STX Matematik B 14. August 2013 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx132-MAT/B-

Opgaver uden hjælpemidler - den 14. august 2013

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Opgave 1

Reduktion af udtrykket (jf. formel 8)

(𝑝 − 𝑞)^{2} + 2𝑝𝑞 − 𝑞^{2} = 𝑝^{2} − 2𝑝𝑞 + 𝑞^{2} + 2𝑝𝑞 − 𝑞^{2} = 𝑝^{2}

Opgave 2

Den beskrevne sammenhæng mellem antal bestilte vareenheder og ordrens samlede pris

er en lineær sammenhæng. Modellen herfor er 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (jf. formel 35)

Lad 𝑥 være antal vareenheder, der bestilles.

𝑎 er stk.prisen pr. vareenhed (45 kr.)

𝑏 er forsendelsesgebyret (100 kr).

𝑓(𝑥) er ordrens samlede pris som en funktion af antal enheder (målt i kr.)

Indsættes ovennævnte i modellen, fremkommer følgende sammenhæng mellem antal bestilte vareenheder og ordrens samlede pris:

𝑓(𝑥) = 45𝑥 + 100

Opgave 3

                                                         2
                     2                              −𝑏±  𝑏 −4𝑎𝑐
Andengradsligningen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 har løsningerne 𝑥 =       (jf. formel 39)
                                                        2𝑎

√

Løsning af den givne andengradsligning:

𝑥^{2} − 8𝑥 + 7 = 0

⇕

𝑥 =

−(−8) ± (−8)^{2} − 4 · 1 · 7

√

2 · 1

⇕

𝑥 =

8 ± 36

√

2

⇕

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 7

Andengradsligningen har således løsningerne: 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 7

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx132-MAT/B-

Opgave 4

Givet funktionen 𝑓 (𝑥) = 𝑒^{𝑥} + 𝑥^{2} bestemmes den afledede funktion 𝑓^{′} (𝑥) som:

(jf. formel 72,75,78)

𝑓^{′} (𝑥) = 𝑒^{𝑥} + 𝑥^{2} = (𝑒^{𝑥})^{′} + 𝑥^{2} = 𝑒^{𝑥} + 2𝑥

()_{′} ()_{′}

Den afledede funktion er således bestemt: 𝑓^{′} (𝑥) = 𝑒^{𝑥} + 2𝑥

Opgave 5

Længden af siden AB i trekant AB𝐶 kan bestemmes vha. Pythagors’ læresætning, da trekant AB𝐶 er retvinklet.

Anvendes de aktuelle betegnelser og værdier fra AB𝐶 kan |AB| bestemmes som:

|AB|^{2} = |B𝐶|^{2} + |A𝐶|^{2} (jf. formel 21)

Da det er en sidelængde, der skal bestemmes, kan den negative løsning forkastes.

Derfor bestemmes længden af siden AB som:

|AB| = |B𝐶|^{2} + |A𝐶|^{2}

√

⇕

|AB| = 4^{2} + 3^{2}

√

⇕

|AB| = 5

Længden af side AB er således bestemt: |AB| = 5

Da trekanterne AB𝐶 og A𝐷E er ensvinklede (ligedannede) kan skalaforhold bestemmes vha. ensbeliggende sider i trekanterne (jf. formel 20):

𝑘 = = = 1, 25

|𝐷E| 5

|B𝐶| 4

Da samtlige ensbeliggende sider i trekanterne har samme skalaforhold, kan omkredsen af

trekant A𝐷E bestemmes som en skalering af AB𝐶^{′𝑠} omkreds:

O_{𝐴𝐷𝐸} = 𝑘 · O_{𝐴𝐵𝐶}

⇕

O_{𝐴𝐸𝐷} = 𝑘 · (|AB| + |B𝐶| + |A𝐶|)

⇕ værdier indsættes

O_{𝐴𝐷𝐸} = 1, 25 · (5 + 4 + 3)

⇕

O_{𝐴𝐷𝐸} = 15

Omkredsen af trekant A𝐷E er således bestemt til: O_{𝐴𝐷𝐸} = 15

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx132-MAT/B-

Opgave 6

Bestemmelse af integralet:

(jf. formel 84,91)

∫_{2} [() ()]_{2}

0

()

9𝑥^{2} + 3 𝑑𝑥 = · 𝑥^{2+1} + · 𝑥^{0+1}

9 3

1 + 2 0 + 1

0

= 3𝑥^{3} + 3𝑥_{0}

[]_{2}

= 3 · 2^{3} + 3 · 2 − 3 · 0^{3} + 3 · 0

() ()

= 30

                                 2
Integralet er således bestemt: 9𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 30
                            0

∫_{2} ()

3