STX Matematik B 14. august 2014 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx142-MAT/B-

STX Mat B - Opgaver uden hjælpemidler - 14. august 2014

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave. Referencer til formel-samlingen skal ikke være en del af din eksamensbesvarelse.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Opgave 1

Ligningen løses:

3𝑥 + 6 = −2𝑥 + 1

⇕

3𝑥 + 2𝑥 = 1 − 6

⇕

5𝑥 = −5

⇕

𝑥 = = −1

−5

5

Løsningen til ligningen er dermed 𝑥 = −1.

Du bør altid tjekke dit resultat efter ved at indsætte løsningen på højre og venstre side i ligningen:

Højre side: 3(−1) + 6 = −3 + 6 = 3.
Venstre side: −2(−1) + 1 = 2 + 1 = 3.

Opgave 2

For en parabel ved vi, at toppunktet er bestemt ved følgende formel, (jf. formel 34) T (,)

−𝑏 −(𝑏^{2} − 4𝑎𝑐)

2𝑎 4𝑎

Ud fra forskriften aflæser vi følgende 𝑎 = 3, 𝑏 = −6, 𝑐 = 12. Vi bestemmer nu x-koordinaten

til toppunktet:

T_{𝑥} = = = = 1

−𝑏 −(−6) 6
2𝑎 2 · 3 6

og derefter y-koordinaten:

                                                     ∗
T  =            =                   =                =              = −(3−12) = −(−9) = 9
 𝑦

−(𝑏^{2} − 4𝑎𝑐) −((−6)^{2} − 4 · 3 · 12) −(36 − 12 · 12) −(12(3 − 12))
4𝑎 4 · 3 12 12

Toppunktet for parablen findes dermed i punktet:

T = (1, −9)

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx142-MAT/B-

* I beregningen sættes 12 uden for en parantes for at gøre det lettere at regne med
da 36 = 3 · 12. Og så har vi at: 36 − 12 · 12 = 3 · 12 − 12 · 12 = 12(3 − 12)

Tip 1: Husk altid, når du skal insætte værdier i formlerne, at sætte en parantes omkring eventuelle negative koefficienter. Så er det lettere at holde styr på fortegnene.

Tip 2: Hvis du til eksamen ikke kan huske formlen for parablens toppunkt, kan du

                                        ′
altid differentiere funktionen, løse ligningen 𝑓 (𝑥) = 0 og dermed finde x-koordinaten

til toppunktet. y-koordinatet findes så vi at indsætte den fundne x-værdi i 𝑓’s forskrift.

For den dygtige elev, vil dette også være en god kontrol for om man har regnet rigtigt.

Opgave 3

Da firmaet forventer at omsætningen øges med samme procentsats hvert år, er der tale om en eksponentielt voksende model, som kan udtrykkes ved følgende forskrift:

𝑓(𝑥) = 𝑏 · (1 + 𝑟)^{𝑥}

Hvis vi betegner 𝑥 for antallet af år efter 2013 og 𝑓(𝑥) firmaets årlige omsætning i mio.

kr., så angiver 𝑏 startværdien, altså omsætningen i år 2013, og dermed er 𝑏 = 25. 𝑟 angiver
den årlige vækstrate i omsætningen, og dermed har vi, at 𝑟 = 5% = 0, 05. Modellen er

dermed:

𝑓(𝑥) = 25 · (1 + 0, 05)^{𝑥} = 25 · 1, 05^{𝑥}

Opgave 4

Vi differentierer funktionen:

𝑓^{′} (𝑥) = (5𝑥^{3} + 9𝑥^{2} − 7𝑥 + 40)^{′}

(jf. formel 72,73)

= (5𝑥^{3})^{′} + (9𝑥^{2})^{′} − (7𝑥)^{′} + (40)^{′}
(jf. formel 71) og (𝑘)^{′} = 0
= 5(𝑥^{3})^{′} + 9(𝑥^{2})^{′} − 7(𝑥)^{′}
(jf. formel 77) og (𝑥)^{′} = 1
= 5 · 3𝑥^{2} + 9 · 2𝑥 − 7 · 1

= 15𝑥^{2} + 18𝑥 − 7

Opgave 5

Det samlede areal af de to rektangler er givet ved summen af arealerne af de to rektangler:

A_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒t} = A_{𝐴𝐵𝐶𝐷} + A_{𝐷𝐸𝐹 𝐺}

Arealet af et rektangel kan beregnes som produktet af længden og bredden, og dermed kan vi direkte beregne arealet af rektangel AB𝐶𝐷:

A_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = 4 · 3 = 12

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx142-MAT/B-

Hvad angår rektangel EF 𝐺H har vi kun umiddelbart ud fra figuren opgivet rektanglets bredde. Rektanglets længde kan bestemmes som

|𝐷𝐺| = |A𝐷| + |A𝐺| = 3 + |A𝐺|

Ved at observere at trekant AB𝐶 og AF 𝐺 er ensvinklede kan vi beregne længden af A𝐺, da der for ensvinklede trekanter gælder at forholdet mellem ensliggende sider er konstant

(jf. formel 19). Forholdet mellem den store og den lille trekant bestemmes:

𝑘 = = = 2

F 𝐺 8

AB 4

Dermed kan længden af A𝐺 bestemmes som:

|A𝐺| = 2 · |B𝐶| = 2 · 3 = 6

Længden 𝐷𝐺 er dermed:

|𝐷𝐺| = 3 + |A𝐺| = 3 + 6 = 9

Og dermed er arealet af rektangel 𝐷EF 𝐺:

A_{𝐷𝐸𝐹 𝐺} = 8 · 9 = 72

Det samlede areal er dermed:

A_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒t} = A_{𝐴𝐵𝐶𝐷} + A_{𝐷𝐸𝐹 𝐺} = 12 + 72 = 84

Opgave 6

Vi udvider forskriften ved at gange paranteserne ud:

𝑝(𝑥) = 3 · (𝑥 + 5) · (𝑥 + 7)

= 3 · (𝑥 · 𝑥 + 𝑥 · 7 + 5 · 𝑥 + 5 · 7)

= 3 · (𝑥^{2} + 7𝑥 + 5𝑥 + 35)

= 3 · (𝑥^{2} + 12𝑥 + 35)

= 3𝑥^{2} + 36𝑥 + 105

Når 𝑝 skrives på formen 𝑝(𝑥) = 𝑎 · 𝑥^{2} + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐 er konstanterne 𝑎 = 3, 𝑏 = 36, 𝑐 = 105.

3