 · 1,382979) · 1,315764

1

2

≈2,365576

Arealet af det grønne område er 2,37m^{2}.

Vi bestemmer nu arealet af det røde område. For at bestemme højden i trekanten opstilles en trapez, hvor trekantens højde er trapezens ikke-parallelle side.

E EG G

EF FG

Side 7

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

7

Som vist på skitsen opstiller vi en retvinklet trekant i trapezen. Længden af den korte katete bestemmes:

𝑘=

16 − 11,2

2

≈2,4

Vi bestemmer h vha. Pythagoras:

2,4^{2} + 1,7^{2} =ℎ^{2}

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=−2,941088 ∨ ℎ=2,941088

En længde kan kun være positiv og h er derved 2,9 m. Vi kender nu højden og grundlinjen i trekanten, som danner det røde område:

Arealet af trekanten bestemmes:

𝐴_{𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡} = · ℎ · 𝑔

1

2

Hvor g er grundlinjen:

𝐴= · 2,941088 · 3,6

1

2

≈5,293958

Arealet af det røde område er 5,29 m^{2}.

Side 8

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

8 e)

Vi indtegner indgangspartiet i et koordinatsystem:

Ved hjælp Geogebra funktioner er det muligt at tegne en linje, som står vinkelret på a og går igennem cirklens centrum. Herefter kan vi måle længden af linjestykket fra cirkelperiferien til linjen a:

Den mindste afstand er 35 cm.

I dette tilfælde er den hurtigste og letteste løsningsmetode at benytte tegnefunktionerne i Geogebra. Det er dog også muligt at løse opgaven vha. differentialregning eller trigonometri.

Side 9

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

9 f)

Arealet af et cirkelafsnit bestemmes vha. følgende formel:

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡} = · 𝑟^{2} · ( − sin ( 𝑣))

1 𝑣· 𝜋

2 180

Hvor 𝑟 er cirklens radius og v er centervinklen. Vha. formlen for pilhøjde og kordelængde kan vi opstille to ligninger med to ubekendte, som er radius og centervinkel 𝑣. Pilhøjden er givet ved:

𝑝=𝑟· (1 − cos())

𝑣

2

Kordelængde er givet ved:

𝑘=2 · 𝑟 · sin()

𝑣

2 k bestemmes:

𝑘=2 · 0,85
=1,7

De to ligninger opstilles og konstanterne 𝑟 og 𝑣 bnestemmes:

0,37=𝑟 · (1 − cos())

𝑣

2

1,7=2 · 𝑟 · sin()

𝑣

2

⇕ Ligningssystemet løses for r,v vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

(𝑟=1,161351 ∧ 𝑣=94,09287)

Vi indsætter værdierne for 𝑟 og 𝑣 i formlen for arealet af et cirkelafsnit:

𝐴_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡} = · 1,161351^{2} · ( − sin ( 94,09287))

1 94,09287 · 𝜋

2 180

≈0,4348195

                           2
Arealet af cirkelafsnittet er 0,43m .

g)

Vi indsætter cirklen i et koordinatsystem med centrum i origo. Vi kender derved radius og centrums koordinater og kan opstille en ligning for cirklen:

( 𝑥− 0)^{2} + ( 𝑦 − 0)^{2} =1,161351^{2}

Vi opstiller ligeledes en ligning for linjen b på følgende form:

Side 10

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

10

𝑦=𝑎𝑥+ 𝑏

b-værdien er skæringen med y-aksen og er derved:

𝑏=1,161351 − 0,37
=0,791351

Da linjen b har en hældning med vandret på 45^{o}, kan vi udlede, at hældningen a er lig 1. Vi har derved

følgende forskrift for linjen b:

𝑦=𝑥+ 0,791351

Vi bestemmer skæringen mellem cirklen og linjen b:

( 𝑥− 0)^{2} + ( (𝑥+ 0,791351) − 0)^{2} =1,161351^{2}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0,3239139 ∨ 𝑥=−1,115265

Vi er udelukkende interesseret i den positive x-værdi, da det er den værdi som angiver b’s endepunkt. Vi bestemmer y-koordinatet til endepunktet:

( 0,3239139 − 0)^{2} + ( 𝑦− 0)^{2} =1,161351^{2}

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=−1,115265 ∨ 𝑦=1,115265

b skærer cirklen i punktet P:

𝑃= ( 0,3239139 ;1,115265)

b har startkoordinat i punktet Q:

𝑄= ( 0;0,791351)

Vi bestemmer afstanden mellem de to punkter vha. afstandsformlen:

𝑃𝑄= √ ( 𝑥_{1} − 𝑥_{2})^{2} + ( 𝑦_{1} − 𝑦_{2})^{2}
= √ ( 0 − 0,3239139)^{2} + ( 0,791351 − 1,115265)^{2}

≈0,4580835

Længden af linjestykket b er 0,46.

Side 11

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

11 h) i)

Vi danner en polygon gennem punkterne:

Side 12

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

12

Geogebra bestemmer følgende areal af polygonen:

𝐴_{𝑔𝑟𝑢𝑛𝑑} ≔1572,5 𝑚^{2}

j)

Forskrifterne bestemmes på følgende form:

𝑦=𝑎𝑥+ 𝑏

Hvor a er hældningskoefficienten og b er skæring med y-aksen.

Linjen gennem A og B er placeret på y-aksen og har derfor følgende forskrift:

𝑥=0

Linjen gælder for følgende interval: 𝑦∈ [ 0;31]

Vi bestemmer konstanterne a og b for linjen gennem B og C ved at opstille to ligninger med to ubekendte:

35=𝑎· 45 + 𝑏
31=𝑎· 0 + 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎=0,08888889 ∧ 𝑏=31

Linjen har følgende forskrift:

𝑗_{1} ( 𝑥) =0,08888889𝑥 + 31

Funktionen gælder for følgende interval: 𝑥∈ [ 0;31]

Forskriften for linjen gennem C og D bestemmes:

35=𝑎· 45 + 𝑏

0=𝑎 · 50 + 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎=−7 ∧ 𝑏=350

Side 13

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

13

Linjen har følgende forskrift:

𝑗_{2} ( 𝑥) =−7𝑥+ 350

Funktionen gælder for følgende interval: 𝑥∈ [ 45;50]

Linjen gennem D og A ligger på x-asken og har derfor følgende forskrift:

𝑦=0

Linjen gælder for følgende interval: 𝑥∈[0;50] k) a er skæringen mellem f og linjen gennem A og B. Da linjen gennem A og B ligger på y-aksen har a følgende værdi: 𝑎≔0 b er skæringen mellem f og linjen gennem C og D.

Vi definerer funktionerne og sætter dem lig hinanden:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,0005𝑥^{3} − 0,0333𝑥^{2} + 0,522𝑥 +28

𝑗_{2} ( 𝑥) ≔−7𝑥 + 350

𝑓 ( 𝑥) =𝑗_{2} (𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=45,70911

Vi kender nu b: 𝑏≔45,70911 c er skæringen mellem g og linjen gennem A og B: 𝑐≔0 d er skæringen mellem g og linjen gennem C og D. Vi definerer g og sætter funktionerne lig hinanden:

𝑔 ( 𝑥) ≔0,0005𝑥^{3} − 0,033𝑥^{2} + 0,52𝑥 + 27

Side 14

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

14

𝑔 ( 𝑥) =𝑗_{2} (𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=45,76993

Vi kender nu d: 𝑑≔45,76993 l) m)

Vi benytter følgende formel for arealet under en funktion afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:

𝐴=∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Hvor f(x) er den største funktion.

Vi beregner arealet afgrænset af f og 𝑗_{2} (𝑥):

𝐴_{1} = ( ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥) + ( ∫ 𝑗_{2} ( 𝑥) 𝑑𝑥)

𝑏 50 𝑎 𝑏

Side 15

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

15

𝐴_{1} ≔1375,206

Vi beregner arealet afgrænset af g og 𝑗_{2} (𝑥):

𝐴_{2} = ( ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥) + ( ∫ 𝑗_{2} ( 𝑥) 𝑑𝑥)

𝑑 50 𝑐 𝑑

𝐴_{2} ≔1336,944

Vi bestemmer arealet af vandoverfladen:

𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑} =𝐴_{1} − 𝐴_{2}
𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ≔38,262

Vi beregner hvor stor en procentdel åen udgør af grunden:

%= · 100

𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑}
𝐴_{𝑔𝑟𝑢𝑛𝑑}

≈2,433196

Åens vandoverflade udgør 2,43 % af grundens areal.

n)

Vi benytter os af følgende formel til at bestemme en funktion for afstanden mellem 𝑗_{1} (𝑥) og f:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑗_{1} ( 𝑥),𝑓 ( 𝑥)) =

|𝑎· 𝑥_{1} + 𝑏− 𝑦_{1} |
√ 𝑎^{2} + 1
Hvor (x_{1}, y_{1}) er et punkt.

Vi indsætter størrelserne:

𝑗_{1} ( 𝑥) =0,08888889𝑥 + 31

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑗_{1} ( 𝑥),𝑓 ( 𝑥)) =

0,08888889 · 𝑥 + 31 − 𝑓 ( 𝑥)
√ 0,08888889^{2} + 1
≈0,9960726 · ( −0,4331111 · 𝑥 − 0,0005 · 𝑥^{3} + 0,0333 · 𝑥^{2} + 3)

Vi definerer funktionen:

𝑎 ( 𝑥) ≔0,9960726 · ( −0,4331111 · 𝑥 − 0,0005 · 𝑥^{3} + 0,0333 · 𝑥^{2} + 3)

Vi bestemmer funktionens minimum:

𝑎^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=7,913669 ∨ x=36,48633

Side 16

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

16

Vi har nu fundet x-værdierne til minimum og maksimum. Ud fra grafen for f kan vi aflæse at den laveste x-værdi er minimum for afstanden:

𝑥_{𝑚𝑖𝑛} =7,913669

Vi bestemmer den tilhørende funktionsværdi: 𝑎 ( 7,913669) ≈1,404614

Den mindste afstand er 1,4 meter.

Side 17

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

17

Opgave 2

Vi ønsker at designe en have, som vist på skitesen nedenfor:

Huset er placereret, således at facaden følger linjen x=4. Vi bestemmer linjens slutgrænseværdi idet, at

facaden ligger 8 meter fra åens bred.

Facadens slutgrænseværdi bestemmes:

𝑔 ( 4) − 8=20,584

Huset har et areal på 300 m^{2} og er placeret 4 meter fra x-aksen. Vi bestemmer husets bredde:

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

𝐴=𝑙· 𝑏

300=(20,584 − 4) · 𝑏

⇕ Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏=18,08973

Huset er 18 meter bredt.

Gennem haven er der en sti, som følger en cirkelbue omkring et træ med centrum i (35;18). Fra træets centrum til stiens ydre grænse er der 5 meter. Stien er 1 meter bred.

Stiens ydre kant er derved afgrænset af følgende funktioner:

Vandret linje:

𝑦=23

𝑥∈[0;35]

Side 18

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

18

Cirkelbue:

( 𝑥− 35)^{2} + ( 𝑦 − 18) =5^{2}

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=70 · 𝑥− 𝑥^{2} − 1182

𝑓 ( 𝑥) ≔70 · 𝑥− 𝑥^{2} − 1182

𝑥∈ [ 35;40]

Lodret linje:

𝑥=40

𝑦∈ [ 0;18]

Stiens indre grænse er afgrænset af følgende funktioner:

Vandret linje:

𝑦=22

𝑥∈ [ 0;35]

Cirkelbue:

( 𝑥− 35)^{2} + ( 𝑦 − 18) =4^{2}

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=70 · 𝑥− 𝑥^{2} − 1191

𝑔 ( 𝑥) ≔70 · 𝑥− 𝑥^{2} − 1191

𝑥∈ [ 35;40]

Lodret linje:

𝑥=39

𝑦∈ [ 0;18]

Vi bestemmer arealet af stien vha. integralregning

𝐴=( ( ∫ 23𝑑𝑥) + ( ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥)) − ( ( ∫ 22 𝑑𝑥) + ( ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥))

35 40 35 40

0 35 0 35

≈80

Arealet af stien er 80 m^{2}.

I hjørnet af grunden er der placeret en hundegård. Gården afgrænset af følgende linje:

ℎ ( 𝑥) ≔2𝑥− 90

Vi bestemmer arealet af hundegården, som er afgrænset af h, linjen gennem A og D og linjen gennem C og D. Arealet er givet ved følgende formel:

Side 19

Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010

19

𝐴= · 𝑏 · 𝑐· sin (𝐴_{1})

1

2

Vi bestemmer vinkel A_{1} som er h’s vinkel med vandret:
tan ( 𝐴_{1}) =𝑎
tan ( 𝐴_{1}) =2

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴_{1} =63,43495

Vi bestemmer h’s skæring med linjen gennem A og D, som vi kalder J og linjen gennem C og D, som vi

kalder 𝑗_{2}:

𝑗_{2} ( 𝑥) ≔−7𝑥 + 350

𝑗 ( 𝑥) ≔0

ℎ ( 𝑥) =𝑗(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=45

h skærer J i x=45.

ℎ ( 𝑥) =𝑗_{2} (𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=48,88889

H skærer j_{2} (x) i x=48,8.

Vi bestemmer længden af b:

𝑏=50 − 45
=5

Vi bestemmer længden af c vha. afstandsformlen:

𝐴𝐵= √ ( 𝑥_{1} − 𝑥_{2})^{2} + ( 𝑦_{1} − 𝑦_{2})^{2}
𝐴_{1} 𝐵_{1} = √ ( 48,88889 − 45)^{2} + ( 𝑗_{2} ( 48,88889) − 0)^{2}

≈8,695813

Vi bestemmer arealet af hundegården:

𝐴= · 5 · 8,695813 · sin ( 63,43495)

1

2

≈19,44443

Hundegården er 19,4 m^{2}. Vi kan nu indtegne haveplanen i Geogebra.

Side 20

studienet.dk
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 −2 −4
8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
A B C D
20